2024年高一上学期期末数学考点《压轴题》含答案解析

高中PAGE1高中专题02高一上期末真题精选（压轴66题7个考点专练）【题型1】集合及其运算中的新定义题（1类考点）【题型2】一元二次不等式中的恒成立与能成立问题（2类考点）【题型3】二次函数的最值问题（2类考点）【题型4】根据函数单调性和奇偶性解不等式（3类考点）【题型5】双变量问题（含指数，对数，三角函数）（2类考点）【题型6】指数函数与对数函数（2类考点）【题型7】三角函数（4类考点）01集合及其运算中的新定义题（1类考点）考点01集合及其运算中的新定义题1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（

）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题2．（2023上·辽宁本溪·高一校考期末）设P和Q是两个集合，定义集合且.如果，，那么=（

）A． B．C． D．3．（2021·浙江·高一期末）设为不超过的最大整数，记函数，，的值域为，集合是集合的非空子集，对于任意元素，如果，且，那么是集合的一个“孤立元素”，若集合的所有子集中，只有一个“孤立元素”的集合恰好有6个，则正整数的可能值为（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2021上·江苏苏州·高一统考期末）对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作.若，，则为（）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确判断有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个02一元二次不等式中的恒成立与能成立问题（2类考点）考点01一元二次不等式中的恒成立问题1．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023下·河南新乡·高一统考期末）“”是“对任意，恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023上·江西新余·高一统考期末）已知，且，满足，若对于任意的，均有成立，则实数t的最大值是（

）．A． B． C． D．4．（2023上·浙江金华·高一浙江省东阳市外国语学校校考期末）已知函数，当时，恒成立，则的最大值为.5．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，.(1)证明是增函数；(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.考点02一元二次不等式中的能成立问题1．（2022上·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为．2．（2019上·陕西商洛·高二校考期末）若关于的不等式的区间内有解，则实数的取值范围为．3．（2020上·山东威海·高一统考期末）若，使不等式成立，则实数的取值范围为.4．（2022上·四川南充·高一统考期末）已知函数.(1)若不等式的解集为或，若不等式的解集；(2)若，使得成立，求实数的取值范围.5．（2022下·河北衡水·高二河北武强中学统考期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．03二次函数的最值问题（2类考点）考点01动轴定范围1．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）函数.(1)若，求的值域；(2)最小值为，若，求及此时的最大值.2．（2023上·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：(2)设函数在区间的最小值为，求.考点02定轴动范围1．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）已知二次函数满足，，若不等式有唯一实数解．(1)求函数的解析式；(2)若函数在上的最小值为．（i）求；04根据函数单调性和奇偶性解不等式（3类考点）考点01根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）1．（2023上·河南南阳·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2023下·北京东城·高二北京二中校考期末）已知函数，，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023下·河南焦作·高二统考期末）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为．5．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是．考点02根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数，三角函数）1．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.2．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知函数(1)判断函数的单调性并用定义法加以证明(2)求不等式的解集3．（2023下·湖南长沙·高二统考期末）已知函数（a，b为常数）是定义在的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)若在定义域是增函数，解关于x的不等式.4．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知是定义在R上的奇函数，且.(1)求实数a，b的值；(2)若，求实数m的取值范围.5．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)判断在上的单调性（无需证明），并解不等式．考点03根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）1．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有．(1)求的值；(2)证明：函数在上是增函数；(3)求不等式的解集．2．（2022上·江苏南京·高一校考期末）若增函数对任意，，都有，且，恒成立．(1)求，，；(2)求方程的解集；(3)求不等式的解集.3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数对任意的x，，都有，且当时．(1)求的值，判断并证明函数的奇偶性；(2)试判断函数在上的单调性并证明；(3)解不等式．4．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）已知函数是定义在R上的减函数，并且满足，.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.05双变量问题（含指数，对数，三角函数）（2类考点）考点01双变量函数值相等问题1．（2023上·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，.(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.2．（2022上·四川广安·高一统考期末）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．3．（2022上·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期末）设函数，．(1)求函数的值域；(2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围．考点02双变量函数值不等问题1．（2022上·广东汕尾·高一统考期末）已知函数满足.(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；(2)令，若对，，都有成立，求实数k的取值范围．2．（2023下·江苏徐州·高二校考期末）已知函数是定义域上的奇函数，且.(1)求a､b的值；(2)若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；(3)令，若对都有，求实数的取值范围.3．（2023下·河南焦作·高一统考期末）已知函数，．(1)若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；(2)若a＞1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．4．（2023上·安徽安庆·高一统考期末）已知函数，且满足________．