第八章 平面解析几何

第八章平面解析几何第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程第二节

直线的交点坐标与距离公式第三节

圆的方程第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系第五节

椭圆第六节

双曲线第七节

抛物线第八节

曲线与方程第九节

直线与圆锥曲线专家讲坛目录[备考方向要明了]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.考什么1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等．3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．(2)主要是涉及直线方程和斜率.怎么考[归纳·知识整合]1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角①一个前提：直线l与x轴

；一个基准：取

作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为

.③倾斜角的取值范围为

．

(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k

.②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.相交x轴0°[0，π)tanα[探究]

1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系[探究]

2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？

提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．3．直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)_______________不含直线x＝x0斜截式斜率k与截距b___________不含垂直于x轴的直线y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b名称条件方程适用范围两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式截距a与b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)[探究]

3.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：当x1＝x2，或y1＝y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α(

)答案：C

2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为

(

)A．1

B．4C．1或3 D．1或4答案：A

3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为 (

)A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0答案：B

4．直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1＝________；若直线l2⊥l，则直线l2的斜率k2＝________.5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于________．答案：－3直线的倾斜角和斜率[例1]

(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(

)(2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，则直线AB的倾斜角为________；(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．若将本例(3)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围.斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是(

)答案：A

2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(

)答案：B

直线的平行与垂直的判断及应用用一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1与l2垂直的充要条件l1与l2平行的充分条件A2＋B1B2＝0l1与l2相交的充分条件l1与l2重合的充分条件3．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________.答案：－64．已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．答案：－8直线方程[例3]

(1)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为 (

)A．y－1＝3(x－3)

B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)(2)直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点．△OAB的面积为12，则直线l的方程是_____________________________________________．[自主解答]

(1)因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．[答案]

(1)D

(2)2x＋3y－12＝0求直线方程的常用方法

(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．

(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．5．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．

(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系αk0°00°<α<90°k>090°不存在90°<α<180°k<0(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式．

(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．

(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点[典例]

(2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为______________________．[答案]

x＋y－1＝0或3x＋2y＝01．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错．所以，可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．

2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：①选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；②选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况．已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为____．答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0“演练知能检测”见“限时集训（四十九）”1．直线l过点(－1,2)且与直线3y＝2x＋1垂直，则l的方程是 (

)A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析：法一：设所求直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，则3×(－1)＋2×2＋C＝0，得C＝－1，即l的方程为3x＋2y－1＝0.答案：A

2．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是 (

)答案：D

3．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．答案：3

4．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.[备考方向要明了]1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中．2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查.1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.怎么考考什么[归纳·知识整合]交点坐标(1)若方程组有唯一解，则两条直线

，此解就是

；相交交点的坐标(2)若方程组无解，则两条直线

，此时两条直线

，反之，亦成立．无公共点平行[探究]

1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝[探究]

1.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？

提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(

)答案：D

2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为 (

)A．10 B．5C．8 D．6解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．答案：A

答案：B

3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝ (

)答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝05．点(2,3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．答案：(－4，－3)两条直线的交点问题

[例1]

(1)经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是________．

(2)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0，若l1与l2相交，则实数m、n满足的条件是________．法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.[答案]

(1)x＋2y＝0

(2)m≠±4，n∈R若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程．经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)或m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0.1．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．距离公式的应用[例2]

已知点P(2，－1)．

(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．求两条平行线间距离的两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)利用两平行线间的距离公式．2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.对称问题[例3]

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中点在对称轴上．利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．

3．直线y＝2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，

若点A(－4,2)，B(3,1)，求点C的坐标．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：

(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；

(2)平行：Ax＋By＋n＝0.一般地，对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；创新交汇——新定义下的直线方程问题1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．

2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．[答案]①1．本题有以下创新点

(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．

(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．

2．解决本题的关键有以下两点

(1)根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；

(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题．3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点

(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；

(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；

(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．(1)求S＝f(k)的函数表达式；

(2)当k为何值时，直线y＝kx将四边形OABC分为面积相等的两部分．“演练知能检测”见“限时集训（五十）”1．记直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直时m的取值集合为M，直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行时n的取值集合为N，则M∪N＝________.2．已知A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB的平分线在y＝x＋1上，则AC所在直线方程是________．答案：x－2y－1＝03．已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．解：法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，4．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，求直线l的方程．[备考方向要明了]圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如2012年江苏T12等.1.掌握确定圆的几何要素．2.掌握圆的标准方程与一般方程.怎么考考什么[归纳·知识整合]1．圆的定义

