第5章 回归模型的函数形式

第二部分线性回归模型Chp5：回归模型的函数形式主要内容双对数模型或不变弹性模型半对数模型对数－线性模型——度量增长率线性－对数模型——解释变量为对数形式倒数模型多项式模型零截距模型（过原点的回归模型）小结问题的提出在很多时候，自变量的变化与应变量并不是简单的线性关系，如考虑某一段时间内，某个经济变量增长率，如GDP增长率、货币供应、失业率等，这就需要引入回归模型的其他一些函数形式。在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。如著名的Cobb-Dauglas生产函数表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillipscuves）表现为双曲线形式等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。一、双对数模型Doublelogmodel

——如何度量弹性考虑数学分数的例子：Y：数学分数；X：家庭年收入上式可转化为：

lnYi=lnA+B2lnXi模型特点：关于变量非线性。lnYi=lnA+B2lnXi如果令B1=lnA，则模型可以写成lnYi=B1+B2lnXi为了进行估计，可以将模型写成lnYi=B1+B2lnXi+ui这是一个线性模型，因为参数是线性的，另外这个模型是对数形式变量线性的，因此称这个模型是双对数模型。双对数模型的特性：模型参数是线性的，关于变量和；斜率B2度量了Y对X的弹性，即X的单位变动引起Y变动的百分比。因此，如果Y代表了商品的需求量，X代表了单位价格，E就是需求的价格弹性。图5-1双对数模型的假设检验双对数模型的假设检验与线性模型的检验方法没有什么不同。5.2线性模型与双对数回归模型的比较（1）根据弹性定义公式，我们可以得出这样的结论：对于线性模型，弹性系数是一个变量；对于对数模型，其弹性系数为一常量。（2）对于线性模型，Y对X的弹性可以表示为:

可见线性模型给出的是点弹性，我们可以通过计算平均弹性系数来给出线性模型的区间弹性：5.3多元对数线性回归模型多元对数线性回归模型

lnYi=B1+B2lnX2i+B3lnX3i+ui其中，B2,B3又称为偏弹性系数，它们度量了在其他变量保持不变条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。例5-2：柯布－道格拉斯生产函数反应了产出与劳动力和资本投入之间的关系函数。劳动投入弹性+资本投入弹性＝规模报酬参数（1）规模报酬递增—规模报酬参数>1（2）规模报酬递减—规模报酬参数<1（3）规模报酬不变—规模报酬参数=1例5-3：对能源的需求(P107)例5-4：以时间t作为解释变量模型—增长模型我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中介绍过的复利计算公式：等式两端取对数：二、半对数模型(semilogmodel)

对数－线性模型——测量增长率根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型：

在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝对量的平均增量，即Y增加B2个单位。在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的相对量的平均增量，即Y增加100*B2%。回归结果解释：斜率0.0107表示，平均而言ln（Y）（美国人口）的年增长率为0.0107，即Y以每年1.07%的速度增长。半对数模型中斜率度量的是解释变量的绝对变化引起Y相对变化。把这个相对改变量0.0107乘以100，就得到增长率，本例中的增长率为1.07%。正因为如此，半对数模型有称为增长率模型，可以用来度量变量的增长率，包括经济和其他非经济变量的增长率。半对数模型的截距解释：本例中b1=lnY0=5.3593，取其反对数得

Y0=212.5761即为当t=0时Y的取值，就是Y的初期值（1975年）。（1）瞬时增长率和复合增长率复合增长率

b2=ln(1+r)r=eb2-1一旦计算出b2，复合增长率r就可以求出了，书上的例子中美国人口年复合增长率为R=antilog（0.0108）-1=1.0757%，但前面求得的增长率为1.07%，区别在哪里？1.07%是某时点上的瞬时增长率，1.0757%是一段时间内的复合增长率。（2）线性趋势模型模型称为线性趋势模型。该模型中t是时间变量，即Y对时间t的回归。t称为趋势变量。

斜率>0,称Y有向上的趋势；斜率<0,称Y有向下的趋势。回归结果表明：样本期内，美国人口以2.757百万的绝对速度增长，美国人口表现出上升的趋势。截距表示的是t=0时的美国人口（1974年），210百万。实践中，增长率模型更实用些，因为人们更加关注经济变量的相对变化而不是绝对变化。下面的半对数模型称为线性—对数模型：

B2的含义为：X的相对变化引起的Y的绝对量变化量；即表示自变量的一个单位相对增量引起因变量平均的绝对增量。5.5线性-对数模型模型：解释变量是对数形式线性-对数模型常用于研究解释变量每百分比变动引起应变量的绝对变化量。5.6倒数模型(ReciprocalModel)：倒数模型的特征：随着X的无限增大，Y接近渐近值或极限值B1三种常见形式：例：5-6：美国的菲利普斯曲线年份Y（小时收入指数）X（城市失业率）年份YX195819591960