人教版七年级数学下册 （命题、定理、证明）相交线与平行线教学课件

命题、定理、证明

第五章相交线与平行线教学目标了解命题的概念以及命题的构成(如果……那么……的形式)．知道如何判断一个命题的真假．理解什么是定理和证明．知道什么是真命题和假命题．教学重点教学难点对命题结构的认识．

理解证明要步步有据．表述推理过程．比较两组语句的区别A组1．对顶角相等；2．两直线平行，同位角相等；3．玫瑰花是动物；4．若a²＝b²，则a＝b．B组1．画一个角等于已知角；2．a、b两条直线平行吗？3．点P在直线AB外；4．若a²＝4，求a的值．对事情作了是或不是的判断对事情作了描述或表达疑问命题的概念（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．（3）对顶角相等；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；例题判断下列语句是否是命题：1．相等的角是对顶角；(

)2．画一条线段等于已知线段；(

)3．两直线平行，内错角相等；(

)4．如果两角之和是90°，那么这两角互余(

)5．点P在直线AB外；(

)6．玫瑰花是动物；(

)7．若a³＝8，求a的值；(

)8．若a²＝b²，则a＝±b．(

)是是是是是否否否1、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题．易错点剖析2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．如：画线段AB=CD．练习判断下列语句是不是命题？（1）两点之间，直线最短；（

）（2）请画出两条互相平行的直线；（

）（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（

）（4）如果两个角的和是90º，那么这两个角互补．（

）命题的结构观察下列命题，思考命题是由几部分构成的？（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（5）两点之间，线段最短．（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．（3）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；命题由提设和结论两部分组成.命题的结构题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．许多数学命题常可以写成

“如果……，那么……”的形式．“如果”后面连接的部分是题设，“那么”后面连接的部分就是结论．例题下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.

（5）对顶角相等．（4）同旁内角互补；（3）互为相反数的两个数相加得0；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等．改写的注意事项注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。练习指出下列命题的题设和结论：

（1）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；

（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；

（3）两直线平行，同位角相等.指出下列命题的题设和结论.

练习1．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补．2．如果a＞b，b＞c，那么a=c．3．如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式．指出下列各命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．练习1、对顶角相等；

6、正数与负数的和为0．5、等角的补角相等；4、平行于同一直线的两直线平行；3、两平行线被第三直线所截，同位角相等；2、内错角相等；练习把下列命题写成“如果…，那么…”的形式：(1)直角都相等．(2)同垂直于一条直线的两条直线平行．(3)同角的余角相等．思考下列命题中，哪些命题是正确的，哪些命题是错误的？（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（5）对顶角相等．（4）同旁内角互补；（3）互为相反数的两个数相加得0；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；命题的真假真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．练习判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；

（5）两点确定一条直线．（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（3）如果|a|=|b|，那么a=b；（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；真命题真命题真命题假命题假命题下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？

练习1、猪有四只脚；（

）

10、x＞2.（

）9、过点P画线段MN的垂线；（

）8、同垂直于一直线的两直线平行；（

）7、对顶角相等；（

）6、同位角相等，两直线平行；（

）5、你的作业做完了吗？（

）4、四边形是正方形；（

）3、画一条直线；（

）2、内错角相等；（

）是是是是是是否否否否真命题真命题真命题假命题假命题假命题练习把下列命题写成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的题设和结论：1、两直线平行，同旁内角互补．2、等角的补角相等．3、同位角相等．4、相等的角是对顶角．以上命题是真命题还是假命题？公理和定理1.

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理或基本事实．2．有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据．公理举例1．直线公理：2．线段公理：3．平行公理：4．平行线判定公理：5．平行线性质公理：经过两点有且只有一条直线．两点的所有连线中，线段最短．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．同位角相等，两直线平行．两直线平行，同位角相等．1．补角的性质：定理举例同角或等角的补角相等．2．余角的性质：同角或等角的余角相等．3．对顶角的性质：对顶角相等．4．垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短．5．平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．6．平行线的判定定理：定理举例内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．7．平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．证明除公理外，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明

.题设（条件）推理方法以已知、定义、公理、定理为依据结论（条件）这个过程，就是证明思考下面，我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明．（1）你能将命题1所叙述的内容用图形语言来表达吗？（2）这个命题的题设和结论分别是什么呢？思考下面，我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明．题设：结论：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．定理在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．思考（4）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？已知：b∥c，a⊥b．求证：a⊥c．证明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90º（垂直的定义）．又∵b∥c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=90º（等量代换）．∴a⊥c（垂直的定义）．证明中的每一步推理都要有理有据，不能“想当然”．证明的注意事项这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实（公理）、定理等．证明一个命题是假命题，只要举一个反例就行．如何证明一个命题是假命题例如，证明命题“相等的角是对顶角”是假命题．可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角．练习1.

在下面的括号内，填上推理的根据.

如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°.

证明：∵∠A+∠B=180°，

∴AD∥BC（__________________________）.

∴∠C+∠D=180°（________________________）.练习2.命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由：如果不是，请举出反例.练习填空:

已知：如图1，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH．证明：∵∠1=∠2（已知）∠AEF=∠1（

）；∴∠AEF=∠2（

）．∴AB∥CD（

）．∴∠BEF=∠CFE（

）．∵∠3=∠4（已知）；∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3．即∠GEF=∠HFE（

）．∴EG∥FH（

）．对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等等式性质内错角相等，两直线平行总结这节课我们学会了什么？命题形式真假性如果…，那么…题设结论真命题假命题公理定理复习巩固1.如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？复习巩固2.如图，在四边形ABCD中，如果AD∥BC，∠A=60°，求∠B的度数，不用度量的方法，能否求得∠D的度数？复习巩固3.如图，平行线AB，CD被直线AE所截.

