第9章 回归方程的函数形式

第9章回归方程的函数形式9.1如何度量弹性：对数线性模型9.2线性模型与对数线性模型的比较9.3多元对数线性回归模型9.4如何测度增长率：半对数模型9.5线性对数模型：解释变量是对数形式1第9章回归方程的函数形式9.6双曲线模型9.7多项式回归模型9.8不同函数形式小结9.9小结29.1如何度量弹性：双对数线性模型支出函数双对数（double-log)模型/对数线性(log-linear)模型对（9-5）式可变换为：39.1如何度量弹性：对数线性模型若（9-6）式满足古典线性回归模型的基本假定，则用OLS估计方法得到BLUE。（9-6）式的重要特性：斜率B2度量了Y对X的弹性。双对数模型又称为不变弹性模型。对数线性模型的假设检验与一般线性模型相同。49.1如何度量弹性：对数线性模型弹性的定义：E=需求函数及其对数变形后的图形见图9-1a和图9-2b.59.1如何度量弹性：对数线性模型6例9.1博彩支出一例在（7-46）式中，我们给出了博彩支出函数，博彩支出和个人可支配收入之间是近似线性关系的，因为并非所有的样本点都恰好落在直线上。下面，我们看一下，如果用对数线性模型拟合表9-1给出的数据，情况又会怎样？图9-2描绘了（9-8）所表示的回归直线。双对数模型的假设检验79.2线性模型与对数线性模型的比较选择模型的规律：1）根据数据作图，判断模型形式（只适用于双变量情况）。2）不能仅仅根据选择模型。3）线性模型的弹性系数随着需求曲线上的点的不同而变化，而对数线性模型在需求曲线上任何一点的弹性系数都相同。89.3多元对数线性回归模型三变量对数模型：其中，又称为偏弹性系数。B2是Y对X2的弹性（X3保持不变）。B3是Y对X3的弹性（X2保持不变）。在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系数度量了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一解释变量的偏弹性。9例9.2柯布-道格拉斯生产函数（P185）在模型（9-10）中，令Y表示产出，X2表示劳动投入，X3表示资本投入。这样，式（9-10）就是一个生产函数----反映产出与劳动力和资本投入之间的关系的函数，即柯布-道格拉斯函数（C-D函数）。表9-2给出了1955-1974年间墨西哥的产出Y，（GDP度量，以1960年不变价，单位为百万比索）、劳动投入X2（用总就业人数度量，单位为千人），资本投入X3（用固定资本度量，以1960年不变价，单位为百万比索）的数据。10例9.2柯布-道格拉斯生产函数11例9.2柯布-道格拉斯生产函数12例9.2柯布-道格拉斯生产函数将（9-11）式中两个弹性系数相加，得到一个重要的经济参数-----规模报酬参数。它反映了产出对投入的比例变动。两个弹性系数和为1-----规模报酬不变。两个弹性系数和大于1-----规模报酬递增。两个弹性系数和小于1-----规模报酬递减。13例9.3对能源的需求（P187）表9-3给出了1960-1982年间7个OECD国家的总最终能源需求指数（Y）、实际GDP（X2）、实际能源价格（X3）的数据。所有指数均以1970年为基准（1970=100）。14例9.3对能源的需求15例9.3对能源的需求169.4如何测度增长率：半对数模型半对数模型又称为增长模型，通常我们用这类模型来测度许多变量的增长率。17例9.41970-1999年间美国人口增长率（P189）我们现在要求在此期间的美国人口增长率（Y）。复利计算公式：其中，Y0----Y的初始值Yt----第t期的Y值r-----Y的增长率（复利率）将（9-13）式变形，对等式两边取对数，得：18例9.41970-1999年间美国人口增长率（P189）现令因此，模型（9-14）可表示为：若引入随机误差项，得到：形如（9-18）的回归模型称为半对数模型。注意，在满足OLS基本假定的条件下，能够用OLS方法来估计模型（9-18）。根据表9-4提供的数据，得到如下回归结果：19例9.41970-1999年间美国人口增长率（P189）209.4.1单利增长率与复利增长率

