关于“统计与概率”教学实践的反思

PAGEPAGE1关于“统计与概率”教学实践的反思上海市静安区教育学院曹培英把统计图表列入小学算术的教学内容，始于1956年的教学大纲。到1978年的大纲增加了数据整理，从此基本形成了小学数学“统计初步知识”的教学框架。义务教育的小学数学教学大纲进一步强调：“使学生了解一些简单的统计思想和方法，逐步看懂简单的统计图表，对于绘制统计图表的要求不宜过高”。但在内容上，大致保持不变，只是将平均数由原来的“应用题”改为“统计初步知识”。本次课程改革，不仅引进了概率的初步认识，加强了从数据收集、整理到运用数据进行分析、推断的过程，而且增加了教学时数，改变了编排方式，改革的力度是相当大的。从教学内容看，我们大体上经历了由“统计图表”到“统计初步知识”，再到“统计与概率”三个发展阶段；从内容编排看，前两个阶段，基本上是集中在高年级的几个单元进行教学，现今的第三阶段，则分散在各年级甚至各学期进行教学。经过几年的实践，在相关教材与教学等方面都积累了不少经验与反思。限于时间与篇幅，本文仅就统计与概率教学的若干细节问题，从现象入手，加以分析，并略陈个人管见。一、关于“可能性”教学的若干反思1.“谁做的好事”——什么是随机事件？一次公开教学，为了引出用分数表示可能性，教师创设情境：“王老师收到一封表扬信，表扬我们班一位女同学帮助低年级小朋友，你们猜猜她是谁？”教师的设想是引导学生用“不可能”、“可能”与“可能性”来回答，引出：不可能是男生；全班20个女生都有可能；每人的可能性都是1/20。不料第一个回答的学生就让教师尴尬：“不用猜，我知道她是××”。……课后这一问题情境引发了争议：不论同学是否知道，某位学生做好事受表扬是随机事件吗？概率论中人们把随机现象的结果以及这些结果的集合称作随机事件。可见，为了定义随机事件，需要先从确定性现象和随机现象讲起。确定性现象大家都已知道。所谓“随机现象”是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。更确切地说，概率论研究的随机现象是指在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律性的现象。随机现象的实现和对它的观察称为“随机试验”。随机试验所有可能结果的集合叫做“样本空间”，样本空间的任何一个子集称为“随机事件”。如此一环扣一环地定义随机事件的概念是为了数学研究的需要。对于我们来说，重要的是理解随机现象的以下特点：①可以在相同的条件下重复进行实验；②其结果具有多种可能性；③在每次试验前，不能预言将出现哪一个结果，但知道所有可能出现的结果。显然“某位同学是否做好事”，通常不能“在相同条件下重复进行实验”，因为实验的条件因素比较复杂，难以复制，也难以预知“所有可能出现的结果”，所以不宜作为随机事件来讨论。有数学家把类似的事件称之为“人造的伪随机事件”。王梓坤：论随机性.《数学通报》2004年第4期.我们在教学中应当注意选择比较典型的随机事件，避免似是而非！2.“抛纸杯”没意思——教材中出现了哪几种概型？几次参与可能性教学内容的备课，执教老师对“抛纸杯”、“掷图钉”之类的实验都不感兴趣，即使教材中有，也常被舍弃，代之转盘实验。为什么呢？回答几近相同：“转盘更好玩，容易引起学生的实验兴趣……”要让学生感受“数学好玩”是对的，但问题是这些不同的实验，除了实验器具和方式不同以外，是否还有什么不同的数学背景呢？为此，有必要搞清小学数学教材里已经出现了哪几种概率？目前，教材中出现最多的是古典概率，如摸球、抛硬币、掷骰子等等。古典概率的特征是：所有可能结果的个数是有限的；每个结果具有等可能性。于是，很自然会产生新的问题，如果所有可能结果的个数是无限的，又该用什么样的概率来刻画呢？事实上，正是基于这样的需要，生成了几何概率。例如小学课本中的转盘游戏，理论上可以分为无限等份。几何概率的特征是：所有可能结果的个数是无限的；每个结果具有等可能性。古典概率与几何概率都要求随机事件的每个结果是等可能的，那么，不具有等可能性的随机事件，可以用哪种概率来表示呢？此时最简单的解决办法就是通过做试验，有些实验还可以让计算机代劳，将大量重复实验得到的随机事件出现频率作为概率的估计值。因此，相对于“计算”，试验是获取概率的更一般的方法。在小学数学教材里，“抛纸杯”、“掷图钉”，以及“投篮”等，都是比较典型的、适合用统计概率来刻画的实验。一般来说，非等可能的事件才真正需要统计概率，才能让学生感悟实验、统计的必要性。右面是人教版教材的一页练习。第1题，掷正方体骰子，典型的古典概型；第2题，转盘指针的无限个落点被等分成四个区域，几何概型转化为古典概型；第3题，长方体骰子三组面的大小有明显区别，朝上的可能性显然不相等，是比较典型的统计概型，所以教材特别提醒学生“想一想，试一试”。