从①函数的图象关于点对称；②函数的最大值为2；③函数的图象经过点．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：(1)求实数a的值并求函数的单调递增区间；(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．06指数函数与对数函数（2类考点）考点01指数（对数）型复合函数中的零点问题1．（2023下·河南开封·高二校联考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.2．（2023下·山东威海·高二统考期末）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.3．（2023下·辽宁·高二校联考期末）已知函数且．(1)试讨论的值域；(2)若关于的方程有唯一解，求的取值范围．4．（2023下·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知函数，R．(1)若为偶函数，求a的值；(2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．考点02指数（对数）型复合函数中的恒成立问题1．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数.(1)证明在上单调递增；(2)设函数，求使函数有唯一零点的实数a的值；(3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.2．（2023上·浙江·高一期末）已知函数是偶函数，且有且仅有两个零点．(1)求实数a，b的值；(2)设，若对任意和，都有成立，求实数t的取值范围．3．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）设函数，．(1)当时，证明：方程在上有唯一实根；(2)是否存在实数a，满足：对于任意，都有？若存在，求出所有满足条件的a；若不存在，请说明理由．考点03指数（对数）型复合函数中的能成立问题1．（2023下·江苏镇江·高一统考）已知函数（且）.(1)求函数的奇偶性；(2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.2．（2023上·广东广州·高一校考期末）已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数．(1)求函数的解析式；(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；3．（2022上·河北张家口·高一统考期末）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，.(1)①作出函数在上的图象；②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；(2)设，若，，使得成立，求实数的最小值.考点04指数（对数）型复合函数中的新定义问题1．（2023下·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校联考）已知函数，．(1)若函数在内有唯一零点，求a的取值范围．(2)设函数的最大值、最小值分别为M，m，记．设，函数，当，时，恒成立，求的取值范围．2．（2023上·辽宁鞍山·高一统考期末）一般地，设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则称为倒函数．请根据上述定义回答下列问题：(1)已知，，判断和是不是倒函数；（不需要说明理由）(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．设，若，求解不等式．07三角函数（4类考点）考点01三角函数中的零点问题1．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设函数.(1)当时，求的值域；(2)若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围.2．（2023下·北京密云·高一统考期末）已知函数．(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)求在区间上的最值，并求出此时对应的的值；(3)若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围．3．（2023下·北京怀柔·高一统考期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)若，求函数的值域；(3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．4．（2023下·北京西城·高一统考期末）已知函数．(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．5．（2021上·天津静海·高一静海一中校考期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.考点02三角函数中的恒成立问题1．（2023下·江西抚州·高一校联考期中）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数.(1)求的解析式；(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.2．（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.(1)求函数在区间[，]上的单调递减区间；(2)若对于恒成立，求实数m的范围.3．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）定义在区间上的函数且为奇函数．(1)求实数的值，并且根据定义研究函数的单调性：(2)不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．考点03三角函数中的存在性问题1．（2021上·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数．请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．（1）求函数的解析式；（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；（3）当时，是否存在满不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.2．（2021上·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）已知函数.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.3．（2020上·安徽淮南·高一统考期末）已知函数,的最小正周期为.(1)求的单调增区间;(2)方程在上有且只有一个解,求实数的取值范围;(3)是否存在实数满足对任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.考点04三角函数中的新定义问题1．（2023下·北京西城·高一统考期末）对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数．(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：①；②．(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且．2．（2023下·上海宝山·高一统考期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.(1)计算的值；(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.3．（2023下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．(1)若，求函数的“平衡”数对；(2)若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；(3)若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．4．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）设函数和的定义域分别为和，若对，都存在个不同的实数，使（其中，），则称为的“重覆盖函数”．(1)试判断是否为的“4重覆盖函数”？并说明理由；(2)已知函数为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.

