第五章-假设检验

第五章_假设检验5.1假设检验的基本概念5.2一个正态总体的统计假设检验5.3两个正态总体的统计假设检验5.4用Excel作假设检验5.5上机实验五用Excel进行假设检验【实例描述】随便掷一枚一元的硬币，假设硬币是均匀的，你觉得正面朝上的概率是多大？然后自己动手做做实验看看，实践和理论是否总是一致的？法国自然主义者布方伯爵做过类似的实验：他共掷了4040次铜板，得到了2048次正面，可以算出正面朝上样本的比例是：。结果比我们通常所认为的“一半”稍多了点。难道铜板正反面出现的概率不是的吗？问题出现在哪？5.1假设检验的基本概念5.1.1假设5.1.2假设检验5.1.1假设1．什么是假设假设是对总体参数的具体数值所作的陈述，如：“我认为这种新药的疗效比原有的药物更有效”。总体参数可以是总体均值、比例、方差等，在对总体参数分析之前必需先陈述。5.1.1假设2．提出假设研究者想收集证据予以反对的假设称为原假设（或0假设），一般有符号

,

或

，用H0表示，如原假设H0：μ=50。研究者想收集证据予以支持的假设称为备择假设，总有符号

,

或

，用H1表示，如备择假设H1：μ<50或μ>50。又如引例中，研究者想收集证据以证明“投掷硬币正面朝上的概率不是“”，建立的原假设和备择假设为H0

：

，H1

：

。5.1.1假设例5-1：一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比例超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设。解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市中家庭拥有汽车的比例超过30%”。建立的原假设和备择假设为：

H0：

30%，H1：

30%5.1.1假设注意：（1）原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立。在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立。（2）先确定备择假设，再确定原假设。（3）等号“=”总是放在原假设上。（4）因研究目的不同，对同一问题可能提出不同的假设(也可能得出不同的结论)。5.1.2假设检验假设检验又叫显著性检验，是统计推断的另一个重要内容。假设检验是先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的一种统计方法。它是在对总体的数量特征和变动规律做出一定假设的基础上，运用观察到的样本实际资料和一定的数理程序，对事先所作的假设给出是否合理可信的判断，从而决定接受或拒绝这个假设。如：对某地人口的平均年龄作调查，提出假设：“我认为人口的平均年龄是50岁”，经过随机抽样调查得样本的平均年龄是20岁，然后作出判断：“人口平均年龄不是50岁”。5.1.2假设检验1.假设检验的基本思想小概率原理：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，假若在一次试验中小概率事件事实上发生了，那只能认为事件不是来自我们假设的总体，也就是认为我们对总体所做的假设不正确。在许多实际问题中，总体分布的类型已知，仅其中一个或几个参数未知，只要对一个或几个未知参数做出假设，就可以确定总体的分布，这种只涉及总体分布的未知参数的假设检验称为参数检验。5.1.2假设检验例：对某地人口的平均年龄作调查，根据上一次调查的数据显示，该地区人口的平均年龄是50岁，并服从正态分布（50，52）。经过随机抽样调查100个对象得样本的平均年龄是20岁，判断该地区平均年龄是否还是50岁？5.1.2假设检验首先，根据上一次调查的数据该地区人口平均年龄是50岁，于是假设：该地区平均年龄还是50岁，即H0：u=50。如果原假设成立，则x~N（50，52），从而由单个总体的抽样分布的结论可知：，统计量。5.1.2假设检验对于给定的置信水平1-α，服从标准正态分布的统计量z落在区域外的概率是α，这是一个小概率。这也就是说，如果原假设H0：u=50成立，那么由抽出的样本观测值计算出的统计量z的观测值|z0|大于|zα/2|的可能性非常小，而它又在一次抽样中发生了，这是不合理的。产生这种不合理的根源在于假设的H0：u=50不合理，因此只有拒绝原假设，别无他法。5.1.2假设检验假设检验的基本原理：首先对所研究的命题提出一种假设——无显著性的假设，并假定这一假设成立，然后由此导出其必然的结果。如果能证明这种结果出现的可能性很小，那么我们就有理由认为原假设是错误的，从而拒绝接受这个假设。否则，我们就认为原假设是可能的，从而予以接受。假设检验的原理实质上是考察事件发生的可能性问题，其理论依据是“小概率原理”，即小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的判断原理。5.1.2假设检验2．假设检验中的两类错误假设检验就好像一场审判过程。在作出拒绝或不能拒绝原假设的决策时，我们是基于样本信息来判断的，而由于样本的随机性，就使我们有可能会犯错误。原假设嫌疑人是无罪的，在陪审团审判后可能有两种结果：有罪或无罪。审判结果与实际情况的可能结果如下两张表中所示。H0:无罪陪审团审判裁决实际情况无罪有罪无罪正确错误有罪错误正确H0检验决策实际情况H0为真H0为假未拒绝H0正确决策(1–a)第Ⅱ类错误(