3.“抛硬币”想说喜欢你不容易——古典概率的等可能性需要验证吗？以前，整个义务教育阶段都不出现概率的初步认识，以致学生到了初中毕业还不能真正理解天气预报里“降水概率”的含义。现在，弥补了这一知识缺失，重视了概率初步认识的教学，于是小学、初中、高中的数学课堂上都在“抛硬币”。抛硬币确实是一个有助于学生感悟随机性的简便易行的实验，但在实际教学中，大多将它处理为验证等可能性的手段，从而常常让老师处于尴尬境地。例如一位骨干教师，为了通过实验得出“抛得次数越多，硬币正面朝上的可能性越接近一半”的结论，经过反复设计、试教、修改，关注、改进了一系列的教学细节，正式公开教学时，还是出现了老师最不愿意面对的实验结果：抛得累计次数越多，误差越大。学生们议论纷纷，有的指出某小组抛的动作问题，有的建议重新实验。最后教师通过计算机模拟演示，并出示历史上几位数学家的实验数据，让学生相信了“次数越多，越接近一半”的结论。事实上，如果学生仔细观察数学家的实验数据，也仍然可能出现“误读”现象。且不说不同数学家的抛的硬币与动作是否完成相同，仅看数据：试验者抛币次数正面朝上次数反面朝上次数相差次数费勒100004979502121皮尔逊24000120121198812罗曼诺夫斯基806403969940941621罗曼诺夫斯基抛得最多，与正面朝上的期望次数相差最大。而且，即使计算频率，也不难发现罗曼诺夫斯基抛得最多，误差率却最大。退回来想，抛两次，一正一反，误差为0；再抛，无论多少次，误差总是忽大忽小……难道概率论的大数定律也会给我们开玩笑吗？大数定律有多个，通常引用比较基本的贝努里大数定律：上式看上去是在告诉我们，当时，频率在概率附近摆动，但必须指出的是，由于概率是随机现象的可能性的赋值，对于任给的，可能存在偶然因素，从而得不到。这与数学分析里的极限概念是有区别的。简单地说，上述大数定律揭示的规律是：事件发生的频率依概率趋近于事件的概率。所谓“依概率趋近”是指，当时，不是频率与概率的误差越来越小，而是误差偏大的可能性越来越小。通常认为，古典概率的等可能性，一般不是通过实验验证的，往往是根据人们长期形成的“对称性经验”确认的。有些教师多次尝试抛硬币实验之后感慨：能否“验证”要凭运气。其实这恰恰体现了随机现象的随机性和可能性的魅力。二、有关“集中量数”教学的若干反思1.“踢毽子”惹的麻烦——是否应该让平均数回归统计？在一节引入平均数的新授课上，教师组织两组各4个同学比赛踢毽子，在黑板上记录各人成绩。问：怎样比较哪个组踢毽子的整体水平高？当然是比较总数。然后教师加入比赛，使弱势组踢的总数大大反超另一组。从而引出问题：当人数不相等时，比较什么才公平？有同学认为，老师踢的不能算进来，同学和同学比才公平。教师没有理睬，以至一位学生，直到下课还在嘟囔：“老师偏心眼，老师不公平”……课后教师反思：我不该踢得那么多，引起部分学生反感。有同伴建议道：教育那几个反对老师加入的同学，让他们发扬风格。这是发扬风格的教育问题吗？类似偏离平均数统计意义的现象也反映在练习题中：某商店被授权销售2008年北京奥运会的吉祥物“福娃”，前3天平均每天售出360套，后5天共售出2400套，这个商店8天里平均每天售出“福娃”多少套？在现实统计工作中，一般不会“前3天”统计平均每天售出多少套，“后5天”统计一共售出多少套，这样的统计方式，既不规范，又不切实际。个别现象一旦流行，或争相仿效，或成常规训练项目，就应当警惕其中的变异。首先，平均数的引入，统计目的不明确，自娱自乐，而且人为制造极端数据。其次，平均数的应用，统计方式不一致，随心所欲，人为设置审题陷阱。从1992年义务教育的小学数学教学大纲把平均数归入统计初步知识起，我们一直在努力让平均数恢复统计的本来面目。平均数的统计意义，在于用一个数来代表一组原始数据整体的一般水平，而且每个原始数据的大小变化或多或少都能在这个数里得到反映。平均数自身的重要“变式”在于，当出现相等数据时，算术平均数就成了加权平均数。实践表明，小学生对“权重”的理解常常是模糊的。例如，平均数的拓展应用，计算步测的平均步数。已知小胖在两地之间走了4次，分别是82、83、84、84步，有学生认为应该取三个不同步数的平均数83，重复的84不应该算进来。这一想法还得到了一部分同学的认同，以致有教师也认为有道理。过去，我们总以为平均数的意义很浅显，就是“移多补少”；平均数的计算也很简单，“总数÷总份数”。于是一味在“总数”与“总份数”的“相对应”上动脑筋，人为设计各种变式。