2024届陕西省高三上学期第一次联考数学（理）试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat15页2024届陕西省高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合A,再应用集合交集运算即可.【详解】由题意可得，则.故选：B.2．设命题，，则（

）A．命题p是真命题，：，B．命题p是真命题，：，C．命题p是假命题，：，D．命题p是假命题，：，【答案】C【分析】由二次函数的函数值的取值范围判断命题的真假，再写出全称量词的否定.【详解】因为，所以命题p是假命题.：，.故选：C.3．函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据函数的单调性求解.【详解】由题意可得.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故.故选：D.4．若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性进行判断即可.【详解】由题意，，，，因为，所以.故选：B.5．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）

A．有2个极值点 B．在处取得极小值C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减【答案】C【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论.【详解】由题意及图得，在上单调递增，在上单调递减，∴有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.6．已知甲的年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充要条件定义结合不等式的性质判断即可.【详解】设甲､乙､丙的年龄分别为x，y，z，根据已知条件得.若丙的年龄大于乙的年龄，则，则，因为，所以未必成立.若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则，则，即，所以丙的年龄大于乙的年龄.故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件.故选：B.7．车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级果比级果多倍，且级果的市场销售单价为元千克，则级果的市场销售单价最接近（

）参考数据：，，，A．元千克 B．元千克C．元千克 D．元千克【答案】C【分析】利用指数运算，化简求的值.【详解】由题意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近元千克故选：C8．已知函数，且，则（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可.【详解】设，定义域为，则，故是奇函数，从而，即，即.故选：A9．已知命题p：，；命题q：若，则，.下列命题是真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】应用导数及特值法判断命题的真假，再根据或，且，非定义判断选项即可.【详解】设，则.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，从而在上的最小值为，故命题p是假命题.由，，得，则命题q是假命题，故只有是真命题.故选：B.10．已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，通过求导及已知条件得出单调性并化简不等式，即可求出不等式的解集.【详解】由题意，在函数中，，导函数为，，设，则.∵，∴，则是上的增函数.不等式等价于，即，则解得：，故选：D.11．已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】应用对数运算及运算律,再应用不等式的性质分别判断各个选项即可.【详解】由题意可得，，则，且，即.因为，所以，则A错误.因为，所以，即，则B错误..因为，所以，即，则C正确.因为，所以，即，则D错误.故选:C.12．定义在上的函数的导函数为，且，若，，，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，求导得出函数在上单调递减，得出，代入，，得出相应的不等关系，逐一进行判断选项即可.【详解】由已知得，设，则，所以在上单调递减，因为，，所以，，则，即，因为，所以，所以，因为，，的符号不确定，所以不一定成立，故A，C不正确；因为，所以，故B正确；由，得，即，故D错误；故选：B.【点睛】方法点睛：1.构造函数是解决不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答；2.利用导数构造的函数，积商特征看正负；3.函数导数有特征，牢记模型觅思路，利用导数构造数造函数时，不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.二、填空题13．已知函数的定义域为，则函数的定义域是.【答案】【分析】由已知求得的定义域，再由分母中根式内部的代数式大于0求解.【详解】由题意可得解得，即函数的定义域是.故答案为：.14．某校有62名同学参加数学､物理､化学竞赛，若同时参加数学､物理竞赛的同学有21名.同时参加数学､化学竞赛的同学有16名，同时参加物理､化学竞赛的同学有18名.且没有同学同时参加数学､物理､化学竞赛，则该校只参加一项竞赛的同学有名.【答案】7【分析】运用韦恩图进行求解即可.【详解】如图，设该校只参加一项竞赛的同学有x名，则，解得.

故答案为：15．若命题“，”是真命题，则a的取值范围是.【答案】【分析】先分离讨论化简不等式，再根据命题为真转为最值问题求解即可.【详解】由，得.当时，.当时，，则.因为“，”是真命题，所以.因为,当单调递减，时取最小值7，所以.故答案为：.16．已知函数的定义域为，，且，则.【答案】2023【分析】通过已知条件得出递推式即可得出的值.【详解】由题意，定义域为，在函数中，，且，令，则，，故答案为：.三、解答题17．已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用交集的定义以及一元二次不等式的解集求法得出结果；（2）由得出，利用子集关系讨论，两种情况得出结果.【详解】（1）由题意可得.当时，，则.（2）若，则，当时，，解得.∴当时，解得综上，a的取值范围是.18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件及奇函数的定义求解；（2）根据的范围，分类讨论求解不等式.【详解】（1）当时，，则.因为是定义在上的奇函数，所以.当时，，故（2）当时，，不合题意；当时，不等式等价于，即，即，解得；当时，不等式等价于，即，解得.故不等式的解集为.19．已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；（2）根据导函数的性质判断原函数的单调性，结合函数的零点定义分类讨论进行求解即可.【详解】（1）由题意可得，则.因为，所以所求切线方程为，即；（2）由题意可得.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.当时，，当时，，且，.当，即时，有且仅有1个零点；当，即时，有2个零点；当时，即时，有3个零点；当，即时，有2个零点；当，即时，有且仅有1个零点.综上，当或时，有且仅有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数极值点的正负分类讨论.20．某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.(1)求的解析式.(2)试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值.【答案】(1)(2)对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元【分析】（1）根据题意先求出a，b，由即可得出；（2）设，求出函数的导函数，利用导函数判断函数的单调性，进而求出的最大值.【详解】（1）由题意可得，解得.当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，则，解得.设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元，则解得.故.（2）设，.当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，则.故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元.21．已知函数.(1)求的定义域；(2)证明：在区间上存在最大值的充要条件是【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据定义域的定义求解即可；（2）将函数化简为：，然后利用二次函数的单调性证明即可.【详解】（1）由得，所以的定义域为.（2），因为，所以.当时，单调递增；当时，单调递减.先证明充分性.①若，则，所以在区间上存在最大值，且最大值为；②若，则，所以在区间上存在最大值，且最大值为；所以充分性成立.再证明必要性.若在区间上存在最大值，则在区间上可能先增后减，还可能单调递减，若先增后减，则最大值为，即若单调递减，则最大值为，即，又，所以，所以必要性成立.综上，在区间上存在最大值的充要条件是.22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，分为，两种情况讨论的正负，得出的单调性；（2）对要证的不等式进行等价变形得，构造函数，，通过导数研究两个函数的最值，证得结论.【详解】（1）由题意可得.则时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得，由，得，则在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，所以.因为，所以.要证，即证，即证.设，则.当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.故.设，则.当时，，当时，