专题02高一上期末真题精选（压轴66题7个考点专练）【题型1】集合及其运算中的新定义题（1类考点）【题型2】一元二次不等式中的恒成立与能成立问题（2类考点）【题型3】二次函数的最值问题（2类考点）【题型4】根据函数单调性和奇偶性解不等式（3类考点）【题型5】双变量问题（含指数，对数，三角函数）（2类考点）【题型6】指数函数与对数函数（2类考点）【题型7】三角函数（4类考点）01集合及其运算中的新定义题（1类考点）考点01集合及其运算中的新定义题1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（

）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【答案】D【详解】对于①，因为，而，所以集合不是好集，故①错误；对于②，因为集合为“好集”，所以，所以，故②正确，所以①为假命题，②为真命题.故选：D.2．（2023上·辽宁本溪·高一校考期末）设P和Q是两个集合，定义集合且.如果，，那么=（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题，，则.，则.则由题中所给定义有：.故选：A3．（2021·浙江·高一期末）设为不超过的最大整数，记函数，，的值域为，集合是集合的非空子集，对于任意元素，如果，且，那么是集合的一个“孤立元素”，若集合的所有子集中，只有一个“孤立元素”的集合恰好有6个，则正整数的可能值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】当时，，，由为不超过的最大整数，得函数的值域，又集合是集合的非空子集，集合的所有子集中，满足只有一个“孤立元素”的集合，则，；不满足题意，故选项A不正确；当时，，，由为不超过的最大整数，得函数的值域，又集合是集合的非空子集，集合的所有子集中，满足只有一个“孤立元素”的集合，则，，；不满足题意，故选项B不正确；当时，，，由为不超过的最大整数，得函数的值域，又集合是集合的非空子集，集合的所有子集中，满足只有一个“孤立元素”的集合，则，，，，，，满足题意，故选项C正确；当时，，，由为不超过的最大整数，得函数的值域，又集合是集合的非空子集，集合的所有子集中，满足只有一个“孤立元素”的集合，则，，，，，，，，，，，，，共个满足条件的集合，不满足题意，故选项D不正确；故选：C.4．（2021上·江苏苏州·高一统考期末）对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记作.若，，则为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，∴．故选：B．5．（2022·全国·高三专题练习）函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确判断有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】对①：取，，满足，但，，，故①错误；对②：若，由函数定义可得，所以，故②正确；对③：取，，满足，但，，，故③错误；对④：假设，且，则存在，则所以所以，且，若，则，所以，所以，矛盾，假设不成立；若，则，矛盾，假设不成立；所以若，则，故④正确.故选：B.02一元二次不等式中的恒成立与能成立问题（2类考点）考点01一元二次不等式中的恒成立问题1．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵，，则，∴，又∵，且，可得，令，则原题意等价于对一切，恒成立，∵的开口向下，对称轴，则当时，取到最大值，故实数的取值范围是.故选：C.【点睛】结论点睛：对，恒成立，等价于；对，恒成立，等价于.2．（2023下·河南新乡·高一统考期末）“”是“对任意，恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由，即，所以，由，恒成立，即在上恒成立，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以，因为真包含于，所以“”是“对任意，恒成立”的充分不必要条件.故选：A3．（2023上·江西新余·高一统考期末）已知，且，满足，若对于任意的，均有成立，则实数t的最大值是（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】已知，，且，满足，则，即，所以又，则，则有，即，所以若对于任意的，均有成立，即，对于任意的恒成立，当时，，当时等号成立，即得，所以实数t的最大值是.故选：A.4．（2023上·浙江金华·高一浙江省东阳市外国语学校校考期末）已知函数，当时，恒成立，则的最大值为.【答案】2【详解】函数，对恒成立，令，则或，故，得，当时，满足，则的最大值为2.故答案为：26．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，.(1)证明是增函数；(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：，且，，因为，函数在上单调递增，所以，又，故，即.因此，是增函数.（2）由不等式得，整理得，令，即，即，因为，所以，，所以要使原不等式恒成立，则有，即，，故的取值范围是考点02一元二次不等式中的能成立问题1．（2022上·北京朝阳·高三对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期末）若命题“，使”是真命题，则实数的取值范围为．【答案】【详解】由题意可知，①若，即或，当时，不等式为，显然不成立；当时，不等式为，显然，使成立，即符合题意；②若，即，此时不等式对应的一元二次函数开口向下，满足条件；③若，即或，此时不等式对应的一元二次函数开口向上，若要满足题意，则需方程由两个不相等的实数根，即，解得，即满足条件时；综合①②③可得，实数的取值范围为故答案为：2．（2019上·陕西商洛·高二校考期末）若关于的不等式的区间内有解，则实数的取值范围为．【答案】【详解】不等式在区间内有解等价于，因为函数在上单调递减，在单调递增，，所以的值域为，所以，故答案为：.3．（2020上·山东威海·高一统考期末）若，使不等式成立，则实数的取值范围为.