数学分析习作读书报告3

PAGE3云南大学数学分析习作课（3）读书报告题目：拉贝判别法及其推广应用学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学姓名、学号：任课教师：杨汉春时间：2013-2014秋季第十六周

摘要：对于通项收敛比较慢的正项无穷级数，常用于判断级数敛散性的达朗贝尔判别法和柯西判别法就无能为力了。拉贝判别法的判别范围要更广泛些。对于级数求和也是一个比较复杂的问题，通用的求和方法比较少，这里将举例说明拉贝判别法的推广研究能给出一种通用的正项收敛级数和的估值计算方法。关键词：无穷级数；拉贝判别法；求和；一、引言： 达朗贝尔判别法和柯西判别法是判断正项无穷级数敛散性的基本的常用方法，这两个方法是基于把所要判断的级数某一等比级数相比较的想法而得到的。也就是说，只有那些级数的通项趋于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数，这两方法才能鉴定出它的收敛性，如果级数的通项收敛速度较慢，它们就无能为力了。拉贝判别法的判别范围要更广泛些。对于级数求和或和的估值是一个比较复杂的问题，通用的求和方法比较少，拉贝判别法的推广给出一种用该法判定收敛级数满足要求的和的估值的计算方法。拉贝判别法及其研究为了便于叙述，首先给出以下引理：引理1（i）级数当时，发散；当时，收敛.（ii）级数当时，发散；当时，收敛.（iii）级数当时，发散；当时，收敛.引理2（i）；（ii）.引理3设，为正项级数，且存在正数，使得当时，成立，则有（i）若收敛，则也收敛；（ii）若发散，则也发散.由上述的引理可以得到以下的定理1定理1设为正项级数，满足，且，则有（i）若，，则收敛；（ii）若，，则发散.证由条件知，当时，有，且.若令，则，于是，（1）故（i）若，取，则由（1）知，对充分大的，有，由引理1（i）及引理3知，收敛.（ii）若，取，则由（1）知，对充分大的，有，由引理1（i）及引理3知，发散利用定理1，可证明拉贝判别法及其极限形式的等价形式定理A（拉贝判别法）设为正项级数，且存在某自然数及常数（i）若对一切，成立不等式。则级数收敛；（ii）若对一切，成立不等式。则级数发散.证（i）令，则由已知条件知，且.令，，则有，，故由定理1的结论知，级数收敛.（ii）将条件中的分为和两部分来证明（a）若对一切，成立等式，则，故形如（，其中为任意正数）.由引理1（i）及引理3知，发散.（b）若对一切，成立等式，则必存在某常数，使得.令，则，且.令，，则有，，故由定理1的结论知，此时也发散.定理B（拉贝判别法的极限形式的等价形式）设为正项级数，且极限存在，则（i）当时，级数收敛；（ii）当时，级数发散.证注意到当时，，故，即结论成立.注1由上述证明可知，定理1是拉贝判别法的推广.定理2设为正项级数，满足，且，则有（i）若，，则收敛；（ii）若，，则发散.证当时，有，（2）且.若令，则（3）而，故，于是，再由（2），（3）两式，有，则.运用引用1（ii）及引理3，类似于定理1中的证明即可得结论.注2文献[3]中判别正项级数敛散性的一个主要定理如下定理C设是正项级数且满足，则有（i）当时，级数收敛；（ii）当时，级数发散.显然，定理2是上述的定理的改进.事实上，由（2）知，，则,这里令.故（i）若，，则必有；（ii）若，，则只要再假设，就有.小结：正项级数是一类很重要的级数，关于正项级数的敛散性判别方法很多，许多作者对这些已知判别法作了研究与推广，如文献[4]和[5]，其中拉贝判别法在判别的范围上比比式判别法更广泛些，但对如下形式的正项级数，，利用拉贝判别法无法判别其收敛性，所以上述给出的定理就是对这种形式的正项级数给出的判别法。应用例1判定级数的敛散性.解因为，所以达朗贝尔判别法不适用。故，由定理1，有，故此级数当时收敛；当时发散.而当时，原级数为调和级数，显然发散.例2判定级数2的敛散性.

解由于，由定理1，有，故此级数收敛.注3易见此方法较［3］中例１的方法简便例3讨论级数当时的敛散性.解由拉贝判别法证得：当时，该级数发散；当时，该级数收敛.因为当时，，此时拉贝判别法失效，但有定理2，有，其中，故该级数当时发散.注4此例是[1]中的例题，在[1]只对情形进行了判别，而时没有讨论.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].2版.北京：高等教育出版社，1991:17-19.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].