第4章 大型特征问题的实用近似计算方法

第四章大型特征问题的实用

近似计算方法邓克利法；瑞利法；里兹法；主要内容：§4.1邓克利法自由振动动力学方程为自由振动时邓克利法计算基频的近似值为实际基频的下限，它是由邓克利在用实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的。左乘柔度矩阵δ得令代入动力学方程，得标准特征值问题其中A的非零解条件要求方程的系数行列式为零设上式写作展开后得到的次本征方程其中矩阵的迹的负值当质量矩阵M为对角矩阵时而特征方程又可以写为系数导出柔度影响系数的物理意义为沿第坐标施加单位力坐标的位移。时所产生的第设想系统内只保留第质量时，则的倒数必等于此单自由度系统的刚度系数记系统内只保留第质量时的单自由度系统，其固有频率的平方故有因为对一般结构来讲，第二阶及以上的固有频率远大于第一阶基频，因此上式左端可只保留基频项，导出这就是说：我们可以把系统当作是n个单自由度系统，只须计算出这n个单自由度系统的固有频率后，用上式便可估计基频。邓克利法计算的为基频的下限，即低于实际的基频。?例：图示三自由度系统，用邓克利法估算基频的下限。解：动力学方程为当只有时当只有时当只有时该结构的精确解为误差5.2%mm2kkk2mx1x2x3§4.2瑞利法一、瑞利第一商瑞利法是一种基于能量原理的近似方法。通常用于估算系统基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。讨论n自由度保守系统。设系统作某阶主振动动能势能其中A为由n个振幅组成的列阵将主振动的规律代入动能和势能，得最大动能和最大势能：一般说来，系统的模态通常是不知道的，因而只能用一个假设的模态代入瑞利商求频率的近似值。瑞利商根据保守系统机械能守恒原理，应有导出若A准确地等于第i阶模态，将代入上式算出的瑞利商应准确等于第i阶固有频率的平方值若任选一个列阵ψ作为假设模态，它一般不是实际模态，但总能表示为简正模态的线性组合。其中为简正模态矩阵系数列阵代入瑞利商可以证明?若假设模态接近于第k阶的真实模态，来其它的系数都为小量即比起代入瑞利商得这表明：若假设模态与第阶模态则瑞利商与第阶固有频率平方的差别为一阶小量，的差别为二阶小量。从而证明瑞利商在系统的各阶真实模态处取驻值。解释：例如k＝1约去a1分子上加减1项特殊情形：

时

因此，瑞利法估计的基频必为实际基频的上限。思考：你能从物理的角度解释为什么瑞利法估计的基频总大于实际的基频吗?例：图示三自由度系统，用瑞利法估算基频的上限。解：动力学方程为考虑到离固定基座愈远的物体的等效弹簧刚度愈小，位移愈大，近似取代入瑞利商，得到故与精确解的相对误差为6%若取相应得到与精确解的相对误差为0.5%如何假设模态呢?一般地，以系统的静变形作为假设模态。

比如右图，可假设在三个质点处分别沿广义坐标方向作用有mg,

mg,2mg的力，此时三个质点的位移分别为4mg/k,

7mg/k,8mg/k因此，可假设模态为除利用质量矩阵和刚度矩阵以外，瑞利法还可以用动力矩阵表示，而且用动力矩阵表示的方法更加精确。由知代入势能表达式二、瑞利第二商最大势能最大动能根据能量守恒得到可以验证也就是说，用动力矩阵表示的瑞利商更能给出精确的结果这个瑞利商通常称作瑞利第二商，瑞利商的基本形式称作是瑞利第一商。前面的例子中，如果仍然采用假设模态现用瑞利第二商来求解，首先求出柔度矩阵代入瑞利第二商得到从而有显然比第一商算出的结果0.3959偏小，因而更精确。可以证明，对同一种假设模态，瑞利第二商总能比瑞利第一商给出更精确的结果。

里兹法是瑞利法的改进。用里兹法不仅可计算系统的基频，还可算出系统的前几阶频率和模态。里兹法将瑞利法的近似模态进行改进，提出更合理的假设模态，从而使计算出的基频更接近真实值。里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利法使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合。假设模态矩阵待定系数列阵§4.3里兹法将假设模态代入瑞利商其中由于瑞利商在系统的真实模态处取驻值，因而，向量A中的各待定系数可由下面的驻值条件来确定。因为所以利用二次齐次函数的特点，有其中，为阶单位阵的第列代入前式，得到的个方程综合为于是问题又归结为矩阵的本征值问题但是：新的本征值问题较原系统的本征值问题规模小。里兹法实质上起着使坐标缩并的作用缩并系统的质量矩阵缩并系统的刚度矩阵由缩并系统解得r个特征根及r个特征向量这些特征根即是原系统固有频率的近似值，缩并问题的特征向量也具有正交性，即将这些特征向量代入得到原系统的近似模态所导出的原系统模态仍具有正交性，即例：图示三自由度系统，用里兹法估算系统的前二阶频率解：质量矩阵和刚度矩阵为近似取前二阶假设模态为计算缩并的质量矩阵和刚度矩阵新的特征值问题为特征方程为令得得到前二阶固有频率的一次近似值前两阶固有频率对应的待定系数列阵规一化为原模态由于满足了瑞利商的驻值条件，用里茨法求出的模态比瑞利法更为合理。但毕竟不是真正的模态，所导出的固有频率仍高于真实值。计算经验表明，在用里茨法算出的固有频率中，前半频率的精度较高。因此，若要计算前S个固有频率，通常选取2S个假设模态。说明：里茨基向量的选取若假设模态矩阵正好由系统的前r个简正模态构成，记作由正交性条件易知此时，缩并系统的系数行列式为因此，缩并系统本征值问题的解给出系统前r个固有频率的真实值。从而证明，缩并系统特征值问题的解给出原系统前r个固有频率的精确值事实上，若线性独立的假设模态为前r个简正模态组合若假设的前r个模态不是真实模态，但若这些假设模态线性独立且可以表示为r个真实模态的线性组合，则缩并系统的本征值仍为原系统的前r个频率。则存在可逆矩阵B，使满足此时，缩并的刚度矩阵和质量矩阵为缩并系统的系数行列式为从几何观点分析：原系统的前r个模态构成r维线性子空间S的基底，而r个线性