《经济应用数学》(谢金云 )教案 第10课-导数的应用（四）

第课第课导数的应用（四）10PAGE6导数的应用（四）第课导数的应用（四）第课10PAGE7

课题导数的应用（四）——需求弹性与供给弹性、利用MATLAB求函数的极值课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1、掌握边际函数与弹性函数，并掌握计算方法。2、掌握需求弹性与供给弹性，了解其在经济中的应用。3、掌握边际收益与需求弹性的关系。思政育人目标：通过具体的实际案例讲解边际函数和弹性函数的经济意义，使学生体会到数学在经济上的实际应用，增强学生的学习欲望；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：1、边际函数2、弹性函数3、边际收益与需求弹性的关系教学难点：边际收益与需求弹性的关系教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（15min）第2节课：课堂测验（10min）数学实验（12min）课堂小结（5min）教学过程主要教学内容及步骤教学过程第一节课考勤

（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（28min）【教师】讲解边际函数，并用实际案例加深学生的理解在讲解导数的经济意义时，我们介绍了边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数的经济意义．由此可知，若函数可导，则导数在经济应用中称为边际函数，称为函数在处的边际函数值．例1已知某工厂生产某种商品的固定成本为，可变成本为（为产量），最大生产能力为100件．求该厂生产50件商品时的总成本、平均成本和边际成本．解由题意可知，总成本函数为，平均成本函数为，边际成本函数为．所以，当时，总成本为，平均成本为

，边际成本为．【学生】掌握函数的单调性【教师】讲解弹性函数，并用实际案例加深学生的理解设函数在点处可导，若当时，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比的极限（即）存在，则称此极限为在处的相对变化率，也就是相对导数，或称为处的弹性，记作或，它表示在处，当产生1%的变化时，的变化为%．例3求函数的弹性函数，并求其在处的弹性．解由题意得，则．因此，当时，的弹性为．即自变量在处产生1%的变化时，函数的变化为6%．【学生】掌握弹性函数，并通过例题学习函数单调性的用法【教师】讲解需求弹性，并用实际案例加深学生的理解在经济学中，需求弹性分析是对其绝对值进行讨论的，并根据绝对值大小，将需求弹性划分为弹性不足、单位弹性、弹性充足3种情况．令，（1）若，即需求量变动的幅度小于价格变动的幅度，此时称为弹性不足；（2）若，即需求量与价格以同一比例变动，即价格涨跌1%，引起需求量减增1%，此时称为单位弹性；（3）若，即需求量变动的幅度大于价格变动的幅度，此时称为弹性充足．例6设某商品需求函数为，求：（1）需求弹性函数； （2）当时的需求弹性．解（1）由题意得，则需求弹性函数为．（2），即，弹性不足，说明此时价格上涨1%，，弹性充足，说明此时价格上涨1%，需求量下降1.2%．【学生】掌握需求弹性，并通过例题学习函数最值的用法学习边际函数、弹性函数、需求弹性。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（18min）【教师】讲解供给弹性，并用实际案例加深学生的理解类似于需求弹性，下面讨论供给弹性．设供给函数为，其中为价格，为供给量，则供给量在某一价格处的弹性大小为．供给弹性可以衡量供给的相对变化对价格相对变化的反应程度．由于供给函数一般是递增的，所以其在某处的供给弹性是正的，这与需求弹性不同．例7设某商品的供给函数为，求供给弹性函数及时的供给弹性．解由题意得，则，．这说明当价格时，价格上涨（下跌）1%，引起供给量增加（减少）0.82%．【学生】掌握供给弹性，并通过例题学习函数最值的用法【教师】讲解边际收益与需求弹性的关系，并用实际案例加深学生的理解设为收益函数，为需求函数，为价格，则收益函数为，边际收益函数为．考虑到为负数，则需求弹性，所以边际收益函数与需求弹性的关系为．由此可知，当时，，递增，即价格上涨会使总收益增加，价格下跌会使总收益减少；当时，，取得最大值；当时，，递减，即价格上涨会使总收益减少，而价格下跌会使总收益增加．【学生】掌握边际收益与需求弹性的关系，并通过例题学习函数最值的用法掌握供给弹性、边际收益与需求弹性的关系。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（10min）【教师】出几道题目，测试一下大家对所学知识的掌握情况【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象数学实验

（12min）【教师】讲解用MATLAB求函数的极值，并用实际案例加深学生的理解用MATLAB求函数极值的过程，就是使用diff函数求导，用解方程的solve函数求出驻点，再求出驻点的二阶导数值，即可判断函数的极值，具体步骤如下．（1）定义符号变量：symsx．（2）在MATLAB命令行窗口输入函数y．（3）在MATLAB命令行窗口输入程序求函数的一阶导数，格式为f1=diff(y)．（4）在MATLAB命令行窗口输入程序求驻点，格式为x0=solve(f1)．（5）在MATLAB命令行窗口输入程序求函数的二阶导数，格式为f2=diff(f1)．（6）定义二阶导数f2的inline函数，格式为ff=inline(f2)，将驻点x0代入ff，求驻点处的二阶导数，根据二阶导数的符号确定驻点是极大值点还是极小值点．（7）定义函数y的inline函数，格式为f=inline(y)，将驻点x0代入f，输出结果，得到极值．【学生】学会用MATLAB求函数的极值通过讲解与实验，使学生学会使用MATLAB计算数学问题。课堂小结

（5min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了边际函数、弹性函数、需求弹性、供给弹性、边际收益与需求弹性的关系，学会了用MATLAB求函数的极值。课后要多加练习，巩固认知。【学生】总结回顾知识点【教师】布置作业：习题3.4总结知识点，巩固印象