人教版八年级数学上册 （等边三角形）课件教学

第十三章轴对称人教版·八年级上册等边三角形

学习目标1.探索并掌握等边三角形的性质和判定．（重点）2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．（难点）复习导入定义：

的三角形叫做等腰三角形.两边相等性质1：等边对等角三线合一性质2：等腰三角形判定性质定义：两边相等.等角对等边.对称性：是轴对称图形，有

条对称轴.1ABC图形对称轴探索新知

知识点1等边三角形的性质三角形按照边是怎么分类的？底≠腰三角形等腰三角形一般三角形底=腰探索新知

知识点1等边三角形的性质所以说等边三角形是三条边都相等的特殊的等腰三角形.那么等边三角形具有等腰三角形的所有性质.探索新知

思考1

把等腰三角形的性质1（等边对等角）用于等边三角形，能得到什么结论？

知识点1等边三角形的性质ABC三角形内角和为180°AB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C∠A=∠B=∠C=60°探索新知

思考2

把等腰三角形的性质2（三线合一）用于等边三角形，能得到什么结论？

知识点1等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.探索新知等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“三线合一”.

知识点1等边三角形的性质ABCBC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.AB边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.AC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.探索新知

思考3

把等腰三角形的对称性用于等边三角形，能得到什么结论？ABCBC边上的中线,高和所对角的平分线所在直线为对称轴.AB边上的中线,高和所对角的平分线所在直线为对称轴.AC边上的中线,高和所对角的平分线所在直线为对称轴.

知识点1等边三角形的性质探索新知等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，分别为每条边上的中线、高和所对角的平分线所在直线.

知识点1等边三角形的性质探索新知

知识点1等边三角形的性质图形等腰三角形等边三角形性质边角三线合一对称性每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，3条对称轴1条对称轴两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60º两条边相等三条边都相等探索新知

知识点1等边三角形的性质例1

如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．∵CE=CD，∴∠CDE=∠E．又∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CDE=∠E=30°．∴∠DBC=∠E．∴DB=DE．EABCD探索新知

知识点1等边三角形的性质【变式】如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（）A.15°B.20°C.25°D.30°AEABCDFG探索新知

知识点1等边三角形的性质【变式】如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴∠ABC=∠ACB=60°，BD为∠ABC的平分线，∴∠DBE=∠ABC=30°.∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.EABCD探索新知

知识点1等边三角形的性质【变式】如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.∴∠CDE=∠E.∴CD=CE.∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点,

∴CE=CD=.EABCD探索新知等边三角形三个内角相等性质？？？判定？？？该怎么证明呢？

知识点2等边三角形的判定探索新知

知识点2等边三角形的判定已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵∠A=∠B,∴BC=AC.∵∠B=∠C,∴AC=AB.

∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形.ABC等边三角形的判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形.探索新知

等腰三角形只要满足一个角是60°，就可以判定它是等边三角形？你同意这样的说法吗？试着证明一下吧！

知识点2等边三角形的判定探索新知证明：∵AB=AC，∠B=60°,∴∠C=∠B=60°.

∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°,∴∠A=∠B=∠C.

∴△ABC是等边三角形.ABC已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.求证：△ABC是等边三角形.

知识点2等边三角形的判定当60°角为底角时探索新知已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.求证：△ABC是等边三角形.证明：∵AB=AC,∴∠C=∠B.

∵∠A=60°,∴∠B+∠C=180°-∠A=120°.∴∠A=∠B=∠C=60°.

∴△ABC是等边三角形.ABC

知识点2等边三角形的判定当60°角为顶角时探索新知等边三角形的判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.

知识点2等边三角形的判定探索新知图形等腰三角形等边三角形判定边（定义）角特殊法三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.两个角相等的三角形是等腰三角形两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形

知识点2等边三角形的判定探索新知例2

如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.

∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等边三角形.ABCDE想一想：本题还有其他证法吗？

知识点2等边三角形的判定探索新知【变式】如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是边AB，AC上一点，且BD=CE.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠A=60°.

