压电介质平面问题基本方程的一般解

压电介质平面问题基本方程的一般解

压电介质平面问题的基本解由于力学效果和力学变形的特殊性能，压迫材料在各种传感器和机械设计中得到了广泛应用。近年来，这项工作的研究不断深入，关于压力材料的误差、混合问题和有限的方法取得了许多重要进展。基本解或格林函数在压电材料的断裂、夹杂以及数值计算等研究工作中占有重要作用.Deeg和Chen分别通过Radon变换和三重Fourier变换给出了各向异性介质的三维基本解.它们都是以单位圆上的线积分形式表示的.Dunn将文的工作退化到横观各向同性,并且给出了显式解,但明显地不简洁实用.对于压电介质平面问题,Sosa和Castro曾用状态空间法研究过层状结构和半平面边界上作用集中载荷的问题,得到了显式解.Lee和Jiang用二重Fourier变换法求解平面问题的基本解,对第一组特征根给出了有限形式的解,由于二重Fourier逆变换的复杂运算,也使得这组解在形式上显得非常繁琐和难于校核.孟庆元和杜善义也给出了压电介质平面问题的基本解,但只是针对弹性各向同性问题.综观以上的工作,无论是三维问题还是平面问题他们都没有给出一种容易理解、既广泛又方便的供边界元法应用的基本解,同时,也没有论及材料特性各种不同情形的基本解.本文首先导出基本方程由三个位移函数构成的一般解,然后由状态方程出发,利用一般解和Fourier变换方法,得到了该状态方程在Fourier变换意义下的通解,对于单位集中力和单位点电荷情形分别求解,给出了压电介质平面问题各种情形下有限形式的基本解.其中s1s2=s3和s1=s2=s3两种情形的基本解是首次报导.1u3000方程的通解按照Sosa和Castro的文章可以得到二维压电介质的控制方程c11∂2u∂x2+c44∂2u∂z2+(c13+c44)∂2w∂x∂z+(e15+e31)∂2φ∂x∂z+f1=0(c13+c44)∂2u∂x∂z+c44∂2w∂x2+c33∂2w∂z2+e15∂2ϕ∂x2+e33∂2φ∂z2+f2=0-(e15+e31)∂2u∂x∂z-e15∂2w∂x2-e33∂2w∂z2+ε11∂2φ∂x2+ε33∂2φ∂z2+f3=0}(1)式中u,w是位移分量,ue001φ是电势,f1=fx,f2=fz和f3=ρf分别是单位体积力分量和自由电荷密度.方程(1)的通解可以写成如下形式uj=3∑i=1ΔijFi(j=1,2,3)(2)(a∂6∂z6+b∂6∂z4∂x2+c∂6∂z2∂x4+d∂6∂x6)Fi=-fi(i=1,2,3)(3)式中u1=u,u2=w,u3=ue001φ和Δ11=m1∂4∂x4+m2∂4∂x2∂z2+m3∂4∂z4Δ12=Δ21=-h1∂4∂x3∂z-h2∂4∂x∂z3Δ13=-Δ31=m4∂4∂x3∂z+m5∂4∂x∂z3Δ22=c11ε11∂4∂x4+h3∂4∂x2∂z2+c44ε33∂4∂z4Δ23=-Δ32=c11e15∂4∂x4+h4∂4∂x2∂z2+c44e33∂4∂z4Δ33=c11c44∂4∂x4+n1∂4∂x2∂z2+c44ε33∂4∂z4}(4)a=h7,b=-h6-h10,c=h5-h9,d=h8(5)系数hi和以后出现的系数均列于附录.2种受拉压的情况按照Sosa和Castro的文章有状态空间方程∂σ∂z=Aσ+f(6)式中σ={σz,τxz,Dz,w,u,φ}Τ(7)f={-fz,-fx,ρf,0,0,0}Τ(8)A=[0-∂∂x0000A21∂∂x0A23∂∂x0A25∂2∂x200A32∂∂x000A36∂2∂x2A410A430A21∂∂x00A520-∂∂x00A430A630A23∂∂x0](9)以及A21=-αγ,A23=-βγ,A25=c13α+e31βγ-c11,A32=-e15c44A36=κc44,A41=ε33γ,A43=e33γ,A52=1c44,A63=-c33γα=c13ε33+e31e33,β=c13e33-c33e31,γ=c33ε33+e233,κ=e215+c44ε11}(10)显然,方程(6)和方程(3)一样可分三种受力情形来求解,即1)fx≠0,fz=ρf=0;2)f2≠0,fx=ρf=0;3)ρf≠0,fx=fz=0.引入Fourier变换ˉF(ξ)=1√2π∫+∞-∞F(x)eiξxdx(11)对式(6)实施Fourier变换,得dˉ襕dz=ˉAˉσ+ˉf(12)根据常微分方程组的一般理论,式(12)的通解形式为ˉσ(z)=X(z)Κ+X(z)∫zz0X-1(s)ˉf(s)ds(13)式中K为待定常数向量,X(z)为方程组(12)的基础解系矩阵.对式(3)的齐次方程作Fourier变换,得到∏3i=1(d2dz2-s2iξ2)ˉFj=0(j=1,2,3)(14)其中s2i(i=1,2,3)是特征方程:as6-bs4+cs2-d=0的三个根,并假定si的实部大于零.