第二章 傅里叶变换

数字图像处理技术DigitalImageProcessing

Technique吴昊天E-mail:htwu1981@163.com第二章

图像变换技术要点：1.

主要介绍图像处理重要的工具—傅里叶变换.2.傅立叶变换在图象处理中的意义是什么?3.什么是高频、中频和低频成分，它们分别对应空间域图像的哪些部分?4.什么是卷积定理，它在图象处理中的作用是什么?5.

傅立叶变换的性质。1822年，傅立叶（Fourier）发表了“热传导解析理论”，提出了傅立叶变换。它本质上提出了一种与空间思维不同的频域思维方法。傅立叶变换是十九世纪数学界和工程界最辉煌的成果之一。它一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。它也是线性系统分析的有利工具。傅立叶变换能使我们从空间域（或时域）与频率域两个不同的角度来看待信号或图象的问题。有时在时域无法解决的问题，在频域却是显而易见的。4.1背景傅里叶分析中最重要的结论就是几乎“所有”的函数(信号)都可以表示为(分解成)简单的(加权)正弦波和余弦波之和。从而提供了一种具有物理意义的函数表达方式。设:f(x)是以T为周期的函数,满足一定的条件,例如绝对可积,则有4.1背景特别注意傅氏级数中基底的物理意义非常明确,每一个基函数都是一个单频谐波,而相应的系数(频谱)表明了原函数对这种频率成份贡献的大小(原函数在这个谐波上的投影),或者说原函数中某种频率成分的多少.从图像(信号)处理的角度,利用谐波的物理性质可以通过对系数的处理达到对图像的处理,如增强、压缩等等.f(x)傅氏系数ak的计算,需要用到函数在整个空间(或时间)上的分布情况.一维傅里叶变换及反变换考虑定义在无穷区间连续函数的傅里叶变换公式(通常函数要满足一定的条件才能保证傅里叶变换的存在性和收敛性):4.2傅里叶变换和频率域介绍连续情形的傅里叶变换比较方便用于公式推导和定理证明,但在实际应用中,面临更多也更实际的是离散的情况.定义离散情形的傅里叶变换(DFT)公式:f(x)为离散函数,其中x=0,1,…,M-1.离散傅里叶变换和它对应的反变换总是存在的,不必特地关心分析各项的意义.频率域的概念:利用欧拉公式:ej

=cos+jsin,有其中u=0,1,2,…,M-1.变量u确定了变换的频率成分→

u的取值范围称为频率域(给定一个u

上述公式可以计算出离散信号中包含了“多少”这个频率的谐波).对每一个u,F(u)称为变换的频率分量(也叫振幅).4.2傅里叶变换和频率域介绍

F(u)可以看作f(x)在谐波上的投影，即f(x)在频率为u的谐波上占有的成份。谱的概念:注意到傅里叶变换后的函数是在复数域内,也可以表示为

F(u)=R(u)+iI(u)或极坐标的形式:F(u)=|F(u)|ej

(u).我们把量|F(u)|=[R2(u)+I2(u)]1/2称为傅里叶变换的幅度(Magnitude)或者谱(Spectrum).这是在图像处理中要经常用到的量.谱可以表示原函数(或图像)对某一频谱分量的贡献.称为变换的相角或者相位谱,用来表示原函数中某一频谱分量的起始位置*.另外,一个重要的量是功率谱(有时也叫能量谱、谱密度) P(u)=|F(u)|2=R2(u)+I2(u)4.2傅里叶变换和频率域介绍例4.1两个简单一维函数的傅里叶谱特征:(1)当曲线下的面积在x域加倍时,频率谱的高度也加倍;(2)当函数的长度加倍时,相同长度区域内的零点数量也加倍.极限情况?4.2傅里叶变换和频率域介绍解释:图a函数的傅里叶变换为:易见,当u=0时,ru=1,故而若u

0,则ru

1,对u=1,2,…,M-1,利用欧拉公式可知:r=cos(2/M)-jsin(2/M).所以,当uK是M的倍数时,就有ruK=1(当然这时也有ru2K=1

),从而F(u)

=0.如果图a中函数f(x)非零点的个数是K时,F(u)=0的点数是n个,那么,当f(x)的非零点数是2K时,F(u)=0的点数应该是2n个.4.2傅里叶变换和频率域介绍关于变量的说明:书中的记号f(x)(x=0,1,…,M-1)表示从连续函数中取M个样点,这些点不一定选取为区间[0,M-1]中的整数点.通常用x0(任意位置的)表示第一个取样点,

x是取样间隔.所以,f(x)理解为其中:u=0,1,…,M-1.值得注意的是,当M固定时,

x和

u之间有如下的反比关系:其中:x=0,1,…,M-1.同理,变量u有相似的解释,但序列通常总是从0频率开始.因此,u的取值序列为u=0,

u,2

u,…,(M-1)

u.F(u)理解为:4.2傅里叶变换和频率域介绍二维DFT及反变换

离散情形完全类似.设f(x,y)是一幅尺寸为M×N的图象函数,相应的离散傅里叶变换(DFT)可以表示为:傅里叶谱:|F(u,v)|=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2二维傅里叶变换本质上是一维情形向两个方向的简单扩展.4.2傅里叶变换和频率域介绍相角:

(u,v)=arctan[(I(u,v)/R(u,v)]功率谱:P(u,v)=|F(u,v)|2=R2(u,v)+I2(u,v)注意:为了把变换后的中心移到图像的中心(M/2,N/2),通常在变换之前都要在函数上乘以(-1)x+y.