（1）从∠1=110°可以知道∠2是多少度？为什么？

（2）从∠1=110°可以知道∠3是多少度？为什么？

（3）从∠1=110°可以知道∠4是多少度？为什么？复习巩固4.如图，a∥b，c，d是截线，∠1=80°，∠5=70°.∠2，∠3，∠4各是多少度？为什么？

复习巩固5.如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向联通管道的角度为120°，那么，为了使管道对接，另一侧应以什么角度铺设纵向联通管道？为什么？复习巩固6.在下面的括号内，填上推理的根据.

如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠B.求证∠C=∠D.

证明：∵∠A=∠B，

∴AC∥BD（____________________________________）.

∴∠C=∠D（____________________________________）.综合运用7.选择题.

（1）如图（1），由AB∥CD，可以得到（

）.（B）∠2=∠3（A）∠1=∠2（C）∠1=∠4（D）∠3=∠4（2）如图（2），如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（

）.

（A）180°

（B）270°

（C）360°

（D）540°综合运用8.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，∠1=45°，∠2=122°，求图中其他角的度数.综合运用9.如图，用式子表示下列句子：

（1）因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行；

（2）因为DE和BC平行，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1=∠B，∠3=∠C.综合运用10.如图，这是一个国际象棋棋盘的示意图，它共有8行8列，仿照它做出一张国际象棋的棋盘纸.类似地，你还能做出一张中国象棋的棋盘纸吗？综合运用11.操场中的相交线与平行线.

（1）举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子；

（2）如果要你画出一个篮球场地，你怎样做才能保证相应的线垂直或平行呢？不妨在纸上试一试.综合运用12.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.

（1）两个锐角的和是锐角；

（2）邻补角是互补的角；

（3）同旁内角互补.综合运用13.完成下面的证明.

（1）如图（1），AB∥CD，CB∥DE.求证∠B+∠D=180°.

证明：∵

AB∥CD.

∴∠B=_________（____________________）.

∵CB∥DE，

∴∠C+∠D=180°（_____________________）.

∴∠B+∠D=180°.综合运用（2）如图（2），∠ABC=∠A'B'C'，BD，B'D'分别是∠ABC，∠A'B'C'的平分线.求证∠1=∠2.

证明：∵BD，B'D'分别是∠ABC，∠A'B'C'的平分线，又∠ABC=∠A'B'C'，拓广探索14.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=44°，∠C=57°.

（1）∠DAB等于多少度？为什么？

（2）∠EAC等于多少度？为什么？

（3）∠BAC等于多少度？

（通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？）拓广探索15.如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？（提示：分析这两条光线被哪条直线所截.）平行线

教学目标理解平行线概念,理解平行公理，了解其推论,会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.经历动手操作、观察、归纳平行线概念及平行公理的过程，提高观察归纳、动手操作、空间想象及逻辑思维能力.教学重点平行公理及其推论.教学难点理解平行公理及推论.思考分别将木条a，b与木条c钉在一起,并把它们想象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线,顺时针转动a.

（1）直线a与直线b的交点位置将发生什么变化?（2）在这个过程中,有没有直线a与b不相交的位置?平行的概念可以发现，在木条转动的过程中，存在直线a与b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行，记作a∥b.

平行的概念同一平面内，两条直线存在哪些位置关系?相交平行想一想，为什么需要“同一平面内”这个前提？正方体这两条边所在的直线，既不相交，也不平行平行的概念其实实际生活中大量存在的是平行线段.

生活中的平行线你还能举出其他一些例子吗？生活中的平行线笔直的跑道桥梁的钢索生活中的平行线延伸向远方的公路望不到尽头的铁轨生活中的平行线给一条直线AB和直线外一点P，怎么过点P画一条直线与已知直线AB平行呢？平行线的画法一、放二、贴三、推四、画思考转动木条a的过程中，有几个位置使得直线a与b平行？只有一个思考转动木条a的过程中，有几个位置使得直线a与b平行？只有一个过点B画直线a的平行线，能画出几条？思考再过点C画直线a的平行线，它和前面过点B画出的直线平行吗？abcBC一条平行平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

ab直线上就不行存在且唯一abcBC平行公理的推理如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

也就是说：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

练习读下列语句，并画出图形：（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行；（2）直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于点E．练习用符号“∥”表示图中平行四边形的两组对边分别平行.AB∥CD，AD∥BC一个长方体如图，和AA′平行的棱有多少条？和AB平行的棱有多少条？请用符号把它们表示出来.

练习和AA′平行的棱有3条：BB′∥AA′，CC′∥AA′，DD′∥AA′和AB平行的棱有3条：A′B′∥AB，C′D′∥AB，CD∥AB练习观察如图所示的长方体后填空（1）用符号表示下列两棱的位置关系：A1B1____AB，AA1____AB

//

⊥A1D1____C1D1

，AD____BC由此可知，在___________，两条不相交的直线才能叫平行线。

（2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，他们____平行线（填“是”或“不是”）.（3）在同一平面内，两条不重合的直线位置关系只有_____种，即_____________.

⊥//

不是同一平面内2相交和平行练习