)拒绝H0第Ⅰ类错误(a)正确决策(1-

)5.1.2假设检验陪审团审判裁决实际情况无罪有罪无罪正确错误有罪错误正确H0检验决策实际情况H0为真H0为假未拒绝H0正确决策(1–a)第Ⅱ类错误(

)拒绝H0第Ⅰ类错误(a)正确决策(1-

)陪审团的裁决有可能是错误的，一类错误是嫌疑人确实无罪，但审判结果却是有罪；还有一类错误是嫌疑人有罪，但审判结果是他无罪。同陪审团审判一样，假设检验也存在这两类错误。第Ⅰ类错误是原假设为真时拒绝原假设，叫做弃真错误，第Ⅰ类错误发生的概率记为

；第Ⅱ类错误是原假设为假时未拒绝原假设，也叫取伪错误，第Ⅱ类错误发生的概率记为

。见表5-1。5.1.2假设检验

和

的关系就像翘翘板，

小

就大，

大

就小，但是在假设检验的过程中不能同时减少两类错误。如果要避免其中的任何—种错误，都会使犯另一类错误的机会增加。表5-1假设检验的两种错误类型5.1.2假设检验3．假设检验的基本步骤（1）构造假设。（2）确定检验的统计量及其分布。（3）确定显著性水平。（4）确定决策规则。（5）判断决策。如果检验统计量的值落于拒绝域，则我们有理由不接受原假设，反之，则不拒绝接受原假设。5.2一个正态总体的统计假设检验5.2.1构造检验统计量5.2.2总体标准差已知条件下的均值检验5.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验5.2.4总体标准差未知条件下小样本的均值检验5.2.1构造检验统计量设总体X服从正态分布，方差已知，可以通过构造一个服从正态分布的统计量z来进行关于均值μ的假设检验。设是来自正态总体X的一个简单随机样本，样本均值为，根据单个总体的抽样分布结论，选用统计量。5.2.1构造检验统计量如果给定一个常数，根据不同的问题可以做出不同的假设。（1）μ是否等于μ0，假设：（双侧检验）。（2）μ是否不大于μ0，假设：（右侧检验），它与模型有相同的拒绝域。（3）μ是否不小于μ0，假设：（左侧检验），它与模型有相同的拒绝域。5.2.1构造检验统计量当H0成立时，~N（0，1）。对于假设（1），当时，拒绝H0，否则不拒绝H0；其拒绝域是{}，如图5-1所示阴影部分。图5-1双侧检验的拒绝域与接受域5.2.1构造检验统计量对于假设（2），当时，拒绝H0，否则不拒绝H0；其拒绝域是{}，如图5-2所示阴影部分。图5-2右侧检验的拒绝域与接受域5.2.1构造检验统计量对于假设（3），当时，拒绝H0，否则不拒绝H0；其拒绝域是{}，如图5-3所示阴影部分。图5-3左侧检验的拒绝域与接受域5.2.1构造检验统计量在一个正态总体均值的检验中，用到的统计量有z统计量，t统计量。但在假设检验时选用什么统计量进行检验，需要考虑样本量的大小，总体的标准差σ是否已知。采用双侧检验还是采用单侧检验（以及左侧还是右单尾），取决于备择假设的形式。见表5-2.表5-2拒绝域的单、双侧与备择假设之间的对应关系5.2.2总体标准差已知条件下的均值检验