这是由于傅里叶变换的平移性质决定的,以一维为例: f(x)ej2

u0x/M

F(u-u0) f(x-x0)

F(u)e-j2

x0u/M当x0=M/2或u0=M/2时 f(x)(-1)x

F(u

-M/2) f(x-M/2)

F(u)(-1)u4.2傅里叶变换和频率域介绍对频谱图像的认识?4.2傅里叶变换和频率域介绍易见是图像的平均灰度.因为在原点处两个方向的频率都为零,所以,这个量经常被称为频谱的直流分量(DC).DC就是电子工程领域中的直流,也就是零频率的电流.和一维情形,同样也有4.2傅里叶变换和频率域介绍例4.2一个简单函数的频谱(已经做过中心化处理).图像是512

512的黑色背景上叠加一个20

40象素的白色矩形.频谱的显示经过了对数变换处理以加强灰度级细节,并适当调整了灰度强度.可以看出,u方向谱的零点分隔恰好是v方向零点分隔的两倍,在不同方向上符合了原图中1:2的矩形尺寸比例.这和一维情形完全类似.极限情况、能量分布情况?4.2傅里叶变换和频率域介绍频率域滤波频率域的基本性质傅里叶变换每个频谱分量都要涉及到图像空间中的每个像素,所以一般来说,频谱信息中很难看出空间的信息。但由于频率反映的是空间强度的变化率,如低频对应着图像变化慢的部分,高频对应着图像变化快的部分。所以,在某种意义上两者之间仍然有不可分割的联系,尽管这些联系是“总体”的.(4.2.16)(4.2.17)4.2傅里叶变换和频率域介绍例4.3一幅图像和显示某些重要特征的傅利叶谱集成电路的扫描电子显微镜图像,放大2500倍.注意:

45

角的两个强边缘和热感应不足引起的两个白色氧化突起.高频和低频部分,能量分布的一般情况.4.2傅里叶变换和频率域介绍频率域滤波基础f(x,y)

F(u,v)步骤:(1)用(-1)x+y乘以输入图像,做频谱中心化处理;(2)计算(1)结果的DFT,即F(u,v);(3)用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v)(在频谱域处理图像)－滤波器函数下面讨论;(4)计算(3)中结果的反DFT;(5)得到(4)结果中的实部;(6)用(-1)x+y乘以(5)中的结果滤波和滤波器:滤波顾名思义就是阻止或减少信号或图像中的某些频率成分.滤波器(函数)就是能起到这样作用的函数.一般表达式:

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)滤波后的结果图像可以从G(u,v)的反傅里叶变换得到. g(x,y)=

-1G(u,v)4.2傅里叶变换和频率域介绍频域滤波的基本步骤(包括前处理和后处理):一些基本的滤波器及其性质陷波滤波器(NotchFilter):使得处理后的图像平均值为零,从而图像的整体灰度降低.4.2傅里叶变换和频率域介绍对图4.4a使用陷波滤波器,将傅里叶变换的原点设置为0.4.2傅里叶变换和频率域介绍低通滤波器和高通滤波器4.2傅里叶变换和频率域介绍高频增强滤波4.2傅里叶变换和频率域介绍空间域滤波器和频率域滤波器之间的对应关系

结论:空间域的滤波器,和频率域的滤波器组成了一组傅里叶变换对.也就是说,给出在频率域的滤波器,通过傅里叶反变换就可以得到在空间域相应的滤波器,反之亦然.这个最基本的联系是由著名的卷积定理建立起来的.两个M

N的离散函数f(x,y)和h(x,y)的卷积定义为空间域滤波的本质上就是用选好的掩模(mask),经过一定的处理,与给定的图像作卷积.例如:平滑滤波的掩模4.2傅里叶变换和频率域介绍卷积定理

F(u,v)

f(x,y)的傅里叶变换

H(u,v)

h(x,y)的傅里叶变换则有

f(x,y)*h(x,y)

F(u,v)·H(u,v) f(x,y)h(x,y)

F(u,v)*H(u,v)4.2傅里叶变换和频率域介绍卷积定理的证明提示：

（51）

（52）证明：由定义：

定义:在坐标(x0,y0)处强度为A的冲激(脉冲)函数

A

(x–x0,y–y0)满足一些结论：1。2。3。这个结论的指导意义:在频率域选择滤波器更为直观,物理意义比较明确.在空间域用较小的模板进行滤波计算则比较经济.如果两个滤波器的大小一样,则在频率域进行滤波计算比较方便.更令人感兴趣的是,在频率域找到一个有意义的滤波器,然后作傅里叶反变换,并以此为依据,尽可能在空间域建造尽可能小的滤波模板.高斯滤波器以一维为例,设高斯滤波器(频率域)为H(u)=Ae-u2/2

