2023学年完整公开课版组合2

复习组合数计算公式

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号表示一、有限制条件的（至少至多）组合问题：例1、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；练习：1、在200件产品中，有2件次品，从中任取5件；（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？（2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？（3）“其中没有次品”的抽法有几种？（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？二、元素交叉问题513AB例2、某出旅行社有9名导游，其中有5人只会英语，3人只会日语，还有1人既会英语又会日语，现从这9人中选出3人会英语，2人会日语，有多少种不同的选法？某歌舞团有7名演员，其中3名会唱歌，2名会跳舞，2名既会唱歌又会跳舞，现在要从7名演员中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，到农村演出，问有多少种选法？练习：232BA例3、平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?练习:(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n边形有多少条对角线？三、几何问题练习：（1）平面内有12个点,有5个点在一条直线上,其余无3点共线，①能连成多少条直线?②能组成多少个三角形?（2）以正方体的顶点为顶点作四面体,共有多少个？(3)以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体,共有多少个?引例：（1）2个不同的苹果平均分成两堆，有几种分法？（2）4个不同的苹果平均分成两堆，有几种分法？（3）3个不同的苹果平均分成三堆，有几种分法？（4）4个不同的苹果分成三堆，有几种分法？平均分给两个人呢？平均分给两个人呢？平均分给三个人呢？分给三个人呢？四、分组（堆）问题：例4：六本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？（1）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份二本，一份三本。（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本。均匀分组问题不均匀分组问题分组问题(分堆的，与次序无关)分配问题(分人的，与次序有关)（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；练习：（1）将四个不同的小球分给甲、乙两人，每人两个，有多少分法？（2）将四个不同的小球分成两组，每组两个，有多少种分法？（3）将四个小球分成两组，一组三个，一组一个，有多少分法？（4）将四个小球分给甲乙两人，一人三个，一人一个，有多少分法？练习:4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放到盒子中（1）共有多少种放法（2）恰有一个盒子不放球共有多少种放法？例5、有10个三好生名额，分配到高三年级6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？变式：有编号为1，2，3的三个盒子，将20个完全相同的小球放在盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号数，则共有多少种不同的分配方案？五、相同元素分配问题（名额问题）隔板法：待分元素相同，去处不同，每处至少一个。六、先组后排例6、从6名男生和4名女生中，选出3名男生和2名女生分别承担A,B,C,D,E五项工作，一共有多少种不同的分配方法？归纳：选排问题先取后排。对于排列组合的混合应用题，一般解法是先取(组合)后排(排列)。练习

6个学生中选出3人，另外从3名教师中选出2人，排成一排照相，有几种不同的排法？变题1、上题中的2名教师不排在一起的排法有几种？变题2、上题中的2名教师连排，而学生也连排，有几种排法？插空法捆绑法例7:身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？

按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题。练习：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法有多少？例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求满足以下条件的各有几种取法？(1)4只鞋子没有成双；(2)4只鞋子恰好成双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双小结：解条件限制下的问题与排列问题类似有二种常用方法，即直接法与间接法；解