(1)在平面内，到

的距离等于

的点的轨迹叫做圆．

(2)确定一个圆的要素是

和

．定点定长圆心半径2．圆的方程(1)标准方程①两个条件：圆心(a，b)，

；②标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.半径r(2)圆的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圆的充要条件为：

；③圆心坐标，半径r＝.D2＋E2－4F>0[探究]

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？

提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆．2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？

提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：3．点与圆的位置关系(1)理论依据：

与

的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)①

⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．点圆心(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是

(

)A．(2,3)

B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．答案：D

2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是 (

)A．－1<k<4 B．－4<k<1C．k<－4或k>1 D．k<－1或k>4解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.答案：D

答案：A3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是 (

)解析：∵点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴(2a)2＋a2<5，解得－1<a<1.4．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为

(

)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8答案：B

5．(教材习题改编)经过圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心，且与直线2x＋y＝0垂直的直线方程是______________．答案：x－2y－3＝0求圆的方程[例1]

(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为______________．

(2)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．[答案]

(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)

(2)(x＋1)2＋y2＝2求圆的方程的两种方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程．

1．求下列圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．与圆有关的最值问题[例2]已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．保持本例条件不变，求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．—————————————————与圆有关的最值问题及解决方法(2)形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．与圆有关的轨迹问题[例3]

已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

[自主解答]

(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.求轨迹方程的一般步骤

(1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x，y)；

(2)列式：列出几何等式；

(3)坐标化：用坐标表示得到方程；

(4)化简：化简几何等式得到的方程；

(5)证明作答：除去不合题意的点，作答．

3．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值；

(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算．

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.创新交汇——高考中与圆有关的交汇问题1．近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点．圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题．

2．对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题．1．本题有以下创新点

(1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，虽然两几何图形常见但不落俗套;

(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系，同时也考查了分类讨论思想．

2．解决本题的关键有以下两点

(1)弄清集合代表的几何意义；

(2)结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围．3．解决直线和圆位置关系问题要注意以下几点

(1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是几何方法判断其位置关系；

(2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论．1．若直线l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为 (

)答案：C

“演练知能检测”见“限时集训（五十一）”1．一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2＋8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为 (

)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支

D．抛物线解析：设圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2＋8x＋12＝0的圆心为O1(－4,0)，O′为动圆的圆心，r为动圆的半径，则|O′O1|－|O′O|＝(r＋2)－(r＋1)＝1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.答案：C

2．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．答案：x＋y－1＝03．已知圆C：(x－1)2＋y2＝2，过点A(－1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，则直线l的方程为________．[备考方向要明了]1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考什么1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较为简单，如2012年重庆T3，陕西T4等．2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012年天津T8等，难度为中低档.怎么考[归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交相切相离d<rΔ>0d＝rΔ＝0d>rΔ<0[探究]

1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？

提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离________________相外切______________________相交__________________________________相内切___________________________内含_________________________d>r1＋r2无解d＝r1＋r2一组实数解|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解[探究]

2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？

提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]答案：A

1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是 (

)A．相交B．相切C．相离

D．不确定2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为 (

)A．内切

B．相交C．外切

D．相离答案：B

答案：A

答案：D

4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是 (

)A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝05．(2012·重庆高考)设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝ (

)解析：因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，所以所得弦长|AB|＝2.答案：D

直线与圆、圆与圆的位置关系判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法

(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．

(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．

1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．解析：将x2＋y2－2y－3＝0化为x2＋(y－1)2＝4.由于直线l过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l与圆相交．答案：相交2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为 (

)A．抛物线B．双曲线C．椭圆

D．圆答案：A有关圆的弦长问题

[例2]

(1)(2012·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．—————————————————求圆的弦长的常用方法答案：D

答案：x2＋(y－1)2＝104.已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．圆的切线问题[例3]

已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．(2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2，∴|PM|2＝|PC|2－r2.又∵|PM|＝|PO|，∴|PC|2－r2＝|PO|2，∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2.∴2x－4y＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程．求过一点的圆的切线方程的方法

(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x＝x0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．

(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．

(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．(1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；

(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；

(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．

2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例]

(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．1．本题有以下创新点

(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．

(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．

2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点

(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数；

(2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验．答案：A

2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．“演练知能检测”见“限时集训（五十二）”1．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(

