《离散数学》第一章7-8节

复习真值表等价公式证明方法（真值表、公式证明法）整理ppt16组重要等值式1、双重否定律

P

┐┐P2、幂等律

P

P∧PP

P∨P3、交换律

P∨QQ

∨PP∧QQ

∧P4、结合律

(P∨Q)∨R

P∨(Q∨R)(P∧Q)∧R

P∧(Q∧R)整理ppt5、分配律

P∨(Q∧R)(P∨Q)∧

(P∨R)P∧(Q∨R)(P∧Q)∨

(P∧R)6、吸收律

P∨(P∧Q)

PP∧(P∨Q)

P7、德摩根律

┐

(P∨Q)

┐P∧┐Q

┐(P∧Q)

┐P∨

┐Q8、零律

P∨TTP∧FF9、同一律

P∨FPP∧TP整理ppt10、排中律

P∨

┐PT11、矛盾律

P∧

┐PF12、蕴涵等值式

PQ

┐P∨Q13、等价等值式

P

Q

（PQ）∧

（QP）14、假言易位

PQ

┐Q┐P15、等价否定等值式

P

Q

┐P

┐Q16、归谬论

（PQ）∧

（P

┐Q）

┐

P记忆技巧：借助集合的运算式，∨看成并，∧看成交，┐看成补，T看成全集，F看成空集，再加12-16条。整理ppt其他等价公式其他联接词(1)P▽Q

┐(P

Q);双条件否定(不可兼析取或,异或)(2)PQ

┐(P→Q);条件否定(3)P↑Q

┐(P∧Q);与非(4)P↓Q

┐(P∨Q);或非整理ppt1-7对偶与范式对偶范式整理ppt一、对偶式定义1-7.1：在给定的仅含有┐,∧,∨的命题公式中，将∨换成∧，将∧换成∨，T和F互换，所得公式A﹡称为A的对偶式。例1：写出（P∨Q）∧┐R的对偶式解：对偶式为（P∧Q）∨┐R写出（P∧┐Q）∨T，┐P∨F∧T的对偶式整理ppt定理1-7.2:设P1,P2,…Pn是出现在公式A和B中的所有原子变元,如果A

B,则A﹡

B﹡.整理ppt二.公式的标准型——范式整理ppt1.范式定义1-7.2：一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有

A1∧A2∧…∧An

其中A1,A2,…,An都是由命题变元或其否定所组成的析取式.定义1-7.3:一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有

A1∨A2∨…∨An

其中A1,A2,…,An都是由命题变元或其否定所组成的合取式.例如:(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q)∧┐Q

┐P∨(P∧Q)∨(P∧┐Q∧R)合取范式析取范式整理ppt步骤可以通过下面3个步骤将任一命题公式化为合取范式或析取范式：将公式中的联结词化归成∧，∨及┐；利用德.摩根律将否定符号┐直接移到各个命题变元之前；利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取范式。例5:求（P∧（Q→R））→S的析取范式和合取范式解：原公式

┐(P∧（┐Q∨R）)∨S

（┐P∨（Q∧┐R））∨S

┐P∨（Q∧┐R）∨S

（┐P∨S∨Q）∧（┐P∨S∨┐R）析取范式合取范式整理ppt所以原式

(┐(P∨Q)

∧(P∧Q))

∨((P∨Q)∧┐

(P∧Q))例6:求┐(P∨Q)(P∧Q)的析取范式。解：因为(A

B)

(A∧B)∨(┐A∧┐B)

(┐P∧┐Q∧P∧Q)

∨((P∨Q)∧(┐P∨┐Q))

(┐P∧┐Q∧P∧Q)

∨(P∧┐P)∨(P∧┐Q)

∨(Q∧┐P)∨(Q∧┐Q)注意：任一命题公式都可以化为合取范式或析取范式的形式整理ppt2.