由(9-16)式，b2=B2的估计值=ln(1+r)

因此antilog(b2)=(1+r)即：1+r=exp（b2）于是r=antilog(b2)-1即：r=exp（b2）-1

(r是复利增长率)219.4.2线性趋势模型线性趋势模型：Yt=B1+B2t+ut(8-23)即Y对时间t的回归，其中t按时间先后顺序计算。时间t称为趋势变量。228.4.2线性趋势模型根据表9-4提供的数据，拟合的回归方程如下：Se=(743.2718)(152.1243)r2=0.9987回归结果表明，在样本区间内，美国人口每年绝对增长为2.3284（百万美元）。因此，在此期间，美国人口有一个向上的趋势。

239.5线性对数模型：解释变量是对数形式

线性对数模型（lin-logmodel)：应变量是线性形式而解释变量是对数形式。线性对数模型常用于研究解释变量每变动1%，相应应变量的绝对变化量的情形。24例9.5美国GNP与货币供给间的关系（1973-1987年）25例9.5美国GNP与货币供给间的关系（1973-1987年）（P164）假定联储很关注货币供给的变动对GDP的影响（货币供给是由FED控制的）。现考虑下面模型：其中，Y=GDP，X=货币供给。与对数线性模型相比，对数线性模型中的应变量是对数形式，解释变量是线性形式。在解释线性对数模型之前，先给出模型（9-25）的回归结果：26例9.5美国GNP与货币供给间的关系（1973-1987年）P（164）t=(-23.494)(27.549)r2=0.9832回顾一下：对数形式的变化称为相对变化。因此，模型（9-25）中的斜率度量了：式（9-27）也可写为：式（9-28）表明，Y的绝对变化量等于乘以的相对变化量。因而，若每变化0.01个单位（或1%），则Y的绝对改变量为0.01（B2）279.6双曲线模型双曲函数模型：该模型的显著特征：随着X的无限增大，Y将逐渐接近B1渐进值（asymptoticvalue)或极限值。289.6双曲线模型298.6双曲线模型在图9-3a中，若Y表示生产的平均固定成本（AFC），也即总固定成本除以产出，X代表产出，则根据经济理论，随着产出的不断增加，AFC将逐渐降低，最终接近其渐进线。图9-3b描绘了恩格尔消费曲线（Engelexpenditurecurve)：消费者对某一商品的支出占其总收入或总消费支出的比例。该商品有以下特征（1）收入有一个临界值（2）消费有一个满足水平。图9-3c描绘了菲利普斯曲线(Philipscurve)。Y表示英国货币工资变化的百分比，X表示失业率。30例9.61958-1969年美国的菲利普斯曲线（P166）31例9.61958-1969年美国的菲利普斯曲线模型（9-29）拟合了表9-6给出的数据，回归结果如下：t=(-0.2572)(4.3996)r2=0.6594图9-4a给出了该回归线。32例9.61958-1969年美国的菲利普斯曲线33例9.61958-1969年美国的菲利普斯曲线作为比较，我们给出根据相同数据得到的线性回归结果：t=(6.4625)(-3.2605)r2=0.5153比较这两个模型可以看出，双曲函数模型比线性模型更好地拟合了样本数据。349.7多项式回归模型358.7多项式回归模型图8-5描绘了总成本函数（是产出的函数）曲线和边际成本（MC）及平均成本（AC）曲线。Y表示总成本（TC），X表示产出，总成本函数可以表示为：形如式（8-32）的函数又称为立方函数（三次多项式函数）。可以把它看作多元回归方程，用OLS方法来估计参数。368.7多项式回归模型（P197）Y（$)193226240244257260274297350420总成本X12345678910产出表9-7成本—产出数据37例9.7总成本函数：为了说明多项式模型，考虑表9-7给出的成本—产出数据根据这些数据，用OLS方法得到的回归结果如下：

se=(6.3753)(4.7786)