数值计算实验报告简要

PAGEPAGE1数学与计算科学学院实验报告实验项目名称方程求根所属课程名称数值方法B实验类型验证实验日期2013-12-4班级数学1102班学号201164100207姓名吕立婷成绩实验三方程求根一、实验概述：【实验目的】掌握MATLAB基本知识，能够编写简单程序；熟练掌握用迭代法和牛顿法求非线性方程问题。【实验原理】方程求根有多种方法，分别为根的搜索法，迭代法，Newton法，弦截法，抛物法，代数方程求根法。其中，最重要的要属迭代法和Newton法，这两种方法为我们提供了行之有效的为我们提供了求解一般方程的方法。迭代法考虑方程（1）这种方程是隐式的，因而不能直接求解。但如果给出根的某个猜测值，将它代入（1）式的右端，即可求得。然后作为新的猜测值，进一步得到。如此反复迭代。上诉迭代法时一种逐次逼近法，其基本思想是想将上诉隐式方程（1）归结为一组显示的计算公式（2）即，迭代过程实质上是一个逐步显化的过程。如果按公式（2）确定的数列有极限，则称迭代过程(2)收敛。这时极限值显然就是方程（1）的根。设是根的某个预测值，用迭代公校正一次得，而由微分中值定理有，其中介于与之间。假定改变不大，近似地取某个近似值，则由得。可以期望，按上式右端求得的是比更好的近似值。将每得到一次改进算作一步，并用和分别表示第步的校正值和改进值，则加速迭代计算方案刻表述如下：校正，改进。（3）Newton法运用前述加速技巧，对迭代过程（4）其加速公式（3）具有以下形式：记，上面两个式子可以合写成这种迭代公式通常称为简化的Newton公式，其相应的迭代函数是。（5）如果用代替（5）式的，则得到如下形式的迭代函数：，其相应的迭代公式就是著名的Newton公式。对于迭代过程（2），如果在所求根的邻近连续，并且则该迭代过程在点邻近是阶收敛的。【实验环境】硬件环境:Intel(R)Core(TM)i5-2400CPU@3.10GHz3.09GHz,3.16GB的内存软件环境:MATLAB7.0Microsoftword2007二、实验内容：【实验方案】方案一：1、验证迭代法求解教材p141例题6.3求方程x3-x-1=0在x0=1.5附近的根；2、牛顿法求解教材P150例题6.7求方程xex-1=0在取初值x0=0.5的根。方案二：1、用迭代法求方程2x3-x-1=0的在初值x0=0根；分别选取迭代函数为x=和x=求解。分析比较迭代函数选取的不同对收敛性的影响；2、用牛顿法求x3-x-1=0在x0=1.5和x0=0附近的根，迭代10次。分析比较初值的选取对迭代法的影响。【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）（1）用迭代法求方程在初值根；分别选取迭代函数为和求解。得到迭代方程组和迭代方程组分析比较迭代函数选取的不同对收敛性的影响：迭代次数精确解000110.7937-120.9644-330.9940-5540.9990-.3328e650.9998-.7369e1761.0000-.8002e51由上表可知不同的迭代函数会对求解近似根的结果产生不同的影响，对于迭代函数，当迭代次数达到6时，所求解的近似根达到要求，而对于迭代函数，我们发现无论迭代多少次都不可能得到我们所希望的结果，迭代一次时近似解就明显的偏离了精确解，迭代次数越多，所求解就越偏离精确解。由此可见，对于迭代法迭代函数的选取对于最终的求解结果有着至关重要的作用，适当选取迭代函数是十分有必要的。用牛顿法求在和附近的根，迭代10次。得到迭代方程组其中分析比较初值的选取对迭代法的影响：迭代次数初值x0=1.5初值x0=0精确解01.501.3247211.35721121.330861.2599231.325881.3122941.324941.3223551.324761.3242761.324731.3246371.324721.3247081.324721.3247191.324721.32472101.324721.32472由上表可知，对于牛顿法初值的选取的不同会对实验结果产生不同的影响。当选取x0=1.5为初值时，迭代到第7次就可以达到要求，而对于初值为x0=0的情况，当迭代到第9次时才达到实验要求，又从可以看出初值的选取的不同会对牛顿法产生一定的影响。牛顿法具有局部收敛的的性质，它的收敛性依赖于初值的选取x0，若x0离精确解比较远，则牛顿法可能发散。【实验结论】（结果）1.1T=1.32472ans=[1.35721,1.33086,1.32588,1.32494,1.32476,1.32473,1.32472,1.32472]1.2T=0.56714ans=[.57102,.56716,.56714,.56714,.56714]2.1T=1.00000ans=[0.793701,0.964362,0.994025,0.999003,0.999834,0.999972]ans=[-1.00000,-3.00000,-55.0000,-332751,-0.736865e17,-0.800192e51]2.2T=1.32472ans=[1.35721,1.33086,1.32588,1.32494,1.32476,1.32473,1.32472,1.32472,1.32472,1.32472]ans=[1.00000,1.25992,1.31229,1.32235,1.32427,1.32463,1.32470,1.32471,1.32472,1.32472]【实验小结】（收获体会）方程求根有多种方法，重点是迭代法和Newton法。Newton是一种行之有效的迭代法，在单根附近有较高的收敛速度。应用Newton法的关键在于选取足够精确地初值。如果初值选取不当，则Newton法可能发散。Newton法的另一个局限性是要求计算导数值。如果函数的形式复杂而不便于求导，则可用导数的估值或差商代替导数，而得出简化的Newton法或近似地Newton法。而且不同的迭代函数会对求解近似根的结果产生不同的影响。迭代次数越高，误差越小。附录1：源程序（填写源程序）1、functionf=f1(x)f=x-(x-exp(-x))/(1+x);end2、functionf=f2(x)f=((x+1)/2)^(1/3);end3、functionf=f3(x)f=2*x^3-1;end4、clearallclct=fzero('x^3-x-1',1.5);T=vpa(t,6)%迭代格式x0=1.5;n=8;x=zeros(1,n);x(1)=(x0+1)^(1/3);fork=1:n-1x(k+1)=(x(k)+1)^(1/3);endvpa(x,6)5、clearallclct=fzero('x*exp(x)-1',0.5);T=vpa(t,5)%迭代格式x0=0.5;n=5;x=zeros(1,n);x(1)=f1(x0);fork=1:n-1x(k+1)=f1(x(k));endvpa(x,5)6、clearallclct=fzero('2*x^3-x-1',0);m=6;T=vpa(t,m)%迭代格式x0=0;n=6;x1=zeros(1,n);x1(1)=f2(x0);fork=1:n-1x1(k+1)=f2(x1(k));endx2=zeros(1,n);x2(1)=f3(x0);fork=1:n-1x2(k+1)=f3(x2(k));endvpa(x1,m)vpa(x2,m)7、clearallclct=fzero('x^3-x-1'