考虑地基固结变形和流变的地基基础与上部结构共同作用的计算

考虑地基固结变形和流变的地基基础与上部结构共同作用的计算

由于高层建筑的大规模建设和科学技术的快速发展，高层建筑与基本结合的共同作用引起了项目部门的关注。早在50年代G.G.Meyerhof提出了计算框架结构等效刚度的公式以考虑共同作用。S.Chamecki和H.Grosshof分别研究了多层多跨框架结构和地基基础的共同作用问题。H.Sommer提出了一种考虑上部结构刚度计算基础沉降、接触应力和基础弯矩的方法。O.C.Zeinkeiwicz和Y.K.Cheung利用有限元方法研究了上部结构和地基基础的共同作用。国内的裴捷、赵锡宏和董建国等都分别研究过共同作用问题。1上地壳的固结和流变的改变我们考虑图1所示的线弹性空间框架结构和矩形筏板以及饱和的粘弹性地基的共同作用问题。由于本文考虑的地基为粘弹性饱和土,因此,随着时间的变化,上部结构、基础的内力都会发生变化,地基反力也会随时间而变化。本文的目的就是要求解随着地基的固结和流变任意时刻上部结构和筏板的内力、位移以及地基反力。值得指出的是地基的固结和流变虽然是一个随时间而变化的过程,但是由于其变化的速度足够缓慢,因此可以把它看成是一个准静态过程而忽略其所引起的惯性项。由于现在已把上部结构、基础和地基看成是一个共同作用的整体,因此,在接触界面上,上部结构、基础和地基必须满足变形协调条件。下面根据变形协调条件来建立共同作用问题的控制方程。1.1节点自由度数和载荷上部结构为线弹性的空间框架结构。利用有限元方法对它进行离散,所有的梁和柱都看成是一个有12个自由度的空间梁单元。对于上部结构内部节点的自由度数用i来表示;上部结构的边界节点的自由度数用b来表示。结构总的自由度数n=i+b。整个结构的节点位移{U}和节点载荷{P}所满足的方程为把式(1)写成分块形式得到根据(2)式可以得到式(4)中的式(4)中的Pb(t)和Ub(t)未知,且是时间的函数,其中的Ub(t)的值取决于筏板的位移参数(1.2中将进一步说明);而其它量都已知。一般情况下Pi(t)也是时间的函数,如果外载荷不随时间变化则Pi不随时间变化。式(4)实际上表示了上部结构在载荷Pi的作用下,上部结构的边界力向量和边界位移向量所必须满足的关系。1.2人工地理解程度法上的位移函数参数,并根据其中的安图2所示的筏板其上部受到上部结构的反力{-Pb(t)}的作用,而筏板的下部受到地基反力q(X,t)(X=(x,y))的作用。对于受到上述载荷作用的粘弹性饱和地基上的矩形筏板其位移可以表示为因为上述级数是收敛的,因此,可以取该级数的前k2项来近似表示筏板的位移,即上式中Amn(t),s(t),θx(t),θy(t)为筏板的待定的位移参数,Amn(t)代表弹性变形所产生的位移,而s(t),θx(t),θy(t)则代表筏板的刚体位移,显然,它们都是时间的函数。利用式(7),根据薄板理论可以求出式(3)、(4)中的Ub(t)。如上所述,在地基固结和流变的过程中,上部结构、筏板和地基都处于准静态。因此,可以对筏板的位移函数参数Amn(t),s(t),θx(t),θy(t)取变分,使得筏板产生相应的虚位移,根据虚功原理上部结构和地基的反力在筏板虚位移上所做的虚功应该等于筏板的内力在其自身的虚位移上所做的虚功。首先对(7)式中的Amn(t)变分,则筏板的虚位移为同样,上部结构和筏板的交界点上的虚位移为上式中的[C1]可以根据(8)式利用薄板理论而得到。根据虚功原理可以得到上式中E为板的弹性模量,t为板的厚度,v为板的泊松比,q(X,t)为地基反力。