范式的应用

利用范式对公式进行判断：(1)公式A为永假式的充要条件是A的析取范式中每个简单合取式至少包含一个命题变元及其否定。例：A(P1,P2,…,Pn)

(P1∧┐P1∧…)∨(P2∧┐P2∧…)∨…(2)公式A为永真式的充要条件是A的合取范式中每个简单析取式至少包含一个命题变元及其否定。例：B(P1,P2,…,Pn)

(P1∨┐P1∨…)∧(P2∨┐P2∨…)∧…整理ppt例如:判断下列公式为何种公式：(1)

P∨（Q→R）∨┐(P∨R)(2)

（P→Q）→P解:(1)

P∨（┐Q∨R）∨（┐P∧┐R）

（P∨┐Q∨R∨┐P）∧（P∨┐Q∨R∨┐R）永真(2)

┐（┐P∨Q）∨P

（P∧┐Q）∨P

（P∨P）∧（┐Q∨P）可满足式整理ppt3.

范式不唯一性

P∨(Q∧R)

(P∨Q)∧(P∨R)

(P∧P)∨(P∧R)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

分配律对识别公式是否等价带来一定困难，解决方式：主范式整理ppt1.主析取范式小项的概念定义1-7.4:n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。例如：P∧Q，┐P∧Q，P∧┐Q，┐P∧┐Q是P∧Q∧┐P不是问题：n个变元可有多少小项？三.公式的主范式整理pptPQP∧QP∧┐Q┐P∧Q┐P∧┐QTTTFFFTFFTFFFTFFTFFFFFFT见课本P33表1-7.2，三个变元的情况整理ppt下标表示法：命题变元按字典顺序排列，命题变元对应1，变元的否定对应0。对小项依二进制编码（或用十进制编码）。如：P∧Q┐P∧Qm11(m3)m01(m1)P∧┐Qm10(m2)┐P∧┐Qm00(m0)整理ppt小项的性质：(1)每一小项当其真值指派与编码相同时，其真值为T，在其余指派情况下均为F。(2)任意两个不同小项的合取为假。例：m110∧m100=(P∧Q∧┐R)∧(P∧┐Q∧┐R)

P∧┐P∧┐Q∧R∧┐R

F(3)全体小项的析取值永为真。

2n-1

∑mi=m0

∨m1∨…∨m2n-1

Ti=0

整理ppt主析取范式定义1-7.5：在给定公式的析取范式中，其简单合取式都是小项，则称该范式为主析取范式。例:P∧

(Q∨R)

(P∧Q)∨(P∧R)

不是可由两种方法构成:1)公式推导法2)列表法

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)整理ppt由基本等价公式推出主析取范式。其推演步骤可归纳为：化为析取范式.删除永假的简单合取式化简重复出现的变元（等幂律）(4)

补进未出现的变元（同一律）添加(P∨┐P),然后利用分配律展开公式推导法整理ppt例8求(P∧Q)∨(┐P∧R)∨(Q∧R)的主析取范式。解原式

(P∧Q∧(R∨┐R))∨(┐P∧R∧(Q∨┐Q))∨(Q∧R∧(P∨┐P))

(P∧Q∧R)

∨(P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)

∨(┐P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)

∨(┐P∧┐Q∧R)注意

主析取范式的唯一性整理ppt例9求P→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式解原式

┐P∨((┐P∨Q)∧(Q∧P))

┐P∨((┐P∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))

┐P∨(┐P∧Q∧P)∨(Q∧P)

┐P∨(Q∧P)

(┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)

(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)整理ppt列表法定理1-7.3:在真值表中,一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取,即为此公式的主析取范式。整理ppt

P

QP→QP∨Q┐(P∧Q)A

T

TTTF

F

T

FFTT

F

F

TTTT

T

F

FTFT

T例6.求下列公式的主析取范式:P→Q，P∨Q，┐(P∧Q)，AP→Q

(P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)P∨Q

(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)┐(P∧Q)

(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)A

(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)整理ppt如：

P∨QM00(M0)

┐P∨QM10(M2)

大项的概念定义1-7.6

n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项。其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。例如：P∨Q，┐P∨Q，P∨┐Q，┐P∨┐Q下标表示法：命题变元按字典顺序排列，命题变元对应0，变元的否定对应1。对大项依二进制编码（或用十进制编码）。

