一维连续体固有模态的振荡性质

一维连续体固有模态的振荡性质

维度连续性是指一个维度比另外两个维度大得多，位移有限，且不受界面以外的限制。常见的单跨平面杆、弦、Euler梁等模型都属于一维连续体。描述一维连续体的形变状态时,只需给出结点在一个方向上的(广义)位移值。如果不计一维连续体的分布质量,只有n个集中质量,此时的系统为n自由度的离散系统。该系统在常见支座条件下的模态有如下规律:(1)没有重频,即0<f1<f2<f3<f4<…<fn。(2)第1阶振型内部没有结点(结点:曲线在此点取零值,且斜率异于零)。(3)第i阶振型内部有i-1个结点。(4)相邻两阶振型的结点相间。(5)由第i,i+1,…,j阶模态叠加而成的运动,任意时刻挠曲线的结点数介于i-1和j-1之间。上述规律通常称为模态的振荡性质(oscillationproperty)。振荡性质是模态的重要定性性质,有着深刻的物理含义,可用于弹性结构振动反问题的研究,也可作为数值离散方案以及计算结果是否合理的辅助判据。利用振荡理论以及切比舍夫函数族的性质,文献(定理3.6.2、定义3.6.3、定理3.10.7和定理3.10.8)给出了质量集中在有限个点上的一维连续体,模态满足振荡性质的一个充分条件。引理1:若在一维连续体的内部或自由端受到单个集中力作用时,各处均有同受力方向的非零位移;且对任意的n>1,当其内部和自由端受到n个任意的集中力作用时,挠曲线穿过x轴不超过n-1次,则此连续体的固有模态具有振荡性质利用上述引理,文献证明了:引理2:常见支承条件(固支、简支等)下的Euler梁、杆、弦均满足引理1的条件,从而它们的模态具有振荡性质。一维连续体的近似模型,除了上述的分布刚度、集中质量模型,实际计算中还可用其它模型进行离散,如有限差分模型、有限元模型,它们的模态是否能反应振荡性质是值得关注的。设xk为一维连续体的离散结点,uk为结点模态位移,定义u-线为x-u平面上连接相邻(xk,uk)点的折线段,则一维连续体的位移离散模型适用的振荡性质为:(1)没有重频,即0<f1<f2<f3<f4<…<fn。(2)第1阶振型的u-线没有结点。(3)第i阶振型的u-线有i-1个结点。(4)相邻阶的振型的u-线结点相间。(5)第i,i+1,…,j阶振型的任意线性组合得到的u-线的结点数介于i-1和j-1之间。文献利用振荡矩阵的性质,通过将有限差分离散的变截面参数的梁、杆、弦等的刚度矩阵化为一系列对角、三对角矩阵的连乘形式,用代数方法证明了采用有限差分离散的梁的模态总是满足振荡性质的。文献采用类似方法证明了杆有限元模型的振荡性质。在有限元分析中,Euler梁通常采用2结点三次Hermite插值单元离散,其对应的总体刚度矩阵为七对角矩阵,难以直接利用文献中分析有限差分模型的矩阵方法来分析其模态的振荡性质,目前尚未见到相关论述。本文利用梁的集中质量模型与有限元模型的静力学解的一致性,指出两种常见的梁有限元模型的模态也具有振荡性质。1几种典型的离散模型为了证明本文的结论,先叙述如下两个引理:引理3:(文献定理2.5.6,定理2.7.10):若矩阵F(Fij)为振荡矩阵,即F满足:①行列式非零;②次对角元均为正;③对于1≤m≤n,任取0<i1<i2<…<im≤n行和0<j1<j2<…<jm≤n列,都有子式:det[Fi1j1Fi1j2⋯Fi1jmFi2j1Fi2j2⋯Fi1j1⋮⋮⋱⋮Fi1j1Fi1j1⋯Fimjm]≥0(1)det⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢Fi1j1Fi2j1⋮Fi1j1Fi1j2Fi2j2⋮Fi1j1⋯⋯⋱⋯Fi1jmFi1j1⋮Fimjm⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥≥0(1)则以F为柔度矩阵的振动系统的模态具有离散振荡性质。引理4:(文献引理3.5.4):一组线性无关连续函数{ϕi(x)}(i=1,2,…,m)的任意组合ϕ(x)=m∑1cϕi(x)ϕ(x)=∑1mcϕi(x)在某闭区间上穿过x轴的次数都不超过m-1次,等价于对于闭区间内任意的m个点x1<x2<…<xm,都有行列式:det[ϕ1(x1)ϕ2(x1)⋯ϕm(x1)ϕ1(x2)ϕ2(x2)⋯ϕm(x2)⋮⋮⋱⋮ϕ1(xm)ϕ2(xm)⋯ϕm(xm)](2)det⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ϕ1(x1)ϕ1(x2)⋮ϕ1(xm)ϕ2(x1)ϕ2(x2)⋮ϕ2(xm)⋯⋯⋱⋯ϕm(x1)ϕm(x2)⋮ϕm(xm)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(2)异于零(从而在闭区间上具有相同的符号)。