人教版九年级数学上册 （弧、弦、圆心角）圆 课件

24.1.3弧、弦、圆心角

R·九年级上册

新课导入问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.

(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.

推进新课圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是中心对称图形它的对称中心是圆心思考知识点1圆的旋转不变性及圆心角

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角BA∠AOB为圆心角O·圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.⌒

判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.【对应练习】

任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弦弧这三个量之间会有什么关系呢？BAO·探究知识点2弧、弦、圆心角之间的关系

如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？显然∠AOB＝∠A'OB'

AB＝A'B'AB＝

A'B'⌒⌒BAA'B'●O探究

AB＝A'B'AB＝

A'B'⌒⌒如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？由∠AOB＝∠AO'B'得到BA●OA'B'●O'探究

圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.AB＝

A'B'⌒⌒∵∠AOB＝∠AO'B'∴AB＝A'B'ABO·A'B'

定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？··A'B'AB思考

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧_______．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．

①

圆心角弧③弦知一得二理解

如图，AB、CD是⊙O的两条弦.（1）如果AB=CD，那么

，

.（2）如果

，那么

，

.（3）如果∠AOB=∠COD，那么

，

.（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，OE与OF相等吗？为什么？OCDFABE【对应练习】∠AOB=∠CODAB=CD∠AOB=∠CODAB=CD相等.

如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．证明：∴AB=AC.又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.∵AB=AC，⌒⌒⌒⌒·ABCO例3

在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?①

圆心角②弧③弦④弦心距知一得三思考A'B'ABO·C'C

随堂演练基础巩固1.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是()A．36°B．72°C．108°D．48°2.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=

.A60°⌒⌒⌒

3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=

．40°⌒

4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=30°.⌒⌒⌒⌒

5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

6.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.综合应用⌒

证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，∴AC=BC,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.又∵OA=OC=OB,∴△AOC与△BOC是等边三角形.∴∠A=60°.又∠AOB=120°,∴AC∥OB.∵AC=OC=OB,∴四边形OACB是平行四边形.又OA=AC,∴四边形OACB是菱形.⌒⌒⌒

7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．拓展延伸

(1)证明：连接AD.∵AB=CD,∴AB=CD.

∴AB-AD=CD-AD.即BD=AC.∴BD=AC.在△ADB和△DAC中，∴△ADB≌△DAC(SSS).∴∠ABD＝∠DCA.在△AEC和△DEB中，∠DCA＝∠ABD,∠AEC＝∠DEB,AC=BD,∴△AEC≌△DEB(AAS).⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

(2)解：对称.理由：连接OB、OC.则OB=OC.由(1)知BE=CE，连接BC，则OE垂直平分BC.∴点B与点C关于直线OE对称.

课堂小结

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．1.四个元素：

圆心角、弦、弧、弦心距2.四个相等关系：①

圆心角②弧弦④弦心距

24.1.3弧、弦、圆心角

学习目标1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角；2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算；3.在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题；4.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力等.弧、弦、圆心角把圆绕圆心旋转任意的一个角度呢？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知剪一个圆形纸片，绕着圆心旋转180°，你发现了什么？合作探究你能得到什么结论？O180°圆心就是它的对称中心.圆是中心对称图形，O30°60°120°210°所得的图形与原图形完全重合.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形完全重合.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？思考OABOCDOEF我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知下列各角中，是圆心角的是()D想一想ABCD创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考在⊙O中，当圆心角∠AOB

∠A'OB'时，它们所对的弧

和，弦AB和A'B'相等吗？OABA'B'(A')(B')AB=A'B'点A与点A'重合；点B与点B'重合；AB与A'B'重合；与重合.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它所对的圆心角，所对的弦是否也相等呢？OABA'B'(A')(B')在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.AB

A'B'∠AOB

∠A'OB'AB

A'B'∠AOB

∠A'OB'创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知两个圆心角两条弦两条弧知一求二弧、弦、圆心角之间的关系1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.

3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考

“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？B'A'OBAAB=A'B'∠AOB

∠A'OB'前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢.探究新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题例1已知AB是⊙O的直径，

，∠COD

35°，求∠AOE的度数．AOBCDE·解：∵，∠COD

35°∴∠BOC

∠COD

∠DOE35°，∴∠AOE180°335°

75°35°35°35°AOBC·探究新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题例2已知：在⊙O中，

，∠ACB=60°求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．解：∵∴AB

AC，△ABC是等腰三角形又∵∠ACB60°

∴△ABC是等边三角形，AB

AC

BC

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC60°60°探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知创设情境1.如图，在⊙O中：(1)若∠AOC=∠BOC，BC=5，则AC=

.(2)若AC=BC，∠BOC=70°，则∠AOC=

.COAB·570°随堂练习探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知创设情境2.

如图，