P∨┐QM01(M1)

┐P∨┐QM11(M3)

2.主合取范式整理ppt大项的性质每一大项当其真值指派与编码相同时，其值为F，在其余指派情况下均为T。(2)任意两个不同大项的析取式为永真。

Mi∨Mj

T(i≠j)(3)全体大项的合取式必为永假，记为：2n-1∏Mi=M0∧M1∧…∧M2n-1

F

i=0整理ppt主合取范式定义1-7.7对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则该等价式称作原式的主合取范式。同样地求解主合取范式的方法也有两种：列表法和公式推导法定理1-7.4在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。列表法整理ppt

P

Q(P→Q)∧Q

T

T

T

T

F

F

F

T

T

F

F

Fm11

∨m01例求（P→Q）∧Q的主合取范式与主析取范式

(┐P∨Q）∧（P∨Q）；(P∧Q)∨(┐P∧Q)M10∧M00整理ppt公式推导法步骤：(1)化为合取范式(2)删除永真的合取项(简单析取式)(3)化简重复出现的变元（等幂律）(4)补进未出现的变元（同一律）∨(Q∧┐Q)

整理ppt例11化(P∧Q)∨(┐P∧R)为主合取范式解原式

(P∨┐P)∧(P∨R)∧(Q∨┐P)∧(Q∨R)

(P∨R)∧(Q∨┐P)∧(Q∨R)合取范式

(P∨Q∨R)∧(P∨┐Q∨R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)课本上采用真值表法

(P∨R∨(Q∧┐Q))∧(Q∨┐P∨(R∧┐R))∧((P∧┐P)∨Q∨R)

(P∨Q∨R)

∧(P∨┐Q∨R)∧

(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧

(P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨R)整理ppt3.主析取范式与主合取范式之间的关系例如:(P→Q)∧Q

m1∨m3,

则(P→Q)∧Q

M0∧M2

由主析取范式求主合取范式的步骤:a.找出主析取范式中所没有的小项下标b.对a中下标,求其对应的大项c.写出b中所得大项的合取,即为该式的主合取范式.整理ppt求(A→B∧C)∧(┐A

(┐B∧┐C))的主析（合）取范式。解原式

(┐A∨(B∧C))∧((┐A∧┐B∧┐C)∨(A∧(B∨C)))

(┐A∧┐A∧┐B∧┐C)

∨(┐A∧(A∧(B∨C)))∨((B∧C)∧(┐A∧┐B∧┐C))

∨((B∧C)∧(A∧(B∨C)))

(┐A∧┐B∧┐C)∨(A∧B∧C)

=m000∨m111=∑0,7解1利用主析取范式与主合取范式之间的关系原式

∏1，2，3，4，5，6整理ppt4.主范式的应用(1)用以判定为何种公式.设A为含n个变元的主范式：a.若A

T，或A可化为与其等价的含2n个小项的主析取范式，则A为永真式。b.若A

F，或A可化为与其等价的含2n个大项的主合取范式，则A为永假式。c.若A不与F等价，且又不含2n

个大项或者小项，则A为可满足式。整理ppt例:判断下列公式为何类公式(P→Q)∧Q(P→Q)∧QM0∧M2m1∨m3;大小项数目均不到4,故为可满足式.(2)证明等价式成立:主范式相同，则给定的两个命题公式等价例A∨(A→(A∧B)),┐A∨┐B∨(A∧B)整理ppt1-8推理理论在逻辑学中，把从前提出发，依据公认的推理规则，推导出一个结论，这一过程称为有效推理或形式证明。所得的结论叫有效结论。在数理逻辑中，集中研究的是用来从前提导出结论的推理规则和论证原理。这里最关心的不是结论的真实性，而是推理的有效性。与这些规则有关的理论称为推理理论。整理ppt定义1-8.1：设A和C是两个命题公式，当且仅当A→C为一重言式，即A

