2024届广东省河源中学高三上学期一调数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat18页2024届广东省河源中学高三上学期一调数学试题一、单选题1．集合（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过解一元一次不等式，结合表示整数集合进行求解即可.【详解】由，可得，又，所以集合.故选：C2．当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先化简，然后根据m的范围判断实部和虚部符号即可.【详解】因为，所以所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A3．若非零向量与满足，且，则为（

）A．三边均不等的三角形 B．直角三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.【详解】解：，的角平分线与BC垂直，，，则是顶角为的等腰三角形，故选：C.4．“”的一个充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的性质，可判断由能推出，由此判断A;举反例可判断B,C,D.【详解】由可知，，故是的而一个充分条件；由可得到，不妨取，推不出，故B错误；由，比如取，满足，推不出，故C错误；由，比如取，满足，推不出，故D错误；故选：A5．如图，平行四边形中，M为中点，与相交于点P，若，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】由题可得，进而可得，结合条件即得.【详解】因为平行四边形中，M为中点，与相交于点P，所以，所以，又，所以，.故选：B.6．已知为第三象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以．又因为为第三象限角，所以．所以故选：A【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和同角三角函数的关系，考查数学运算求解能力．7．已知，不等式恒成立，则实数m取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的正负情况分类讨论求解即可．注意交并集思想的正确运用．【详解】解：当时，即，，∴，即，令，对称轴为，当，即时，在上单调递增，，∴只要即可，解得，．当时，，∴只要即可，解得，，∴当时，．当时，，，解得，∴只要即可，解得．综上：．故选：D．8．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函数的图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性质可求得结果.【详解】，由，可得，当时，，故函数的图象关于点对称，由等差中项的性质可得，所以，数列的前项和为.故选：D.二、多选题9．已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C． D．若，则的最小值为1【答案】ACD【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.【详解】对于A，设，则，故A正确；对于B，令，满足，故B错误；对于C，设，，则，所以，故C正确；对于D，设，则，即，表示以为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.故选：ACD10．是的重心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值为【答案】ACD【分析】根据向量的线性运算结合重心的性质判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量的数量积的运算律判断CD.【详解】对于A，当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，∴A正确；对于B，∵在方向上的投影为，∴在方向上的投影向量为，∴B错误；对于C，∵是的重心，∴，，∴，所以，∴C正确；对于D，如下图，取的中点，连接，取中点，连接，则，，，则，显然当重合时，，取最小值，∴D正确.故选：ACD．11．已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是（

）A．是其中一个对称中心 B．C．在上单调递增 D．【答案】AD【分析】先根据条件求出和的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心方程可判断A；由的值可判断B；求的单调递增区间可判断C；将代入计算可判断D，进而可得正确选项.

【详解】因为在内单调递减，关于对称，所以当时，取得最小值，所以①，且，可得，所以，因为，所以，且和在同一个单调递减区间，所以②，两式相减可得：，所以，所以，因为，所以，，可得，对于A：由可得：，所以是其中一个对称中心，故选项A正确；对于B：由计算可知：，故选项B不正确；对于C：令，得所以在单调递增，在上单调递减，故选项C不正确；对于D.：，故选项D正确，故选：AD.12．若，，且，则（