下面考虑对(7)式中的s(t)变分,则筏板的虚位移为上部结构和筏板的交界点上的虚位移为类似地,上式中的[C2]可以根据(11)式利用薄板理论而得到。根据虚功原理得到对位移参数θx(t)变分可得上式中的[C3]的涵义以及求解方法和[C1]完全相同。对位移参数θy(t)变分可得式(15)中的[C4]的涵义及求解方法同[C1]。通过上面对筏板的分析,我们已经建立了关于筏板的k2+3个方程,即(10)、(13)、(14)和(15)。1.3laplace-同一种新的控制方程在地基的固结和流变的过程中,地基和筏板的变形协调,在本文中只考虑地基和筏板的垂直方向的变形协调,而忽略水平方向的变形协调。筏板在上部结构和地基反力作用下的位移如(7)式所示,而粘弹性饱和地基在筏板的压力的作用下的位移可以通过对粘弹性地基的基本解的积分而得到。因此,在讨论筏板和地基的变形协调条件以前,必须先建立粘弹性饱和地基表面作用垂直集中力时的基本解。图3所示表面透水的粘弹性饱和地基表面受垂直集中力作用。我们首先把地基的土骨架看成是线弹性的,先得出线弹性饱和土的基本解,然后,再利用对应原理得出粘弹性饱和土的基本解。在轴对称情形下,线弹性Biot固结方程为式中ur,uz分别是r,z方向的位移,p为超静水压(压为正),t为时间变量,式中这里,▽2是Laplace算子,e是体积应变,v和G是介质的泊松比和剪切弹性模量,c是固结系数,ρ是水的单位体积的重量,k是土的渗透系数。不难看出,在(16)式中土骨架的位移和孔隙水的超静水压是耦合在一起的。为了能得出(16)式的通解,引入McNamee位移函数把(16)式解耦为二个偏微分方程。即为了求解(18)式所示的偏微分方程,定义如下的m阶Laplace-Hankel变换这里函数上面的“—”表示该函数为变换域内的量。对(18)式进行(19)式所示的0阶Laplace-Hannkel变换,并求解所得的常微分方程,可得根据文献中的位移,应力以及孔隙水压的表达式并利用(20)式,可得变换域内以A、B、C、D、E、F为未知数的应力以及孔隙水压的表达式。半空间表面作用垂直集中力时边界条件为利用边界条件(21)和变换域内的应力以及孔隙水压的表达式就可以求解出上述问题在变换域内的解。进行相应的Laplace-Hankel逆变换,就可以得到时间域内的解。通过上面的分析已经得到了半空间线弹性饱和土表面受集中力作用时的基本解,对于粘弹性饱和地基可以根据所限的地基模型利用对应原理由线弹性饱和土的基本解得出其解。在本文中取地基为图4所示的三元件模型,根据粘弹性理论图4所示的模型的蠕变柔量为为了得到粘弹性饱和地基的基本解,只要把线弹性饱和土表面受集中力作用时的基本解中的弹性常数E换成1/((s)),然后进行相应的Laplace逆变换就可以得到粘弹性饱和地基的基本解。上面的(s)为J(t)的Laplace变换,s为Laplace变换的变换参数。利用上述的粘弹性饱和土的基本解,就可以建立筏板和地基的变形协调条件。假定在地基表面的ζ点处在0时刻作用单位载荷引起X点处的t时刻的垂直方向位移为u(ζ,X;t)。另外,任意一点的地基反力q(ξ,t)可以表示为利用(7)、(23)和垂直方向位移的基本解以及筏板和地基的变形协调条件可得上式即为时域内的筏板和地基的变形协调条件。通过上面的分析,已经建立了上部结构和地基基础共同作用问题的全部基本方程,即式(4)、(10)、(13)、(14)、(15)和(24),但是不难看出上述的控制方程都是在时间域内的,直接对上述方程进行求解在数学上比较困难。因此,对上述方程(即式(4)、(10)、(13)、(14)、(15)和(24)进行Laplace变换得到(25)～(30)式即为Laplace变换域内的共同作用的控制方程。