【答案】【详解】令，由可得，则问题等价于存在，，分离参数可得若满足题意，则只需，令，令，则，容易知，则只需，整理得，解得.故答案为：.4．（2022上·四川南充·高一统考期末）已知函数.(1)若不等式的解集为或，若不等式的解集；(2)若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）不等式，即，由于，所以，其解集为或，所以，且，解得，所以不等式即，即，解得，所以不等式的解集为.（2）依题意，，使得成立，，使得成立，由于，所以，由于函数的开口向下，对称轴为，所以，即的取值范围是.5．（2022下·河北衡水·高二河北武强中学统考期末）若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2(2)(－∞，－2)【详解】（1）由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2．（2）因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范围为(－∞，－2)．03二次函数的最值问题（2类考点）考点01动轴定范围1．（2022上·新疆哈密·高一校考期末）函数.(1)若，求的值域；(2)最小值为，若，求及此时的最大值.【答案】(1)(2)，5【详解】（1）若，则，即，因为，所以，则，所以的值域为.（2），因为，所以：若，即，，若，即，，若，即，由题若，则时，，无解；时，，无解；时，，即，解得或舍去；综上：，此时，，所以的最大值为.2．（2023上·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：(2)设函数在区间的最小值为，求.【答案】(1)最大值为，最小值为(2)【详解】（1）当时，，其对称轴为，故函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，故函数在区间的最大值为，最小值为；（2）对称轴为，当时，，当时，，当时，，综上所述：.考点02定轴动范围1．（2023上·江苏宿迁·高一统考期末）已知二次函数满足，，若不等式有唯一实数解．(1)求函数的解析式；(2)若函数在上的最小值为．（i）求；【答案】(1)(2)（i）；【详解】（1）由可知的对称轴为，设二次函数，又，所以，所以，又有唯一实数解，所以有唯一实数解，即有唯一实数解，所以方程的判别式，所以所以．（2）①的对称轴为，（Ⅰ）当时，在上为单调增函数，所以；（Ⅱ）当时，在上为单调减函数，所以；（Ⅲ）当时，在上为单调减函数，在上为单调增函数，所以；综上：②由①知且关于对称．04根据函数单调性和奇偶性解不等式（3类考点）考点01根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）1．（2023上·河南南阳·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由于是定义在上的偶函数，故，则的图象关于直线对称；对任意的，都有恒成立，即对任意的，有，则，故在上单调递减，根据对称性可知在上单调递增，故由得，即，解得，即不等式的解集为，故选：C2．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵为偶函数，∴，即函数关于对称，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递减，由，可得，整理得，解得或，即不等式的解集为.故选：B.3．（2023下·北京东城·高二北京二中校考期末）已知函数，，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】的定义域为实数集，，所以是奇函数，，∴在R上单调递增；由得，，则，即，当时，，此时不等式等价为成立，当，，所以，因为，，所以，则，则.故选：D.4．（2023下·河南焦作·高二统考期末）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为．【答案】【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，则，即，所以，函数的图象关于直线对称，当时，，则函数在上单调递减，故函数在上单调递增，因为，则，即，即，即，解得或，因此，不等式的解集为.故答案为：.5．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若，且，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，设，而为奇函数，奇函数偶函数奇函数，所以函数为奇函数，关于原点对称，设，则，因为，所以即为上的增函数，故在上单调递增，因为，所以1，解得，实数的取值范围为．故答案为：考点02根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数，三角函数）1．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，可得，因为当时，，当时，则，可得，所以函数的解析式为.（2）因为，当时，，其开口向上，对称轴为，所以在上单调递增；当时，，其开口向下，对称轴为，所以在上单调递增；又易知在上是连续的，所以在上单调递增；又，，所以，即，所以，则，所以不等式的解集为.2．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）已知函数(1)判断函数的单调性并用定义法加以证明(2)求不等式的解集【答案】(1)减函数;证明见解析；(2)【详解】（1）为减函数.证明如下:的定义域为，任取两个实数，且，，，，，，，所以在上为单调减函数.（2）对，，故函数为奇函数，由可得，由（1）知在上为单调减函数，，解可得，故不等式的解集为.3．（2023下·湖南长沙·高二统考期末）已知函数（a，b为常数）是定义在的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)若在定义域是增函数，解关于x的不等式.【答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意可知，即，解得，所以函数的解析式为，；（2）不等式可化为，因为是定义在的奇函数，所以，又因为在定义域是增函数，等价于，解之得，故不等式的解集为.4．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知是定义在R上的奇函数，且.(1)求实数a，b的值；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意,解得，则，经检验：，故，.（2）设R上任意实数，且，则，所以在R上是增函数,则，故.解得.5．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)判断在上的单调性（无需证明），并解不等式．【答案】(1)(2)在上为增函数，在上为减函数，解集为.【详解】（1）设，则，因为是定义在上的偶函数，所以，所以；（2）由（1）知，时，.因为与在上都是增函数，所以在上为增函数，在上为减函数，