2,其中:

为高斯曲线的标准差.而相关的空间滤波器则为注意高斯函数有两个重要特性:①它本身和它的傅里叶变换都是实高斯函数;②这一对傅利叶变换相互间有某种反比特性,即当H(u)有较宽的轮廓(大的

值)时,h(x)有较窄的轮廓,反之亦然.当接近无限时,H(u)趋于常数量,h(x)则趋于冲激函数.4.2傅里叶变换和频率域介绍高斯函数是低通滤波器(?),但也可以通过组合构造出更复杂的滤波器,如高通和带通等.高频增强空间域频域滤波器空间域4.2傅里叶变换和频率域介绍其中:在频率域技术的发展过程中,经常被问到的问题就是计算复杂性.为什么在空间域用小模板就可以做到的事情,却要在频率域里去考虑?这个问题可以从两方面来回答:一方面是因为频率域直观,可以很容易凭经验指定滤波器;另一方面的答案取决于空间模板的大小,并可以用对比计算复杂性的方式来回答.一个用于计算复杂性对比的基准是计算卷积.空间域的卷积由公式(4.2.30)给出.而由卷积定理可知,对两个函数傅里叶变换的乘积做反变换,也可以得到同样的结果.假定:在同一台微机上用软件实现这两种算法(频率域使用4.6.6节讨论的FFT),会发现对较小的M和N值,频率域的计算会非常快.频率域可以看成是一个实验室,从中可以利用频率成分和图像外观之间的对应关系.后面的许多例子将反复证明:一些在空间域中很难表述、甚至不可能的增强任务,在频率域会变得非常简单.例如周期性背景噪声.4.2傅里叶变换和频率域介绍4.3傅里叶变换的实现这一节是本章的重要内容之一.目的是解决实际计算傅里叶变换时出现的问题,包括快速傅里叶变换.

假设:f(x,y)是M

N的二维图像,F(u,v)是其傅里叶变换,有平移性质

f(x,y)ej2

(u0x/M+v0y/N)

F(u–u0,v–v0)

f(x–x0,y–y0)F(u,v)e-j2

(x0u/M+x0v/N)二维傅里叶变换的性质注意:当u0=M/2和v0=N/2时,有

ej2

(u0x/M+v0y/N)=ej

(x+y)=(-1)x+y

f(x,y)(-1)x+y

F(u–M/2,v–N/2)提供了频谱中心化的方法.分配性和比例变换性

旋转性质:如果引入极坐标: x=rcos, y=rsin, u=

cos, v=

sin

f(r,+0)F(,+0)此式表明当原图像f(x,y)以某一角度旋转时,其谱平面也将转过同样的角度.注:对离散情形,若有M=N,证明易见.4.3傅里叶变换的实现f(x,y)ej2

(u0x/M+v0y/N)

F(u–u0,v–v0)2023/10/1835(a)原始图像(b)DFT变换(c)原始图像旋转45º(d)旋转之后DFT变换结果*周期性和对称性直接验证可知,离散傅里叶变换具有周期性 F(u,v)=F(u+M,v)=F(u,v+N)=F(u+M,v+N)注意e-j2

x=1,故

e-j2

((u+M)x/M+vy/N)=e-j2

(ux/M+vy/N)同理,反变换也具有周期性

f(x,y)=f(x+M,y)=f(x,y+N)=f(x+M,y+N)除此之外,还有共轭对称性 F(u,v)=F*(-u,-v)共轭的定义为:若一个复数Z=x+i·y,则其共轭为Z*=x-i·y,且|Z|=|Z*|.4.3傅里叶变换的实现由傅里叶变换的共轭对称性质可以得到结论:频谱是关于原点对称的.

|F(u,v)|=|F(-u,-v)|上述这些性质说明在这里给出的离散傅里叶变换是周期函数,并关于原点对称(经过平移即为中心对称).4.3傅里叶变换的实现可分性还可交换顺序.因而在实际计算中,可逐列或逐行先计算一维的傅里叶变换,然后对另外一个方向实行计算反变换的计算类似。4.3傅里叶变换的实现用前向变换计算傅里叶反变换上式两边取复共轭并除以M,有上式的形式和前向变换一样,左边再取复共轭并乘以M就是对F(u)反变换的函数.4.3傅里叶变换的实现主要思路是基于傅里叶变换的共轭性质,利用正变换公式计算反变换.傅里叶变换我们知道,傅里叶变换可以简化一些运算,例如:卷积、微分等.但由于离散傅里叶变换(反变换)自动将原函数做了周期化的处理,因此在利用傅里叶变换处理函数(或图象)时,一定要注意这种周期化对运算的影响.以卷积为例(特别注意在频谱域滤波就相当于在空间域的卷积).以一维为例:如果f(x)和函数h(x)各有400个点(如图4.36a和4.36b),那么,(4.3.20)4.3傅里叶变换的实现关于周期性的更多讨论:直接按公式(4.6.20)计算(注意在定义域外的点不参与运算),它们的卷积函数g(x)应该是有800个点,从0到799,结果函数如图4.36e所示(这个是正确的解).如