人教版九年级数学上册 （一元二次方程）教师教学课件

一元二次方程第二十一章

一元二次方程

知识回顾没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.情景导入在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2

米，

那么它的下部应设计为多高？ACB

雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：AC：BC=BC：2，即BC2=2AC.设雕像下部BC高xm，则AC=2-x，得方程x2=2(2-x)，整理得x2+2x-4=0.

①ACBx2-x

方程①中未知数的个数和最高次数各是多少？获取新知

问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得化简，得(100-2x)(50-2x)=3600.x2-75x+350=0.

②xx100cm50cm3600cm2

方程②中未知数的个数和最高次数各是多少？知识点一：一元二次方程的概念

问题2：要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?方程③中未知数的个数和最高次数各是多少？全部比赛场数为4×7=28设应邀请

x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共列方程化简，得：x2-x-56=0.

③

由上述三个问题，得到三个方程

x2+2x-4=0.

①x2-75x+350=0.

②x2-x-56=0.③那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:①都是整式方程;②都只含一个未知数;③未知数的最高次数都是2.为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？知识要点等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的概念

ax2+bx

+c

=0(a，b，c为常数，

a≠0)ax2称为二次项，

a

称为二次项系数.

bx

称为一次项，

b

称为一次项系数.

c

称为常数项.一元二次方程的一般形式是当

a=0时bx＋c=0当

a≠0，b=0时

，ax2＋c=0当

a≠0，c

=0时

，ax2＋bx=0当

a≠0，b

=c

=0时

，ax2

=0归纳：只要满足a≠0，b，

c

可以为任意实数.ax²+bx+c=0二次项系数一次项系数a≠0二次项一次项常数项指出方程各项的系数时要带上前面的符号.例题讲解例1将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

解：去括号，得3x2-3x=5x+10.

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.注意：系数包含前面的符号获取新知使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．知识点二：一元二次方程的根例2下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？－3，－2，－1，0，1，2，3例题讲解解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10，则左边≠右边，所以－3不是方程x2－x－2＝0的解；下面几个数同理可证.经检验得－1，2为原方程的根.知识点三：建立一元二次方程模型获取新知问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？3220x1.若设小路的宽是xm，则横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是

m2,两者重叠的面积是

m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=03220x想一想：还有其他的方法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220归纳小结审建立一元二次方程模型的一般步骤设找列审题，弄清已知量与未知量之间的关系设未知数找出等量关系根据等量关系列方程随堂演练D1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．ax2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋

＝2D．x2－x－2＝02.把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(

)

A．1，－3，10B．1，7，－10

C．1，－5，12D．1，3，2A3.方程x2＋x－12＝0的两个根为(

)

A．x1＝－2，x2＝6B．x1＝－6，x2＝2

C．x1＝－3，x2＝4D．x1＝－4，x2＝3D4.如图,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2.设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为

.

(12-x)(8-x)=775．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．解：将原方程化简为：

9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)9x2＋12x＋4＝4x2－24x

＋369x2－4x2＋

12x＋24x＋4－36＝0

二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为－325x2

＋36x

－32＝0课堂小结一元二次方程一元二次方程实际应用一元二次方程的定义一元二次方程的根一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0使方程两边相等的未知数的值1.整式2.一个未知数3.最高次数为221.1一元二次方程

学习目标1.了解掌握一元二次方程的定义，能准确判断一个式子是否为一元二次方程；2.能熟练把一个一元二次方程化为一般式；3.通过建立方程、观察方程、归纳总结出一元二次方程的特点，培养学生观

察发现问题的能力和归纳总结的能力；4.经历发现一元二次方程的过程，体会数学与生活的关系，加深学生对数的

认识，发展培养学生观察发现问题的能力和习惯.一元二次方程应用新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业探究新知设计一座2m高的人体雕像，雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，那么雕像的下部应设计为多高？ACB2m雕像上部的高度AC，下部的高度BC的关系：设雕像下部高

xm，于是得方程：x2=2(2

–x)整理得：x2＋2x

–4=0合作探究AC:BC=BC:2即BC2=2AC跟我们学过的一次方程一样吗？应用新知巩固新知课堂小结布置作业(100

–2x)(50

–2x)=3600整理得：4x2

–300x+1400=0化简得：x2

–75x+350=0问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50

cm．在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3

600

cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100

–2x)cm，宽为(50

–2x)cm，根据方盒的底面积为3600cm2得：合作探究方程中未知数的个数？最高次数？创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业合作探究创设情境探究新知问题2:要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？全部比赛的场数为4×7＝28.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x

–1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共

场.整理，得：列方程：化简，得：方程中未知数的个数？最高次数？应用新知巩固新知课堂小结布置作业创设情境探究新知方程含有几个未知数？思考x2＋2x－4=0x2－75x+350=0（3）方程的等号两边都是整式.（1）方程中只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？是整式方程吗？应用新知巩固新知课堂小结布置作业创设情境探究新知归纳总结等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)其中ax2是二次项，a是二次项系数；

bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.思考：b，c可以为0吗?可以使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.探究新知新课导入巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．解：去括号，得

3x2–3x=5x+10二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10．移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2–8x–10=0.例一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)应用新知课堂小结布置作业创设情境练习1随堂练习探究新知巩固新知下列方程中，哪些是一元二次方程？（1）3x=0；（2）x2+2x–4=0；（3）x2–=2；（4）3y2–4x=7；（5）4x2=9；（6）(x+2)2=(x–1)2.（3）方程的等号两边都是整式.（1）方程中只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；x2+4x+4=x2

–2x+16x+3=0应用新知课堂小结布置作业创设情境练习2随堂练习探究新知巩固新知将方程(8

–2x)(5

–2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

解：(8

–2x)(5

–2x)=18去括号得40

–16x

–10x+4x2=18移项得：4x2–26x+22=0

其中，二次项系数为4，一次项系数为–26，常数项为22.探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知创设情境随堂练习练习3当m为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)(m–1)x2+3x=5；解:(1)由题意得m–1≠0，(2)4xm+3–x–1=0；∴m

≠1.(2)由题意得m+3=2，∴m

=–1.探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知创设情境随堂练习练习4下列哪些数是一元二次方程x2+x–12=0的根？解：把–4代入方程，(–4)2–4–12=0；–4，–3，