C，称C是A的有效结论。这个定义可推广到有n个前提的情况。设H1，H2，…，Hn，C是命题公式，当且仅当H1∧H2∧…∧Hn

C称C是一组前提H1，H2，…，Hn的有效结论。一、基本定义整理ppt(1)真值表法二、论证方法判断有效结论的过程就是论证过程，论证方法基本分为设P1，…，Pm是出现于前提H1，…，Hn和结论C中的全部命题变元，列出这个真值表，即可看出H1∧H2∧…∧Hn

C是否成立。整理ppt例1：一份统计报表的错误，或者是材料不可靠，或是因计算错误，这份报表有错不是材料不可靠，所以这份报表是由于计算有错误。PQ┐PP∨Q(P∨Q)∧┐P(P∨Q)∧┐P→QTTFTFTTFFTFTFTTTTTFFTFFT┐P∧(P∨Q)

Q解：P：材料不可靠Q：计算错误整理ppt由一组前提、公认的推理规则，利用已知的等价或蕴含公式，推出有效的结论。(2)直接证法：

P规则：前提在推导中的任何时候都可引入使用。常用的蕴含式和等价式见表P43。

T规则：前面已导出的有效结论可作为后续推导引入。整理ppt例2：证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)

S∨R(1)

P∨QP(2)

┐P→QT(1)E(3)

Q→SP(4)

┐P→ST(2)(3)I(5)

┐S→PT(4)E(6)

P→RP(7)

┐S→RT(5)(6)I(8)

S∨RT(7)E整理ppt定义1-8.2：假设公式H1，H2，…，Hn中的命题变元为P1，P2，…，Pm的一些真值指派，如果能使H1∧H2∧…∧Hn的真值为T，则称公式H1，H2，…，Hn是相容的。如果对于P1，P2，…，Pm的每一组真值指派，使得H1∧H2∧…∧Hn的真值均为F，则称公式H1，H2，…，Hn是不相容的。(3)间接证法整理ppt设要证：H1∧H2…∧Hn

C，记为S

C。即证其逆反式┐C→┐S为永真，即C∨┐S为永真，故┐C∧S为永假，所以要证H1∧H2…∧Hn

C。只要证明┐C与H1∧H2…∧Hn是不相容的。整理ppt例3：证明A→B，┐(B∨C)可逻辑推出┐A(1)A→BP(2)AP(附加前提)(3)┐(B∨C)P(4)┐B∧┐CT(3)E(5)BT(1),(2),I(6)┐BT(4)I(7)B∧┐BT(5),(6)I整理ppt若要证：H1∧H2∧…∧Hn

(R→C)，记为S

R→CCP规则：结论为R→C时，R作为附加前提引入，推出后件C。因为S→(┐R∨C)

┐S∨(┐R∨C)

(┐S∨┐R)∨C

┐(S∧R)∨C

(S∧R)→C∴将R作为附加前提，如有(S∧R)

C，即证得S

(R→C)。整理ppt例4：证明A→(B→C)，┐D∨A，B蕴含D→C(1)DP(附加前提)(2)┐D∨AP(3)AT(1),(2)I(4)A→(B→C)P(5)B→CT(3),(4)I(6)BP(7)CT(5),(6)I(8)D→CCP整理ppt推理理论：

1、真值表法：

2、直接证法：P规则，T规则。

3、间接证法：利用不相容的概念，CP规则。整理ppt1.命题及其表示法基本概念：命题命题标识符:命题变元，命题常量真值：T和F,1和0重点：命题的判断（这句话是对的）2.联结词基本概念：联接词的定义及使用(┐∧

∨→

▽……) 最小联结词组（┐,∧）（┐,∨）重点：联结词的使用第一章小结整理ppt练习11、判断是否为命题1)4+x=5.2)若x=1,则x+1=5。2、将下列命题符号化1）气候很好或很热2）天气炎热但湿度较低3）控制台打字机即可作输入设备，又可作输出设备4）要求有使用C++或Java的经验整理ppt3.命题公式与翻译基本概念：命题公式（合式公式），命题的翻译（命题公式符号化）重点：命题的翻译4.真值表与等价公式基本概念：真值表（真值指派），等价公式，子公式重点：真