由，解得，所以该不等式的解集为.考点03根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）1．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有．(1)求的值；(2)证明：函数在上是增函数；(3)求不等式的解集．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为对任意正实数x，y，都有，所以，即，因为，所以.（2）由得，任取，且，则，，即，所以函数在上是增函数；（3）由（1）知，，因为，所以，即，由（2）知，函数在上是增函数；所以，解得，故不等式的解集为.2．（2022上·江苏南京·高一校考期末）若增函数对任意，，都有，且，恒成立．(1)求，，；(2)求方程的解集；(3)求不等式的解集.【答案】(1)，，，(2)(3)【详解】（1）令，则，得，令，则，所以，因为，所以，令，则，所以，得，（2）由题意可知，得，因为，所以，所以，所以，因为为上的增函数，所以，所以，，所以或，所以或，所以方程的解集为（3）因为，所以，所以，所以由，得，因为为上的增函数，所以，所以，，解得，所以不等式的解集为.3．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数对任意的x，，都有，且当时．(1)求的值，判断并证明函数的奇偶性；(2)试判断函数在上的单调性并证明；(3)解不等式．【答案】(1)，是奇函数，证明见解析(2)在上单调递减，证明见解析(3)【详解】（1）依题意，函数对任意的x，，都有，令，得，是奇函数，证明如下：用代替，得，则，所以是奇函数.（2）在上单调递减，证明如下：任取，，由于，所以，所以，所以在上单调递减.（3），，由于在上单调递减，所以，所以不等式的解集是.4．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）已知函数是定义在R上的减函数，并且满足，.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）是定义在上的减函数，并且满足，令，得，.（2）由（1）知，令，得，，为上的奇函数，又，令，，，，解得，的取值范围为.05双变量问题（含指数，对数，三角函数）（2类考点）考点01双变量函数值相等问题1．（2023上·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，.(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题知，，因为的图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减因为函数在区间上存在零点，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，，，得，当时，的值域为，显然不满足题意；当时，的值域为，因为，所以，解得；当时，的值域为，因为，所以，解得，综上，实数的取值范围为.2．（2022上·四川广安·高一统考期末）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），记函数，由题可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，，所以，所以，.故函数的值域为.（2）由（1）得，则，设在上的值域为，则.函数的对称轴为，当时，在上单调递增，所以，，解得；当时，，不成立，舍去；当时，在上单调递减，所以，，解得.综上：a的取值范围为.3．（2022上·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期末）设函数，．(1)求函数的值域；(2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）∵，又，，∴，当且仅当，即时取等号，所以，即函数的值域为．（2）∵，设，因为，所以，函数在上单调递增，∴，即，设时，函数的值域为A．由题意知，∵函数，函数图象的对称轴为，当，即时，函数在上递增，则，即，∴，当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，而且，不合题意，当，即时，函数在上递减，则，即，满足条件的a不存在，综上，．考点02双变量函数值不等问题1．（2022上·广东汕尾·高一统考期末）已知函数满足.(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；(2)令，若对，，都有成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：设，，且，则，当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递减，当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递增，综上，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）由题意知，令，，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，∴，∵函数的对称轴方程为，∴函数在上单调递减，∴当时，取得最大值，，当时，取得最小值，，∴，，又∵对,，都有恒成立，∴，即，解得，又∵，∴k的取值范围是．