事实上，平均数的统计意义还在于，它是一个相当敏感的集中量数，任何一个原始数据的大小变化都会影响到它，也正是由于平均数的敏感性，所以极端数据会影响平均数的代表性。平均数统计意义的这些内涵，至今仍较少进入我们的教学视野。2.平均数、中位数、众数，越辨析越糊涂——统计基础知识的边界在哪里？教师甲：我的学生会求平均数、中位数、众数，但要区分什么情况下用平均数或中位数、众数合适，连我自己都说不清楚。教师乙：我试了多种方式，启发学生比较。如，课件出示：六（1）班同学体重情况如下表。体重/kg30333639424548人数245121043（1）在上面这组数据中，中位数和众数各是多少？（2）不用计算，你能发现这组数据的平均数、中位数和众数之间的大小关系吗？（小组讨论）（3）用什么统计量表示他们体重的一般水平比较合适？前两个问题学生都能回答，没有疑义，第三个问题的讨论“一片混乱”。教学过程中我几次改变数据，让学生看到平均数与中位数可能相差很大，众数可能不存在，到最后也只是什么情况下用或不用众数的看法比较一致。这是教师教学设计的问题吗？以往初中数学教学经验告诉我们：平均数、中位数在初中教学时，一直是学生容易混淆的。曹培英：关于课程标准的几点思考.《课程·教材·教法》曹培英：关于课程标准的几点思考.《课程·教材·教法》2005年第5期笔者曾经在接待一位耶鲁大学统计学院教授时，请他谈谈对于义务教育阶段学习三个集中量数的评论。回答出乎意料：“我不知道统计中有‘众数’这个概念…”向他陈述众数的定义，回答是：“我还没有遇到必须用上这个集中量数的统计问题。”某位统计学专家称“不知道”，只能说是一个极端的例子。事实上不少统计学教材中都有类似的断语：众数在统计上用作集中趋势的代表数，价值较小；众数对于进一步的统计学计算与分析不具备应用价值。反思我国以往的数学基础知识，“窄而深”，并形成了“深挖洞”的倾向，由此欣赏国外“浅而广”的教学内容处理方式。但实际上国外也有不少认为教学内容不宜“几英里宽、一英寸厚”的观点。就小学阶段集中量数的教学边界而言，笔者以为，人人应该掌握的还是平均数，“摊薄饼”与“深挖洞”同样具有片面性。三、对于“统计图表”教学的若干反思1.今天的教学重点是“一格表示2”——一次说课比赛，一位教师坦言：本课条形统计图初步认识的教学重点是“一格表示2”，但我认为它不是教学的难点，因为学生理解没有困难如今，从“一格表示1”到“一格表示2”、“一格表示5”……成了统计图教学公认的“你知道这个“序”的由来吗？《小学数学教师》编辑部的华老师曾经讲述这样一个故事：十多年前，他是当时上海市小学数学新教材的责任编辑。制图人员找到他，说是低年级教材中的一幅条形统计图刻度多，太密了，制图印刷效果受影响。由于时间很紧，为了不耽误教材供应，华老师就答应制图人员修改刻度。教材出来了，编写组的同志提意见：图临时改了，教参没做说明；教师们钻研教材，发现“一格表示2”，认为新出现了的一个“知识点”过去，统计图集中在高年级教学，一格表示几、几十、几百是任意的。在数学课教学统计图之前，小学自然课本出现的统计图，刻度也是任意的，没人教，学生都能看懂，为什么现在却要教得这么细呢？对此笔者以为，一方面，随着儿童成熟能自然而然解决的问题，就不一定非得提前教。另一方面，让它自然出现，不教！行吗？实践可以回答。相关的问题是“画统计图的技能”如何掌握尺度？讨论这个问题的背景，一是面对“信息时代”、“读图时代”的需求，发展“统计观念”、“数据分析观念”成为学习统计的核心目标。二是计算机的普及，使图表绘制趋于“自动化”。如果把完整的统计过程喻为一条鱼，过去对“鱼头”（数据的采集）、“鱼尾”（图表的解读）重视不够，把主要精力放在“烧中段”（图表的制作）上，现在则主张“烧全鱼”。但由于图表制作的操作可以由计算机替代，这与一般数学过程的“烧中段”（推导与计算）不同。因此，吃好“鱼头”、“鱼尾”适度兼顾“中段”在统计学习领域显得更为适宜。让学生涂格子、画条形，描点、连线的作用主要在于“手脑并用”、“数形结合”，以帮助学生积累数据的“量感”，感知数量的“变化”，而不是训练熟练制作图表的操作工。2.训练读图的练习“看图填表”——怎样凸显图与表的特点？在统计图表的教学过程中，经常出现“看表画图”与“看图填表”两类练习。一般来说，制作统计图的过程通常是先填表、再制图，因此“看表画图”顺理成章。“看图填表”，逆向操作，当然有训练读图的功能，或者检测读图技能的功能，但认知价值常常被忽视。以下面左边的两题为例，前一题问哪种人数最多，不填表即可回答；后一题两个问题都难以显示折线统计图的特点，特别是计算平均成绩，看表获取数据要方便得多。我们知道，统计图的特点是形象直观、便于比较观察，统计表的特点是数据清晰、便于统计计算。读图练习也应帮助学生进一步感知图的特点，而不是模