人教版九年级数学上册 （一元二次方程的根与系数的关系）一元二次方程教育教学课件

一元二次方程的根与系数的关系

韦达，1540

年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学，对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2导入新课-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程两根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.将二次项系数化为1

对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一样的规律吗？讲授新课对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ≥0时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，此时x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究结论如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为

x1，x2，那么，注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.一元二次方程的根与系数的关系人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”．探究结论例1

不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，

x2，那么x1+x2=–(–6)=6，

x1x2=-15．先化为一般式定理应用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=．练习1

不解方程，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）3x2

+

7x

-

9=0；（2）

2x2-4x+9=0．（2）解：a=2，b=-4，c=9．

Δ

=b2-4ac

=(-4)2–4×2×9=-56<0．

∴方程无实数根．（1）解：a=3，b=7，

c=-9．

Δ

=b2-4ac

=72–4×3×(-9)=157>0．

∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，

x2，那么x1+x2=，

x1x2=-3．定理应用例2

设

x1，x2为方程

x2-4x+1=0的两个根，则(1)x1+x2=

，x1·x2=

．（x1+x2）2–2x1x2∴原式=42–2×1=1441(x1+1)(x2+1)=(2)求下列式子的值：x12+x22=x1x2+(x1+x2)+1∴原式=1+4+1=6定理应用∵x1+x2=4，x1x2=1∵x1+x2=4，x1x2=1∴原式∵x1+x2=4，x1x2=1x1+x2=

４

，x1·x2=1

变式

设

x1，x2为方程

x2-4x+1=0的两个根，求下列式子的值：(x1-x2)2

定理应用一元二次方程的根与系数的关系内容应用如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是

x1，x2，那么，课堂小结……(x1+1)(x2+1)x12+x22(x1-x2)2

思考题：当

k

为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根之差为1？必做题：1.教材P16练习；2.教材P17复习巩固第7题；3.教材P25复习巩固第4题．常思常悟课后作业2.3因式分解法

学习目标（1）了解因式分解法的概念；（2）会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程；（3）经历探索因式分解法解一元二次方程，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，同时学会灵活选择解方程的方法；

（4）通过运用因式分解法解简单系数的一元二次方程，体验解决问题的方法多样性，提升学习数学的兴趣，并建立学好数学的自信心.重点因式分解

法难点应用新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业探究新知什么叫因式分解？回顾与反思因式分解有哪些方法？把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫分解因式.方法有：提取公因式、公式法、十字相乘法等.应用新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业探究新知什么叫因式分解？将下列各题因式分解：(1)(2)

(3)回顾与反思因式分解有哪些方法？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知

除配方、公式法以外，能否找到更为简单的方法解方程①？一起探究思考：

应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知创设情境一起探究

或解:

由①到②的过程，不开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.

…………②因式分解法探究新知解下列方程：新课导入巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题解:

(1)(2)因式分解得于是得(1)或探究新知解下列方程：新课导入巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题解:

移项、合并同类项得分解因式得(2)于是得或(1)(2)探究新知用因式分解法解一元二次方程的步骤：新课导入巩固新知课堂小结布置作业应用新知例题总结1.移项：将方程化为一般形式；2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；3.转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知随堂练习创设情境1.一元二次方程

可化为两个一次方程为__________和__________，方程的根是________________.2.方程

的根是______；方程

的根是______；方程

的根是_________________.

探究新知应用新知课堂小结布置作业巩固新知随堂练习创设情境1.下列哪些方程用因式分解法求解比较方便？试着求一下.

(1)(2)(4)(3)探究新知应用新知布置作业巩固新知课堂小结创设情境一元二次方程解法直接开方配方法

公式法

因式分解法

探究新知应用新知布置作业巩固新知课堂小结创设情境方法适合方程类型注意事项直接开平方法公式法

___0时，方程有解；求根