2．（2023下·江苏徐州·高二校考期末）已知函数是定义域上的奇函数，且.(1)求a､b的值；(2)若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；(3)令，若对都有，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）∵，又是奇函数，∴，，∴解得，∴.经验证，函数定义域为，成立，满足要求，所以.（2）由（1）知，.方程在上有两个不同的根，即在上有两个不相等的实数根，需满足，解得.（3）由题意知，令,因为函数在上单调递减，在上单调递增，∴,∵函数的对称轴为，∴函数在上单调递增.当时，；当时，；即，又∵对都有恒成立，∴，即，解得，又∵，∴的取值范围是.3．（2023下·河南焦作·高一统考期末）已知函数，．(1)若，函数在区间上存在零点，求的取值范围；(2)若a＞1，且对任意，都有，使得成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)．【详解】（1）函数在区间上单调递减，则由零点存在定理可得，即解得，所以的取值范围是．（2）若对任意，都有，使得成立，则当时，．因为a＞1，所以当时，单调递减，单调递增，所以，，所以．当1＜a＜2时，，，不符合条件，当时，，，符合条件，所以a的取值范围是．4．（2023上·安徽安庆·高一统考期末）已知函数，且满足________．从①函数的图象关于点对称；②函数的最大值为2；③函数的图象经过点．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：(1)求实数a的值并求函数的单调递增区间；(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．【答案】(1)，；(2)．【详解】（1）由条件知若选①，则，解得，，由，解得，，所以函数的单调递增区间为．若选②，则函数的最大值为，解得，，由，解得，，所以函数的单调递增区间为．若选③，则，所以，，由，解得，，所以函数的单调递增区间为．（2）由题意可知只需即可．当时，，所以，因此函数的最大值为1．令，则，则当即时，函数的最大值为，于是，整理得，解得，均满足，所以；当即时，函数的最大值为，于是，无实解；综上所述，实数m的取值范围为．06指数函数与对数函数（2类考点）考点01指数（对数）型复合函数中的零点问题1．（2023下·河南开封·高二校联考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2)【详解】（1）令，，则，当时单调递减，当时，单调递增，是单调递增函数，，，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）令，，若恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，令所以，解得或，即实数的取值范围是.2．（2023下·山东威海·高二统考期末）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，，可得，即，解得，所以不等式的解集为.（2），可得，即有两个不相等的实数根，令，则有两个不相等的正实数根，所以，可得，解得.3．（2023下·辽宁·高二校联考期末）已知函数且．(1)试讨论的值域；(2)若关于的方程有唯一解，求的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）解：．因为，所以当时，；当时，．故当时，的值域为；当时，的值域为．（2）因为关于的方程只有一个解，所以有唯一解．令，所以有唯一解．关于的方程有唯一解，设．当时，，解得，不符合题意．当时，，所以一定有一个解，符合题意．当时，，解得．当时，符合题意，当时，不符合题意．综上，的取值范围为．4．（2023下·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知函数，R．(1)若为偶函数，求a的值；(2)令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．【答案】(1)1(2)【详解】（1）由已知得函数为偶函数，则，即，化简整理得，即恒成立，故．（2）由得，即，，所以的两个零点为，，因为，，且，所以，且，解得，且．故a的取值范围是．考点02指数（对数）型复合函数中的恒成立问题1．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数.(1)证明在上单调递增；(2)设函数，求使函数有唯一零点的实数a的值；(3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）由题意可知的定义域为，，则，，所以，所以为偶函数；任取，则，因为，当时，，，，所以，所以，所以在上单调递增；（2）函数的零点就是方程的解，因为有唯一零点，所以方程有唯一的解，因为函数为偶函数，所以方程变形为，因为函数在上的单调递增，所以，平方得，，当时，，经检验方程有唯一解，当时，，解得，综上可知，的值为.（3）设，则，所以原命题等价于时，不等式恒成立，令，即，所以即.2．（2023上·浙江·高一期末）已知函数是偶函数，且有且仅有两个零点．(1)求实数a，b的值；(2)设，若对任意和，都有成立，求实数t的取值范围．【答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意：，即有：，两边平方得：，所以实数a的值为0，故.由偶函数及二次函数性质易得：在和上递增；在和上递减．因为,所以则函数有且仅有两个零点等价于，即，解得．（2）由（1）知：函数的最大值为0，则问题等价于对任意，都有成立，即对任意恒成立，当时，，而在时取到最小值2，所以，又当时，故实数a的取值范围为．3．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）设函数，．(1)当时，证明：方程在上有唯一实根；(2)是否存在实数a，满足：对于任意，都有？若存在，求出所有满足条件的a；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【详解】（1）当时，，方程在上有唯一实根等价于函数在上有唯一零点．