按特征根的三种情形,写出方程(14)的通解(a)si互不相等情形ˉFj=3∑i=1(ki1esi|ξ|z+ki2e-si|ξ|z)(15a)(b)s1≠s2=s3情形ˉFj=∑i=1,3(ki1esi|ξ|z+ki2e-si|ξ|z)+k21zes3|ξ|z+k22ze-s3|ξ|z(15b)(c)s1=s2=s3情形ˉFj=3∑i=1(ki1esi|ξ|z+ki2e-si|ξ|z)zi-1(15c)对式(2)进行Fourier变换,并将式(15)代入,则得到ˉu,ˉw,ˉφ和σ¯z,τ¯xz,D¯z的三组表达式,它们都可写成如下形式σ¯(z)=X(z)Κ(16)式中X(z)为六阶函数矩阵,对三种受力情况是不一样的,K是待定常数向量.3s13.3.3.3利用z→±∞的条件确定式(13)中的K,对各种情况完成Fourier反变换,分别给出了si互不相等,s1≠s2=s3和s1=s2=s3三种情形下的解.需要指出的是,对z≥0和z<0两区域进行反变换其结果一致.设fi=Piδ(x)δ(z),按uj=∑i=13uijΡi的形式将解写出,得到(a)当si互不相等时u=1π[Ρ1De11∑j=13sj1t(2j)11ln,rj+Ρ2De12∑j=13sj2t(2j)21arctg,xzj-Ρ3De13∑j=13sj3t(2j)31arctg,xzj]w=1π[Ρ1De11∑j=13dj1t(2j)11arctg,xzj+Ρ2De12∑j=13dj2t(2j)21ln,rj-Ρ3De13∑j=13dj3t(2j)31ln,rj]φ=1π[Ρ1De11∑j=13gj1t(2j)11arctg,xzj+Ρ2De12∑j=13gj2t(2j)21ln,rj-Ρ3De13∑j=13gj3t(2j)31ln,rj]}(17)式中zj=sjz,rj2=x2+zj2,(j=1,2,3).(b)当s1s2=s3时u=1π{Ρ1De21[s11t212ln,r1-s31t412zz3r32+(s31t612-n531t412)ln,r3]+Ρ2De22[s12t222arctg,xz1+s32t422xzr32+(s32t622-n532t422)arctg,xz3]-Ρ3De23[s13t232arctg,xz1+s33t432xzr32+(s33t632-n533t432)arctg,xz3]}w=1π{Ρ1De21[d11t212arctg,xz1+d31t412xzr32+(d31t612-n431t412)arctg,xz3]+Ρ2De22[d12t222ln,r1-d32t422zz3r32+(d32t622-n432t422)ln,r3]-Ρ3De23[d13t232ln,r1-d33t432zz3r32+(d33t632-n433t432)ln,r3]}φ=1π{Ρ1De21[g11t212arctg,xz1+g31t412xzr32+(g31t612-n631t412)arctg,xz3]+Ρ2De22[g12t222ln,r1-g32t422zz3r32+(g32t622-n632t422)ln,r3]--Ρ3De23[g13t232ln,r1-g33t432zz3r32+(g33t632-n633t432)ln,r3]}}(18)(c)当s1=s2=s3时u=1π{Ρ1De31[(s11t213-n531t413+l551t613)ln,r1-(s11t413-2n531t613)zz1r12-s11t613z2z12-x2r14]+Ρ2De32[(s12t423-2n532t623)xzr12+s12t623z22xz1r14]-Ρ3De33[(s13t433-2n533t633)xzr12+s13t633z22xz1r14]}w=1π{Ρ1De31[(d11t413-2n431t613)xzr12+d11t613z22xz1r14]+Ρ2De32[(d12t223-n432t423+l452t623)ln,r1-(d12t423-2n432t623)zz1r12-d12t623z2z12-x2r14]-Ρ3De33[(d13t233-n433t433+l453t633)ln,r1-(d13t433-2n433t633)zz1r12-d13t633z2z12-x2r14]}φ=1π{Ρ1De31[(g11t413-2n631t613)xzr12+g11t613z22xz1r14]+Ρ2De32[(g12t223-n632t423+l652t623)ln,r1-(g12t423-2n632t623)zz1r12-g12t623z2z12-x2r14]-Ρ3De33[(g13t233-n633t433+l653t633)ln,r1-(g13t433-2n633t633)zz1r12-g13t633z2z12-x2r14]}}(19)在上述解中令Pi=1,即得基本解,这时由附录中的系数,不难发现有如下的关系u12=u21,u23=-u32,u13=-u31(20)例如,对si互不相等时的情形,有d11t211De11=s12t221De12=h1-h2s122c44(c33ε33+e332)(s12-s22)(s12-s32)等4压电介质平面问题本文得到了由三个位移函数Fi组成的一般解(2)和(3),对状态空间方程实施变换后,并全面地研究了方程(14)的通解,求得方程组(12)对应的基