北师大版选择性113直线的方程课件（36张）

1.3直线的方程学习目标1.经过利用斜率公式探索直线的点斜式方程的过程,理解点斜式方程的意义,发展逻辑推理能力.2.能根据两定点的坐标,由直线的点斜式方程推导建立直线的两点式方程,了解两点式方程的意义,提升逻辑推理、直观想象素养.3.通过两点式方程推导出截距式方程,体会一般到特殊的思想方法,掌握截距式方程,提高数学抽象和逻辑推理素养.4.通过从代数的角度认识直线方程的四种不同形式,能抽象出直线方程的一般式,掌握直线不同形式方程的转化,发展数学抽象、直观想象素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究问题1:如果直线l过一点P(x0,y0),并且其斜率为k,则斜率k确定了直线的方向,点P确定了该直线在平面直角坐标系中的位置,直线l为确定的直线,那么直线l上任意一点Q的坐标(x,y)满足一个什么样的方程?以这个方程的解x,y的值为坐标的点(x,y)是否在直线l上?1.直线的方程一般地,如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为直线l的方程.2.直线方程的点斜式经过点P(x0,y0)且斜率为k的直线l的方程为

,该方程称为直线方程的点斜式;如果经过点P(0,b),则l的方程为y=kx+b,其中b为直线l在y轴上的截距,方程

称为直线方程的斜截式.y-y0=k(x-x0)y=kx+b思考1:在平面直角坐标系中,是否任意直线l都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示?当斜率k=0时,直线l的方程具有何种形式?提示:当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程,此时可将方程写成x=特别地,y轴的方程是x=0;当斜率k=0时,直线与x轴平行或重合,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0.问题2:我们知道已知两点也可以确定一条直线,在平面直角坐标系中,给定一个点P0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2),你能否得出直线的方程呢?4.直线方程的一般式关于x,y的二元一次方程

(其中A,B不全为0)表示的是一条直线,称它为直线方程的

.5.直线方程的点法式直线l过点P(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),则直线l的方程为

,这个方程称为直线方程的点法式.Ax+By+C=0一般式A(x-x0)+B(y-y0)=0思考2:比较直线方程五种形式的适用范围分别是什么?做一做:(1)(2021·天津静海区期中)经过点P(-4,3),倾斜角为45°的直线方程是(

)A.x+y+7=0 B.x+y-7=0C.x-y-7=0 D.x-y+7=0解析:(1)因为k=tan45°=1,所以直线方程为y-3=x+4,即x-y+7=0.故选D.D(2)(多选题)(2021·青岛胶州期中)已知直线l:x-my+m-1=0,则下述正确的是(

)A.直线l的斜率可以等于0B.直线l的斜率有可能不存在C.直线l可能过点(2,1)D.若直线l的横纵截距相等,则m=±1BD拓展总结截距与距离的区别截距是一个数可以是正数、负数和零;纵截距是指直线与y轴交点的纵坐标,横截距就是指直线与x轴交点的横坐标;而距离是非负数;如果直线的纵截距、横截距都大于等于零,那么截距就等于直线与坐标轴的交点到原点的距离;易错点是容易忽略截距为零的情况导致错误.师生互动·合作探究探究点一直线方程的点斜式[例1](2021·北京海淀区期中)已知△ABC在第一象限,若A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:(1)边AB所在直线的方程;解:(1)因为A,B两点的纵坐标均为1,所以AB边所在直线的方程为y=1.[例1](2021·北京海淀区期中)已知△ABC在第一象限,若A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程.方法总结直线的点斜式方程、斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在(1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但x=x0除外.(3)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.[针对训练](多选题)(2021·江苏徐州期中)关于直线方程y=kx+2的下列表述正确的有(

)A.是过点(0,2)的所有直线方程B.是过点(0,2)斜率为k的直线方程C.当直线到原点距离最远时,k=0D.当直线在y轴上的截距为2时,斜率k=1解析:对于A,直线方程y=kx+2,不能表示斜率不存在的直线,故A错误;对于B,根据直线方程y=kx+2,可得直线表示过定点(0,2),且斜率为k的直线,故B正确;对于C,易知原点与直线所过定点(0,2)的连线为直线与原点的最远距离,此时k=0,故C正确;对于D,易知直线在y轴上的截距为2时,直线的斜率可以为任意实数,即D错误.故选BC.探究点二直线方程的两点式[例2](1)(多选题)(2021·福建福州期末)下列说法正确的是(

)A.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x+y=a(a∈R)表示B.方程mx+y-2=0(m∈R)表示的直线斜率一定存在C.经过点P(1,2),倾斜角为α的直线方程为y-2=tanα(x-1)(1)解析:A选项,直线x-y=0在两坐标轴上的截距相等,但不能用x+y=a(a∈R)表示,所以A选项错误;B选项,方程mx+y-2=0(m∈R)表示的直线斜率为-m,所以B选项正确.C选项,若α=90°,则直线斜率不存在,直线不能用点斜式表示,故C选项错误.D选项,结合直线方程的两点式可知,D选项正确.故选BD.(2)求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.变式探究1:若将点A的坐标改为“A(-3,-4)”,其他条件不变,又如何求解?变式探究2:若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢?方法总结利用两点式求直线的方程首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下,也可以先应用斜率公式求出斜率,再用点斜式写方程.探究点三直线方程的一般式方法总结求直线一般式方程的策略在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式.[针对训练]若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线.(1)求实数m需满足的条件;(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.探究点四直线方程的点法式[例4]已知直线m的一个方向向量为v=(1,2).(1)求过点A(0,-3)且倾斜角是直线m倾斜角的2倍的直线l1的斜截式方程;解:(2)因为直线l2的一个法向量为v=(1,2),所以直线l2的方程为1×(x-2)+2×(y-3)=0,即x+2y-8=0,所以直线l2的一般式方程为x+2y-8=0.[例4]已知直线m的一个方向向量为v=(1,2).(2)求过点B(2,3)且以直线m的方向向量v=(1,2)为法向量的直线l2的一般式方程.方法总结答案:(1)D(2)经过点(-1,-1)且与直线x+3y+4=0垂直的直线的点法式方程为

.解析:(2)由于直线x+3y+4=0的一个法向量为(1,3),故它的一个方向向量为(3,-1),则经过点(-1,-1)且与直线x+3y+4=0垂直的直线的一个法向量为(3,-1).故所求直线的点法式方程为3(x+1)-1×(y+1)=0,即3(x+1)-(y+1)=0.答案:(2)3(x+1)-(y+1)=01.(2021·天津南开附中期中)经过A(2,1),B(0,-3)两点的直线方程为(

)A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.x-2y-3=0 D.x+2y-3=0当堂检测ABA备用例题[例1](2021·湖北高二期中)已知直线l的倾斜角为45°,且过点(1,2),则在直线上的点是(

)A.(0,1)B.(-2,3)C.(3,3)D.(3,2)解析:直线的斜率k=tan45°=1,方程为y-2=x-1,即y=x