令，，因为，，所以在存在零点．又在上单调递增，所以在上有唯一零点，故方程在上有唯一实根．（2）对于任意，，都有的充要条件是，令，则原函数可化为，，记，，则开口向上，对称轴为，①当时，在上是增函数，所以，，故，解得，这种情况无解；②当时，在上是减函数，所以，，故，解得，这种情况也无解；③当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，，故且，解得且，故；综上，存在实数，满足：对于任意，都有．考点03指数（对数）型复合函数中的能成立问题1．（2023下·江苏镇江·高一统考）已知函数（且）.(1)求函数的奇偶性；(2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)奇函数(2)【详解】（1）解：对于函数，有，则，解得，所以函数的定义域为，，故函数为奇函数.（2）解：由可得，则，令，其中，因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，当时，，因此，实数的取值范围是.2．（2023上·广东广州·高一校考期末）已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数．(1)求函数的解析式；(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)【详解】（1）二次函数对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，解得．所以．（2）所以存在使不等式成立，且，转化为存在使不等式成立，令，所以不等式化为，即，因为，因为，所以，所以实数的取值范围．3．（2022上·河北张家口·高一统考期末）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，.(1)①作出函数在上的图象；②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；(2)设，若，，使得成立，求实数的最小值.【答案】(1)①图象见解析；②；(2).【详解】（1）①当时，.列表：01234567891012432101234描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以在上的图象如图所示；②恰有6个不相等的实根，等价于与有6个交点，由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；（2）因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，因为在上为增函数，所以在上为增函数，所以，由（1）可知在上的最小值为0，因为，，使得成立，所以，所以，解得，所以实数的最小值为.考点04指数（对数）型复合函数中的新定义问题1．（2023下·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校联考）已知函数，．(1)若函数在内有唯一零点，求a的取值范围．(2)设函数的最大值、最小值分别为M，m，记．设，函数，当，时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意可得方程在内只有一个实数解，即在内只有一个实数解，所以，所以a的取值范围为．（2）因为，所以当时，，则．因为，所以在上为减函数，所以在上的最大值为，最小值为，所以当时，，由，得，即，解得，故的取值范围为．2．（2023上·辽宁鞍山·高一统考期末）一般地，设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则称为倒函数．请根据上述定义回答下列问题：(1)已知，，判断和是不是倒函数；（不需要说明理由）(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．设，若，求解不等式．【答案】(1)是，不是(2)没有，理由见解析(3)【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域D中任意实数x有成立，又，是倒函数，对于，定义域为，故当时，不符合倒函数的定义，不是倒函数．（2）令，则，根据倒函数的定义，可得，即，，当时，，方程无解；当时，，当时，；当时，；故没有正整数解．（3），又是上的倒函数，，又在上是增函数，当时，，又有，成立，，在上是增函数，又，，有，不等式，即，又在上是增函数，有，解得07三角函数（4类考点）考点01三角函数中的零点问题1．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设函数.(1)当时，求的值域；(2)若函数在区间上没有零点，求正实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，因为，所以，故，，即的值域为.（2）令，可得，解得，.因为在区间上没有零点，所以，解得，因为，所以又由，得，所以或当时，；当时，综上所述，正实数的取值范围是.2．（2023下·北京密云·高一统考期末）已知函数．(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)求在区间上的最值，并求出此时对应的的值；(3)若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围．【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为；(2)时最小值为；时最大值为1；(3).【详解】（1）因为，所以最小正周期为，又增区间为，令得：，所以的单调递增区间为．（2）因为，所以．当，即时，取最小值；当，即时，取最大值1．（3）由题意，与在区间上有两个交点，而在上图象如下：