对上述方程进行数值求解,然后进行Laplace逆变换即可以得到时间域内的地基的反力,筏板的位移和内力以及上部结构和筏板界面上的作用力。得出筏板的位移参数以后,上部结构在连接点上的位移可以根据薄板理论进行计算。根据上部结构在边界上的位移和关系式(3)就可以求解上部结构内节点的位移。求解出上部结构的节点位移以后,就可以利用空间梁单元的单元刚度矩阵来求解各个梁单元的节点内力。对于(25)～(30)式所得的数值解的Laplace逆变换方法,目前已经有很多种。文献对此进行了很好的综述,其中比较好的方法有Durbin方法,但是Durbin方法很费时。对于固结和流变问题Schapery的方法已经被很多文献证明是有效的,文献对此进行了报道。Schapery方法简单、计算效率高,其表达式为式中φ(t)为时间域内的待求的函数,而(s)为Laplace变换域内的已知函数,s为Laplace变换参数。采用该方法的另一个优点是可以直接对原方程进行变换。利用(31)可以把(25)～(29)重新化回到(4)、(10)、(13)、(14)和(15);而把(30)式化为因此,进行了Schapery的Laplace逆变换以后,可以利用式(4)、(10)、(13)、(14)、(15)和(32)直接得到时间域内的解,提高了计算效率。2可同化的变形式在式(10)、(13)、(14)、(15)和(32)中都存在对于面积D的积分。为了减少计算量我们采取如下的简化方法。即把筏板的面积D划分为一些矩形单元,并且假定这些矩形单元上的地基反力均匀分布,这样式(10)、(13)、(14)、(15)和(32)中的二重积分就可以化为代数和的形式。在划分矩形单元时尽可能地使这些矩形单元接近正方形,这样就可以用圆形均布载荷来代替这些矩形单元上的均布载荷。把矩形单元用圆形单元代替以后,要计算一个单元所引起的其它单元的位移或者要计算一个单元所引起自身的位移,可以不必利用上述的集中力基本解进行数值积分,而可以直接把圆形载荷当作基本解,利用Laplace-Hankel变换得到它的解。我们可以利用本文的方法具体计算图1所示的空间框架结构和地基基础的共同作用问题。3本文的工作原理本文提出了一种求解粘弹性饱和地基上上部结构和地基基础的共同作用问题的新方法。利用本文的方法可以很方便地求解出地基固结、流变的过程中上部结构和筏板的内力的变化以及地基反力的变化。应用本文的方法也可以求解上部结构对于地基固结和流变的影响。由于本文对于筏板采用了解析方法并且应用了Laplace变换方法,因而简化了计算方法,减少了计算量,提高了计算效率。此外,本文采用的地基模型为粘弹性饱和土,对于工程中所遇到各种不同的地基可以通过改变模型的参数来进行模拟,所以本文的方法适用性比较广。因此,本文的工作对于共同作用的工程实践有一定的指导意义。从上面的简短回顾不难看出以前的研究往往侧重于把地基看成是单相的土而对于地基为饱和土的情形则研究得不多。这主要是因为当考虑地基为饱和土时,地基反力、基础的内力以及上部结构的内力都随时间的变化而变化,因而在数学上和计算上都存在一定的困难。本文的目的就是利用Laplace变换和Hankel变换以及子结构等方法考虑粘弹性饱和地基和基础以及上部结构的共同作用问题。我们考虑的上部结构为线弹性空间框架结构,基础为线弹性矩形筏板,地基为粘弹性饱和土。首先利用子结构法把上部结构向边界(即上部结构和基础的交界点)进行凝聚,进而可以得到上部结构在交界点上的控制方程;对于筏板利用虚功原理可以得到上部结构在边界上的力、筏板位移函数的参数以及地基反力所满足的控制方