∵BD=CE，

∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE,

∴△ADE是等边三角形.ABCDE

知识点2等边三角形的判定探索新知

知识点

等腰三角形的判定判定一个三角形是等边三角形的方法选择：若已知三边关系，一般选用定义判定；若已知三角关系，一般选用判定方法1；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定方法2.课堂小结等边三角形的性质与判定定义性质三边都相等的三角形是等边三角形.边角三边相等三个角都等于60°三线合一每条边上都具有“三线合一”性质对称性是轴对称图形，有3条对称轴判定定义法三角法三边都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形等腰三角形法有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形课堂练习1.下列条件中不能得到等边三角形的是（）A.有一个角是60°的等腰三角形B.三边相等的三角形C.有两个内角是60°的三角形D.有两个外角相等的等腰三角形D2.已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长为

．24课堂练习3.如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形，若∠1＝40°，则∠2的度数

．100°4.等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交于点F，则∠BFC的度数为

．120°ABCDEF第3题图

第4题图课堂练习5.如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF=

.【解析】根据折叠的性质，得∠DFE＝∠A＝60°.120°60°60°60°60°12根据三角形内角和易得∠BDF+∠1＝120°，∠CEF+∠2＝120°.∴∠1＝120°-∠BDF，∠2＝120°-∠CEF.根据平角为180°易得∠1+∠2＝120°.∴∠BDF+∠CEF=120°.故答案为120°．课堂练习解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠EDB=∠EDC，∠ACB=60°.又ED=ED，∴△EDB≌△EDC（SAS）.∴∠EBD=∠ECD=45°.∴∠ACE=∠ACB-∠ECD=60°-45°=15°.6.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，求∠ACE的度数.ABCDE课堂练习7.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE的大小是多少？解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.又AD=CE，∴△ADC≌△CEB（SAS），∴∠ACD=∠CBE.∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.EDBCA课堂练习8.在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．13.3.1等腰三角形13.3.1

等腰三角形R·八年级上册第十三章轴对称

目录0102030405复习导入探索新知巩固练习课堂小结作业布置复习导入什么是等腰三角形？什么是三角形？探索新知仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形的特征吗？同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？探索新知

等腰三角形的性质:性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上的高相互重合（三线合一）．探索新知

由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质.ABCD如图，△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD.证明：

AB=AC，∵BD=CD，

AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SSS）．∴∠B=∠C．探索新知AＢCD∴∠BAD=∠CAD，∠BDA

=∠CDA．∵∠BDA

+∠CDA=180°，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．探索新知

在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？

等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．探索新知知识点2等腰三角形性质的运用

例1如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．

求△ABC各角的度数．解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x，于是在△ABC

中，有∠A

+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°解得x=36°.所以，在△ABC

中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.探索新知知识点3探索等腰三角形的判定定理

我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？探索新知ABC

证明：过A点作AD⊥BC，垂足为D.在△BAD和△CAD中，D∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ABD≌△ACD

．

∴AB=AC．

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC．探索新知

等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．符号语言：∵在△ABC中，∠B=∠C，∴

AB=AC．ABC探索新知知识点4等腰三角形判定的应用

例1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．

求证：AB=AC.ABCDE12探索新知证明：∵

AD∥BC，∴∠1=∠B（），

∠2=∠C（）．两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴

AB=AC（）．等角对等边ABCDE12探索新知DC

例3

已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.作法：（1）作线段AB=a；（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC=h；（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.ABMNah巩固练习

练习1在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.72°30°巩固练习练习2如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），

AD是底边BC上的高.标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度

数，并写出图中所有相等的线段.巩固练习练习3如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C

的度数.巩固练习练习4如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的

度数.解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵AD=AC，∴∠ADC=∠C.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.设∠B=x，则∠BAC=2∠BAD=2x，∠C=∠ADC=∠B+∠BAD=2x，∴∠B+∠BAC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴∠B=36°.巩固练习ABCD共有3个等腰三角形．△ABC、

△DAB、△BCD

练习5如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．巩固练习练习6如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ABCDCE解：是等腰三角形∵△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴△EBD是等腰三角形.巩固练习练习7已知：△ABC，D为AC的中点，BD=AC.求证：∠ABC=90°.证明：∵D为AC的中点，

BD=AC.∴AD=BD=DC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠DBC.∵∠A+∠ABC+∠C=2（∠ABD+∠DBC）=2∠ABC=180°.∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.巩固练习练习8如图，AC和BD相交于O点，