构造三垂直模型,求解构成已知角度的直线解析式

-.z.构造“三垂直〞模型，求解“构成角度的直线〞解析式【例1】如图1，在坐标系中，A〔0，4〕，B〔-2，0〕，OC⊥AB于点C，求OC的表达式。【解析】〔方法一〕直线AB的斜率为2，故直线OC的斜率为-1/2，所以OC解析式为：y=-*/2；〔方法二〕过点C作CD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥CD，交DC延长线于点E〔如图1-1〕。则△BCE∽△DCO∽△ACO∽△ABO∽△BCO，BC∶CO=BE∶CD=BO∶AO=1∶2，设C〔m，2m+4〕，则：2(m+2)

∶(0-m)=1∶2，解得：m=-8/5，∴C〔-8/5，4/5〕，OC解析式：y=[(4/5)/(-8/5)]*=-*/2。方法二构建了“三垂直〞模型，利用比例关系解得点C坐标，再用“两点式〞求解直线解析式，在此题中显得繁杂，但是揭开了解决此类问题的“通用方法〞。【例2】如图2，在坐标系中，A〔-1，0〕，B〔0，-3〕，直线BC交*轴于点C，∠ABC=45

º，求BC的函数表达式。【思路】利用∠ABC=45º构建等腰直角三角形，再构建“三垂直模型〞求出直角顶点坐标。【解析】过点A作AD⊥BC于点D；过点D作DE⊥*轴于点E，过点B作BF⊥ED，交ED延长线于点F〔如图2-1〕。则△ABD为等腰直角三角形，△AED≌△BDF，∴DE=BF，AE=DF；设D〔*，y〕，则：0-y=*，

*+1=y+3，解此方程组，得：*=1，y=-1，∴D〔1，-1〕，直线BC解析式：y=[(-1+3)/(1-0)]*-3，化简得：y=2*-3.【练习1】如图L1，在坐标系中，A〔-1，2〕，B〔5，-1〕，直线AC⊥AB与*轴交于点C，求直线AC的解析式。【提示】用“斜率法〞。【练习2】如图L2，A〔0，1〕，B〔3，0〕，直线BC交y轴于点C，∠ABC=45

º，求BC的函数表达式。【提示】如图L2-1，构建“三垂直模型〞，求出点D坐标。【例3】如图3，A〔-2，-4〕，B〔4，0〕，直线BC交y轴于点C，∠ABC=60º，求BC的函数表达式。【思路】利用特殊角构建直角三角形，再利用三边关系构建“三垂直模型〞。【解析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE∥*轴，过点A作AE⊥DE于点E，过点B作BF⊥ED，交ED延长线于点F〔如图3-1〕。∵∠ABC=60º，∴AD∶DB=√3∶1，易知△ADE∽△BDF，∴ED∶FB=AE∶DF=√3∶1；设D〔*，y〕，则：〔*+2〕∶y=√3∶1，〔y+4〕∶(4-*)=√3∶1，解得：*=5/2-√3，y=3√3/2-1；∴D〔5/2-√3，3√3/2-1〕，∴BC解析式：y=[(3√3/2-1)/(5/2-√3-4)](*-4)，化简得：【练习3】如图L3，A〔0，1〕，B〔3，0〕，直线BC交y轴于点C，∠ABC=30º，求BC的函数表达式。【提示】如图L3-1，构建“三垂直模型〞，求出点D坐标。【例4】如图4，A〔0，-4〕，B〔4，0〕，直线y=-3*和直线AB交于点C，点P是y轴上一点，且∠OCP=3∠OAB，〔1〕求点C的坐标；〔2〕求直线BP的函数表达式。【思路】易知∠OAB=45º，所以∠OCP=135º，∠OCP的邻补角为45º。构建“三垂直模型〞求解点P坐标。【解析】〔1〕略。C〔1，-3〕；〔2〕过点P作PE⊥CP，交OC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，过点C作CG⊥y轴于点G〔如图4-1〕。∵∠OAB=45º，∴∠OCP=135º，∠PCE=∠PEC=45º；易知△PEF≌△PCG，G〔0，-3〕设P〔0，p〕，E〔e，-3e〕，则p+3e=1，-3-p=e，解得：p=-5，∴BP解析式：y=5*/4-5。【备注】也可以如图4-2那样构造“三垂直〞，求得P坐标。【例5】〔综合运用，2018**中考第25题〕在平面直角坐标系中，点O〔0，0〕，点A〔1，0〕。抛物线y=*²+m*-2m(m是常数)，顶点为P。〔1〕当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；〔2〕假设点P在*轴下方，当∠AOP=45º时，求抛物线的解析式；〔3〕无论m取何值，该抛物线都经过定点H。当∠AHP=45º时，求抛物线的解析式。【解析】〔1〕略。解析式：y=*²+*-2，P〔-1/2，9/4〕；〔2〕P〔-m/2，-〔m²+8m〕/4〕，∵P在*轴下方，∴-〔m²+8m〕/4＜0，∴m＞0或m＜-8；∵∠AOP=45º，∴OP解析式：y=-*，∴-〔m²+8m〕/4=m/2，解得m=-10，或m=0〔舍去〕。∴抛物线解析式：y=*²-10*+20；〔3〕易知H〔2，4〕。①当点P在AH下方时，过点A作AB⊥HP于点B，过点B作BC⊥*轴于点C，过点H作HD⊥CB，交CB延长线于点D〔如图5-1〕。则△ABH为等腰直角三角形，△ABC≌△BHD，∴HD=BC，AC=BD；设B〔*，y〕，则D〔*，4〕，C〔*，0〕，故：*-1=4-y，*-2=y，解得：*=7/2，y=3/2，∴B〔7/2，3/2〕，∴直线BH解析式为：y=[(4-3/2)/(2-7/2)](*-2)+4，化简得：y=-5*/3+22/3，∵P在直线HB上，∴-〔m²+8m〕/4=(-m/2)·(-5/3)+22/3，化简得：3m²+34m+88=0，解得：m=-22/3(m=-4舍去)；∴此时抛物线解析式为：y=*²-22*/3+44/3；②当点P在AH上方时，由①知：斜率为3/5，故解析式为：y=(3/5〕(*-2)+4，化简得：y=3*/5+14/5，∵P在直线HB上，∴-〔m²+8m〕/4=(-m/2)·(3/5)+14/5，化简得：3m²+34m+88=0，解得：m=-14/5(m=-4舍去)；∴此时抛物线解析式为：y=*²-14*/5+28/5；综上所述，当∠AHP=45º时，抛物线的解析式为：y=*²-22*/3+44/3；或y=*²-14*/5+28/5。【练习4】如图L4，A〔0，6〕，B〔6，0〕，直线y=3*+3与坐标轴交于点C、D，点P是直线AB上的一点，且∠APC=∠CDB。〔1〕求∠DC