角平分线的性质 一等奖

人教版八年级数学(上)11.3.1角平分线的性质（1）ADBCE自学提纲1.角平分仪为什么能平分一个角？P482.如何画一个角的平分线？P484.角的平分线的性质是什么？如何证明？用几何符号如何表示？P496.课本中利用角平分线的性质解决了一个什么实际问题？P493.如何通过作一个平角的平分线得到直线的垂线？5.证明一个几何命题的步骤是什么？P49

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1

再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）情境问题1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE

如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？2、证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE

根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE探究新知活动3NOMCENMAOBCDE尺规作图：作法：1、以____为圆心，___长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C、D两点；2、分别以_____为圆心，__________的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点____；3、作射线_____；_____就是所求作的射线。点O适当C、D超过CD一半EOEOE观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？

Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC(SSS)∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？

3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。活动4ABOCD实践应用(1)探究角平分线的性质

(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动5

(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究角平分线的性质证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定义）在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO（已证）∠1=∠2（已证）

OP=OP（公共边）

∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE活动5(3)验证猜想角平分线上的点到角两边的距离相等。(4)得到角平分线的性质：活动5

利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言）∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等随堂练习BOAC·DPE1.如图，OC是∠AOB的平分线，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）判断：练习2∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。√不必再证全等2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE=

CM.EDCBA4动脑筋3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有

;相等的角有：。⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。EDCBABE=BC,DE=DC∠ABD=∠CBD∠BED=∠AED=∠C6810活动6

如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF实践应用(2)

分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！证明:∵AD平分∠CＡＢ,D是AD上一点（已知）

如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知）在RT△CDF和RT△BDE中

BD=DF（已知）

DC=DE（已证）∴RT△CDF≌RT△FDB(HL)∴CF＝BＥ（全等三角形对应边相等）ACDEBF∴DC＝DＥ(角平分线的性质）回味无穷2.定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分