在引理3与引理4的基础上,对一维连续体的离散模型可以建立本文的主要定理。定理1:设一维连续体的离散模型具有n个结点,若该离散系统的单个结点受到集中力作用时,各结点的位移均同向且非零;当该离散模型受到m(1<m≤n)个任意的结点集中力作用时,u-线穿过x轴不超过m-1次,则此离散系统的模态满足振荡性质。证明:记影响系数矩阵为F(Fij)对角集中质量矩阵为M,依引理3将定理的证明转化为证明FM为振荡矩阵。注意到FM的各阶子式的正负性只与影响系数矩阵F有关,与质量矩阵M无关,因此只需证明影响系数矩阵F为振荡矩阵。由F的正定性条件①成立。由定理1题设中一维连续体的离散模型受单个正的结点力时各点位移都为正,即:Fij>0(3)对任意的非约束结点i,j都成立,特别的,次对角元为正,即振荡矩阵的条件②被满足。在引理4中取函数族{ϕi(x)}为该系统任意m个结点i1<i2<…<im受单位作用力时的u-线,{ci}为作用在这m个结点上的集中力,那么按照定理1的条件假设,引理4的条件成立,取点集{xk}为任意m个结点i1<i2<…<im的坐标,从而行列式:det[Fi1j1Fi1j2⋯Fi1jmFi2j1Fi2j2⋯Fi1j1⋮⋮⋱⋮Fi1j1Fi1j1⋯Fimjm]=det[ϕ1(xj1)ϕ2(xj1)⋯ϕm(xj1)ϕ1(xj2)ϕ2(xj2)⋯ϕm(xj2)⋮⋮⋱⋮ϕ1(xjm)ϕ2(xjm)⋯ϕm(xjm)](4)det⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢Fi1j1Fi2j1⋮Fi1j1Fi1j2Fi2j2⋮Fi1j1⋯⋯⋱⋯Fi1jmFi1j1⋮Fimjm⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=det⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ϕ1(xj1)ϕ1(xj2)⋮ϕ1(xjm)ϕ2(xj1)ϕ2(xj2)⋮ϕ2(xjm)⋯⋯⋱⋯ϕm(xj1)ϕm(xj2)⋮ϕm(xjm)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(4)随着结点j1<j2<…<jm的变化在非零处保持同号。又取{ik}={jk},即取式(4)为F的主子式,则由F的正定性可知式(4)非负,因此F的任意m阶子式非负。遍取m为2到矩阵F的阶次,可知条件③成立。根据定义F为振荡矩阵,定理证毕。结合引理1、引理2和定理1,如果有限元模型在只受结点力作用的情况下,结点位移与解析解相等,再加上集中质量矩阵的条件,则有限元模型的模态具有振荡性质;下面将证明,杆、弦的有限元模型模态具有振荡性质,从最小余能原理构造的梁有限元模型模态具有振荡性质;对于Hermite三次插值函数的Euler梁单元,若截面参数在单元内取常数,模态也具有此性质;但是,若截面参数在单元内不为常数,模态未必具有振荡性质。2接触点上的杆、截面的等截面杆解析解文献中给出的有限元杆的振荡性质证明是通过代数方法得到的,我们在这里直接利用定理1对有限元杆给一个简单的说明。首先,如果只有作用在结点的集中力,有限元杆的静力学解在结点上与连续杆的解析解等同。因为对于等截面杆单元,我们有:EiAili(Δui)=ΔFi(5)如果是变截面杆单元,由于单元伸长量总是正比于所受拉力,因此总可找到一个等效单元刚度系数EiAili。从有限元理论可得到原杆的有限元解和以EiAi为截面参数的杆的解析解在结点上相等。注意到u-线是折线,其变号数不会比经过其结点的任意曲线的变号数多,由引理2,杆的解析解能满足引理1的条件,易知杆的有限元解也必然满足定理1的条件。因此有限元杆的离散振动解都满足振荡性质。3元音梁模型的振动特性3.1单元内弯矩计算有限元分析中,梁的刚度矩阵可以通过余能原理或Heilinger-Reissener原理得到。如果只有作用在结点的集中力,梁的弯矩图是一条折线,各单元内的弯矩可表示为两端弯矩{mi,mj}T的线性插值Μ=ΝF(ξ)⋅{mimj}‚ΝF(ξ)={1-ξ,-ξ},则按余能原理可以构造如下的单元内控制方程:{αiαj}=l∫l0ΝF(ξ)ΤΝF(ξ)EΙ(ξ)dξ{mimj}=Fe{mimj}(6)式中:{αi,αj}T是两端的相对转角,如图1所示;矩阵Fe可以理解为简支梁的柔度矩阵,其逆是对应简支梁的刚度矩阵。