例5-2：某电子元器件生产厂对一批产品进行检测，根据该产品生产质量标准，其使用寿命不低于2000小时。根据以往经验，该电子元器件的使用寿命服从正态分别，标准差为100小时。质量部从该批产品中随机抽取了120个产品进行检测，测得样本均值为1960小时，在的显著性水平下检验该批电子元器件的质量是否符合要求。5.2.2总体标准差已知条件下的均值检验解：由题可知总体服从正态分布，样本均值，样本容量。这是一个单侧检验的问题。（1）建立原假设，备择假设，（2）构造统计量，（3）查表得，因为,统计量Z值落在拒绝域内，不能接受原假设。所以，我们有理由认为该批电子元器件的质量不符合质量标准。5.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验在大样本条件下，如果总体为正态分布，样本统计量服从正态分布；如果总体为非正态分布，样本统计量近似服从正态分布。所以，在正态总体的标准差未知，大样本条件下，我们可以用样本标准差ѕ代替标准差σ。构造统计量，原假设，备选假设（1）（检验总体均值与是否有显著差异），（2）（若已知不可能小于，检验总体均值是否显著变大），（3）（若已知不可能大于，检验总体均值是否显著变小），5.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验对于给定α的显著性水平，其拒绝域：5.2.3总体标准差未知条件下大样本的均值检验例5-3：某医学科研机构对从事某作业男性工人进行了研究，测量了80名从事该作业男性工人的血红蛋白含量，算得其均数为130．83g/L，标准差为25．74g/L。已知成年男性血红蛋白含量服从正态分布，问：在的显著性水平下检验从事该作业男性工人血红蛋白含量是否不同于正常成年男性平均值140g/L。5.2.4总体标准差未知条件下小样本的均值检验当总体服从正态分布且未知，且在小样本的条件下，则需用样本方差代替，样本统计量服从t分布，原假设备选假设（1）（检验总体均值与是否有显著差异）（2）（若已知不可能小于，检验总体均值是否显著变大）（3）（若已知不可能大于，检验总体均值是否显著变小）对于给定的显著性水平，其拒绝域：（1），:;（2）,:;（3）,:;5.2.4总体标准差未知条件下小样本的均值检验5.2.5总体方差的假设检验检验方差的基本思想是：利用样本方差建立一个统计量，并为这个总体方差的统计量构造一个置信区间。这个置信区间包括总体方差的概率是1-α，显著性水平是α。在确定α的水平下，统计量有固定的拒绝区域，在单侧检验中，拒绝域分布在统计量的分布曲线的一边；在双侧检验中，拒绝域分布在统计量的分布曲线的两边。如果检验统计量大于或等于临界值而落入拒绝域，或P值小于显著性水平而落入拒绝域，便拒绝原假设；反之，则接受原假设。5.2.5总体方差的假设检验方差检验的基本步骤如下：（1）提出原假设H0和备择假设H1，H0：；H1：。（2）构造检验统计量，在H0成立的条件下，统计量服从自由度为n-1的分布。（3）确定显著性水平。（4）规定决策规则。（5）进行判断决策。5.2.5总体方差的假设检验（2）构造检验统计量，在H0成立的条件下，统计量服从自由度为n-1的分布。（3）确定显著性水平。（4）规定决策规则。在双侧检验的情况下，拒绝域在两侧，如果检验统计量大于右侧临界值，或小于左侧临界值，则拒绝原假设。若是单侧检验，拒绝区域分布在一侧，具体左侧还是右侧根据备择假设H1的情况而定。（5）进行判断决策。5.2.5总体方差的假设检验例5-5：灌装机是用来包装如牛奶、软饮料、油漆等各种液体的机器。一家公司新开发的一种灌装机，号称能连续稳定地灌装1000毫升的容器，灌装量的方差低于1。为了检验该说法的准确性，随机抽取了25灌1000毫升灌装作为一个样本（如下），通过这些数据能否在5%的显著性水平下证明该说法是正确的？5.3两个正态总体的统计假设检验5.3.1方差已知，两个独立总体均值之差的检验5.3.2方差未知且不相等，两个独立总体均值之差的检验5.3.3两个独立总体之间的方差检验5.3.1方差已知，两个独立总体均值之差的检验当两个正态总体均服从正态分布且方差已知时，两个独立样本的均值之差的抽样分布也服从于正态分布，标准差为：5.3.1方差已知，两个独立总体均值之差的检验构造检验统计量检验（其中分别为总体1，总体2的均值）。原假设备选假设（1）（2）（3）对于给定α的显著性水平，其拒绝域：5.3.1方差已知，两个独立总体均值之差的检验例5-6：上海某研究机构欲分析不同专业是否对本科毕业生就业和收入有影响。他们对在上海工作满4年的会计专业和市场营销专业的本科毕业生中各随机抽取12个人进行了一项薪水调查，得到调查数据如下(单位：万元)：会计6.96.87.97.211.810.66.77.688.679.2市场营销6.46.39.810.810.47.46.298.57.2137.95.3.1方差已知，两个独立总体均值之差的检验例5-7：某农业研究所新培育了一个改良玉米品种，欲对改良品种玉米和原品种玉米的生长周期进行比较。现随机对两玉米品种各取12个样本进行抽样调查，数据如下（单位：天）：这两个总体服从正态分布，问在的显著性水平下，改良后的玉米品种的生长周期与原玉米品种是否存在显著差异？改良前100100999998101989999999899改良后10098100999899989899100100995.3.2方差未知且不相等，两个独立总体均值之差的检验建立原假设，备选假设（1）（2）（3）构造统计量，在H0为真时，它近似服 从t(df)分布。5.3.2方差未知且不相等，两个独立总体均值之差的检验其中自由度对于给定的显著性水平，其拒绝域：5.3.3两个独立总体之间的方差检验设两个独立总体：，建立原假设备选假设（1），（2），（3），分别在这两个总体中随机抽取两组样本：，，

，

5.3.3两个独立总体之间的方差检验记所以在原假设为真时，统计量。由于F分布是非对称的，所以，在做双边检验时，为了保证求临界值方便，我们将否定区域设置在右侧，在构造统计量时将方差大的做分子，即构造统计量。

,5.3.3两个独立总体之