)答案：C

3．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O与⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．[备考方向要明了]1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能出现，如2012年山东T10等，题目难度中低档．2.直线与椭圆位置关系问题一直是高考的重点，多以解答题形式考查，难度相对较大，如2012年陕西T19等.1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.怎么考考什么[归纳·知识整合]1．椭圆的定义

(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之

等于常数；③常数大于

.(2)焦点：两定点．

(3)焦距：两

间的距离．

[探究]

1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？

提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．和|F1F2|焦点2．椭圆的标准方程和几何性质－aa－bbb－bax轴、y轴(0,0)－a(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2－b2[探究]

2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？[自测·牛刀小试]答案：D

答案：AA．6 B．5C．4 D．3解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为 (

)答案：A

答案：C

答案：4椭圆的定义、标准方程用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组.

(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求；注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).答案：3椭圆的几何性质及应用(1)求椭圆C的离心率；—————————————————椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．答案：B

直线与椭圆的综合(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0<e<1)．

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板——直线与圆锥曲线的位置关系[典例]

(2012北京高考

·满分14分)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．

(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．[快速规范审题][准确规范答题]

联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件．不会将三点共线转化为斜率相等去证明．整体运算不准确，导致推证不出正确的结论．[答题模板速成]解决直线与圆锥曲线位置关系问题的解题步骤：第一步审清题意分析条件，确定相应的曲线方程⇒第二步联立方程联立方程消元后保证Δ的取值，利用根与系数关系建立两交点坐标关系第三步问题转化求解将所给定的问题坐标化、方程化，转化过程中要注意整体运算中x1＋x2，x1x2的运用⇒第四步得结论解决问题得出结论⇒第五步反思回顾反思回顾解题过程，检查步骤是否完备⇒“演练知能检测”见“限时集训（五十三）”答案：2(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(1)求该曲线C的方程；[备考方向要明了]1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.考什么1.双曲线的定义、几何性质和标准方程是高考常考内容，三种题型均有可能，高考对双曲线的要求比椭圆要低，难度为中低档，如2012年大纲全国T8，新课标全国T8等．2.直线与双曲线也是高考的重点考查内容之一，多以解答题形式考查，题目难度较大.怎么考[归纳·知识整合]1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；

(2)动点到两定点的距离的___________为一定值；

(3)这一定值一定要

两定点的距离．

[探究]

1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？

提示：只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．差的绝对值小于2．双曲线的标准方程和几何性质坐标轴原点坐标轴原点(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)a2＋b22a2b[探究]

2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．

3．等轴双曲线

等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝____，渐近线方程为__________.实轴与虚轴y＝±x[自测·牛刀小试]1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 (

)答案：C

解析：由题意知，a＝2，故长轴长为2a＝4.A．k>5 B．2<k<5C．－2<k<2 D．－2<k<2或k>5解析：由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或k>5.答案：D

答案：D

A．1或5B．6C．7D．9答案：C

5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为________．双曲线的定义、标准方程[例1]

(1)(2012·大纲全国卷)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ (

)[答案]

(1)C

(2)B双曲线定义运用中的两个注意点

(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义;

(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支．

答案：A

A．2B．3C．4D．6答案：B

双曲线的几何性质及应用答案：(1)C

(2)C—————————————————研究双曲线几何性质时的两个注意点(1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点；答案：C

直线与双曲线的综合问题

[例3]

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)．

(1)求双曲线方程；求解双曲线综合问题的主要方法(1)求双曲线的离心率；(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a，b，c即可求得方程．(2)待定系数法

双曲线的几何性质从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；

(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；

(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．易误警示——双曲线几何性质的解题误区[答案]

A(1)因对双曲线的几何性质不清，误以为c＝10，错选C；

(3)解决与双曲线性质有关的问题时，还易出现对a，b，c之间的关系式c2＝a2＋b2与椭圆中a，b，c之间的关系式a2＝c2＋b2的混淆，从而出现解题错误等．答案：2“演练知能检测”见“限时集训（五十四）”答案：D

[备考方向要明了]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.考什么1.抛物线的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能，难度为中低档，如2012年陕西T13等．2.直线与抛物线问题是高考重点考查内容，多以解答题形式考查，难度中等偏上.怎么考[归纳·知识整合]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离

；

(3)定点

定直线上．

[探究]

1.当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？

提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．相等不在2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形1[自测·牛刀小试]1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 (

)A．y2＝－8x

B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.答案：C

2．已知d为抛物线y＝2px2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd等于 (

)答案:D

4．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中心，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.答案：2抛物线的定义及应用

[例1]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)