）A． B．C． D．的最大值为【答案】ABD【分析】由，消去选项中的b，构造关于a的函数，分析函数的性质，判断正误.【详解】对于A，因为在单调递减，在单调递增，所以，选项A正确；对于B，因为，所以有，于是，当且仅当时，等号成立，选项B正确；对于C，，设，所以在单调递减，在单调递增，所以，选项C错误；对于D，设，所以，所以，选项D正确.【点睛】因为，，，所以注意构造的函数中.三、填空题13．已知平面向量，，若与垂直，则实数．【答案】1【分析】利用向量数量积的坐标表示，即可求解.【详解】因为与垂直，所以，即，，解得．故答案为：14．已知则的最大值为【答案】【分析】三维柯西不等式的直接应用，凑形式即可.【详解】由柯西不等式，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.15．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】已知关于x的方程有4个不同的实数解，可以分别三种情况讨论：①，方程有4个根；②，方程有两个正根；③，方程有两个负根；分别求出实数a的取值范围即可完成求解.【详解】由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即，解得；③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即，解得；由①②③可知，实数a的取值范围是.故答案为：.16．已知正项数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则下列结论正确的是.①；②是等差数列；③；④满足的的最小正整数为10.【答案】②③④【分析】对于②，根据与的关系得出是等差数列；对于①，由求出，再比较大小进行判断；对于③，令，通过导数证明在上恒成立，令（，），再证得不等式成立；对于④，利用裂项相消法求出，再求出的的最小正整数.【详解】对于②，因为，当时，，解得，当时，，所以，整理得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，故②正确.对于①，，又正项数列的前项和为，所以，当时，，当时，，即，又当时，满足，所以，又，因为，所以，即，故①不正确；对于③，令，，当时，恒成立，所以在区间上单调递增，所以，即，所以在上恒成立，令（，），所以，又，故，故③正确；对于④，因为，所以，所以，所以，因为，即，化简整理得，显然数列递增，当时，；当时，，所以满足的的最小正整数为10，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和前项和公式计算可得答案；（2）由题意可知，利用错位相减求和可得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为.所以，所以，，所以；（2）由题意可知，所以①，②，①②得，，，，.18．（1）如图①，在中，为边上的高，，，，，求的值；（2）如图②，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点，若，分别为线段，的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）【分析】（1）由余弦定理可得BC，由等面积法可求得AD，根据数量积的运算律得到，从而得解．（2）建立平面直角坐标，设，，利用坐标法表示出，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】（1）因为，所以，，所以，又，，，故由余弦定理可得，则，又，所以，所以，所以.（2）以为原点，为轴，反方向为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，设，，则，，所以，因为，则，所以，所以.

19．如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为，圆：与轴正半轴的交点是.若圆上一动点从开始，以的角速度逆时针做圆周运动，秒后到达点.设.（1）若且，求函数的单调递增区间；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据三角函数的定义分别写出的坐标，再根据点到点的距离公式表示出，代入的值再结合余弦函数的单调区间公式求解出的单调递增区间；（2）根据计算出的值，再结合诱导公式求解出的值.【详解】解：（1）由已知条件和三角函数的定义得，，则当，则令（），解得（）又∵，∴，的单调递增区间为．（2）由，，得，即，∵，∴，∴．20．某城市受空气污染影响严重，现欲在该城市中心的两侧建造两个空气净化站（如图，三点共线），两站对该城市的净化度分别为，其中．已知对该城市总净化效果为两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心到净化站之间的距离成反比．现已知，且当时，站对该城市的净化效果为，站对该城市的净化效果为．(1)设，求两站对该城市的总净化效果；(2)无论两站建在何处，若要求两站对该城市的总净化效果至少达到，求的取值范围．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）待定系数法求A、B两站对P城市的进化效果与x的关系，然后可得；（2）将恒成立问题转化为函数最值问题，利用基本不等式求最值，然后根据题意列不等式求解可得.【详解】（1）设站对城市的净化效果为，比例系数为，则，由题意：当时，，即，∴，设站对城市的净化效果为，比例系数为，则，由，，即，∴，两站对该城市的总净化效果，．（2）由题意得对恒成立，∴只要时即可；又，当且仅当即时等号成立，则，令，即，则，即，综上，无论两站建在何处，若要求两站对城市的总净化效果至少达到，的取值范围为．21．已知平面四边形．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．问题：(1)求角B；(2)若，求的周长的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）选择①：由诱导公式及正弦定理化简得，进而求得；选择②：利用三角形面积公式及数量积的运算化简得，进而求得；选择③：逆用两角和的正切公式即可求，进而求得；（2）利用正弦定理求得，设，，求得，，化简整理，再利用正弦函数的性质求最值.【详解】（1）选择①：，即，由正弦定理得，在中，，，，又，且，，所以；．选择②：由三角形面积公式及数量积的运算知，即．在中，，，，又，且，，所以；．选择③：，即所以．在中，，所以．（2）因为所以四点共圆，为直径，所以的外接圆直径为2．，由正弦定理得：，所以