由图知：，即.3．（2023下·北京怀柔·高一统考期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)若，求函数的值域；(3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），所以函数最小正周期.（2）当时，，则，，，因此，函数在区间上的值域为.（3）∵，由得，若函数在上有且仅有两个零点，则，则，解得.即.4．（2023下·北京西城·高一统考期末）已知函数．(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．【答案】(1)1(2)(3)【详解】（1）.（2），由，，得，，所以的单调递增区间是．（3）因为，所以．依题意，解得．所以m的取值范围为．5．（2021上·天津静海·高一静海一中校考期末）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.【答案】（1）（2）（3）（4）【详解】（1）由题意，函数因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，又由函数为奇函数，可得，所以，因为，所以，所以函数.（2），令，则，所以，，因为对称轴，所以当时，，即的最大值为.（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最小值为，故函数的值域.（4）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，如图可得方程在区间有5个解，即，其中，即解得所以.考点02三角函数中的恒成立问题1．（2023下·江西抚州·高一校联考期中）已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数.(1)求的解析式；(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由，得，则则为偶函数，于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以，又，所以，故.（2）因为，所以，故，，而恒成立，即，整理可得.令，，设，，设，且，则，由于，，则，所以，即区间上单调递增，故，故，即实数m的取值范围是.（3）由题意知，由得，故或，，解得或，，故的零点为或，，所以相邻两个零点之间的距离为或若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，，分别恰有个零点，所以在区间上恰有个零点，从而在区间上至少有一个零点，所以，另一方面，在区间上恰有个零点，所以的最小值为.2．（2023下·四川成都·高一成都七中校考期中）已知，，其中，函数的最小正周期为.(1)求函数的单调递增区间；(2)若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，,则,，故，因为最小正周期为，所以，∴，故，由,解得，所以的单调递增区间为.（2）在内恒成立，即在内恒成立，，整理得：，由于，，则，故，对恒成立，令，则，故，设，当时函数为单调递增函数，故，故，即，所以m的取值范围为．3．（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）已知函数.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.(1)求函数在区间[，]上的单调递减区间；(2)若对于恒成立，求实数m的范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）.因[，]，则，又分别在上单调递增和递减，则，即函数在区间[，]上的单调递减区间为；（2）函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得解析式为，又将所得函数图象向右平移个单位长度，解析式为，则.因，则.又在上单调递增，在上单调递减，则，故.方法1：令，则等价于，.当时，，则此时m可取任意值；当时，，注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；当时，，注意到函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，则；综上可得：.方法2：令，则等价于，.则.4．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）定义在区间上的函数且为奇函数．(1)求实数的值，并且根据定义研究函数的单调性：(2)不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)1；答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）因为是奇函数，所以，解得，所以，检验：，满足题意；任取，且，则，因为，，所以，，当时，，所以即，此时在上单调递增；当时，，所以即，此时在上单调递减；（2），由可得，因为，所以，所以，所以，所以，解得，当时，由在上单调递增可得恒成立，所以，解得；当时，由在上单调递减可得恒成立，所以，解得；当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是；考点03三角函数中的存在性问题1．（2021上·江苏宿迁·高一统考期末）已知函数．请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数的图象过点；②函数的图象关于点对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为．（1）求函数的解析式；（2）若是函数的零点，求的值组成的集合；（3）当时，是否存在满不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）选择①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范围，利用见解析.【详解】选择①②：因为函数的图象过点，所以，解得，因为，所以，因为函数的图象关于点对称，则，可得，因为，所以，，所以，选择①③：若函数的图象过点，所以，解得，因为，所以，因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，，解得：，所以，选择②③：因为函数相邻两个对称轴之间距离为，所以，所以，，解得：，若函数的图象关于点对称，则，可得，因为，所以，，所以（2）若是函数的零点，则，可得，所以或解得：或