第一章推理与证明1 4数学归纳法

数学归纳法（一）1.归纳法：问题1：在数列{an}中，a1=1,,先计算a2,a3,a4的值，再推测通项an

的公式.解：

问题2：对小于6的自然数n，不等式成立吗？解：264<49n=5222<7n=4180<1n=3138<n=296<n=16(7n+9)大小关系∴对小于6的自然数n,不等式成立.（不完全归纳法）（完全归纳法）由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法问题3：对任意自然数n,不等式成立吗？解：138<n=2264<49n=5222<7n=4180<1n=396<n=16(7n+9)大小关系n=6343＞348n=72401＞348结论：当n是小于6的自然数，不等式成立当n是大于等于6的自然数，6(7n+9)＞说明：（1）依数据作推测，决不是乱猜，要注意对数据作出谨慎地分析。（2）用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。

由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份，须寻求数学证明资料2：

f(n)=n2+n+41,当n∈N时,f(n)是否都为质数？

f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,……f(39)=1601

但f(40)=1681=412

是合数。资料1：

费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献。但是，费马认为，当n∈N时，+1一定都是质数，这是他对n=0,1,2,3,4,作了验证后得到的。

18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了

+1=4294967297=6700417×641从而否定了费马的推测。2.归纳与证明：

第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？以问题1为例：问题1：在数列{an}中，a1=1,,先计算a2,,a3,a4的值，再推测通项an的公式.a2=,a3=,a4=,推测an=证明思路：先证明“第一项满足公式”再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”（证题基础）（递推关系）条件结论（2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即ak=那么：

ak+1=∴当n=k+1时,公式成立证明：（1）当n=1时,左=a1=1,右==1，所以公式成立。由(1)(2)知对任意自然数n,an=成立.

对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2）时结论正确；（2）假设n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1

结论正确；3.数学归纳法：

证题步骤：注意：第一步中n可取的第一个值不一定是1;

第二步是证明一个命题,必须要利用假设的结论证明n=k+1时结论正确;

用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么：

an=a1+(n-1)d对一切n∈N都成立.证明：（1）当n=1时，左=a1，右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立(2)假设当n=k(k∈N)时等式成立，就是ak=a1+(k-1)d那么ak+1==a1+[(k+1)-1]dak+d=a1+(k-1)d+d∴当n=k+1时，等式成立由(1)(2)知对任何n∈N等式成立练习：用数学归纳法证明：首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1

(1)本节的中心内容是归纳法和数学归纳法;(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归纳法和不完全归纳法二种;(3)由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,