相对转角与挠度和转角的关系为:{αiαj}=Su=(1l1-1l01l0-1l1){wiθiwjθj}(7)如图2所示,对只有结点作用力的情形,弯矩在单元内线性变化,因此有限元形函数插值能准确描绘单元内弯矩。按照有限元理论,此时内力和位移在结点上等同于解析解。由引理2,Euler梁的解析解能满足引理1的条件,且有限元解u-线的变号数不多于解析解挠曲线的变号数,可知按余能原理构造的有限元Euler梁能满足定理1的条件,因此具有振荡性质。3.2单元内的对称有限元Euler梁的单刚的位能原理构造的标准方案是2结点三次Hermite插值梁单元,其单刚为:∫l0EΙ(ξ)l3(d2Νddξ2)Τd2Νddξ2dξ(8)式中:Nd=[1-3ξ2+2ξ3,l(ξ-2ξ2+ξ3),3ξ2-2ξ3,l(ξ3-ξ2)],单元内位移场we(ξ)=Ndue,ue=[w1,θ1,w2,θ2]T为结点变量。若单元内截面参数EI为常数,记第i个单元内的截面参数为EIi,则以EIi分段截面参数的连续梁解析解和有限元插值位移场同为三次函数,根据有限元理论,此时有限元梁的静力学解等同于该连续梁的解析解,因而也满足定理1的条件,具有振荡性质。若EI在单元内不为常数,则此时形函数不能精确插值位移场。当其受到n个集中力时,求得的u-线的变号数可能大于n-1,从而不满足定理1的条件,使得有限元梁的振荡性质不成立。算例1:如图所示左右对称的简支梁,离散为四个长度均为1的单元,三个内部结点上各有单位大小的集中质量:第1、4个单元的截面参数为常数:E(ξ)I(ξ)=4易知其单刚为:dΚe1,4=[4824-48242416-248-48-2448-24248-2416](9)第2、3个单元的截面参数关于梁中点对称,且在第2单元内为分段函数:EΙ(ξ)={0.02⋯(0≤ξ＜0.54,0.56＜ξ≤1)800⋯(0.54≤ξ≤0.56)(10)显然截面参数在单元内变化相当大,在实际应用中不会出现这样的单元,这里采用这种单元仅仅是探讨在单元截面参数变动的情况下,有限元梁是否始终满足定理1的条件。它的单刚为:dΚe2=[6.0767-6.5614-6.076712.6381-6.56147.9396.5614-14.5004-6.07676.56146.0767-12.638112.6381-14.5004-12.638127.1385](11)利用对称性可得第3单元的单刚。设梁中点受到单位集中力的作用,用有限元法可解得其位移场如图4所示:可见此时结点2、4的方向与结点3以及受力方向相反,不能满足定理1的条件。这个结果显然在物理上是不合理的。可以用余能原理计算的结果作为对比。本例中第1、4单元的余能原理构造的单刚与位能原理构造的单刚相同。第2单元的余能原理单刚为:dΚe2=[0.24014890.1198294-0.24014890.12031950.11982940.0802006-0.11982940.0396288-0.2401489-0.11982940.2401489-0.12031950.12031950.0396288-0.12031950.0806907](12)第3单元的单刚可由上式和对称性得到。组装后求得结点位移与解析解的位移场比较如图5所示:由图5可见,如前所述,余能原理构造的有限元的解在结点上等同于解析解。对比图4图5,可以看出本例使用位能原理方法时,若采用这种剖分方案,不仅刚度被大大高估,还得出了弯曲反向,结点位移反号的不合理结果,而力法有限元能适应这种剖分。进一步检验两种算法模态的振荡性质:取仅有单位结点平动质量的集中质量矩阵,采用位移有限元法计算,振型的u-线如下图:结点上的各振型位移如表1。显然,若采用本例所述的剖分方式,位移有限元模型解得的模态不符合力学规律,也不满足离散振荡性质:从表1中可以看出,本例中一阶振型有一个结点,二阶振型有两个结点,三阶振型没有结点,不符合第n阶振型的u-线只有n-1个结点的要求;由于三阶振型没有结点,相邻阶结点相互交错的性质自然也不能满足。这与其静力学解的结果不满足定理1的条件是对应的。采用余能原理构造的有限元模型计算模态得:易验证此时模态满足离散振荡性质,与前述的结论相吻合。理论上,Euler梁的模态应该满足振荡性质。用位移有限元计算的算例1不满足振荡性质,是这种剖分方案的离散误差过大引起的。实际划分单元时不可能允许截面参数在一个单元内有太大的变化,本例的意义仅在于说明了在Euler梁的位移法有限元计算中,随着系统误差的增加,看似显然的力学性质(模态的振荡性质和定理1的充分条件)也有可能不复成立。4有限元单元内截面