二元一次不等式(组)与平面区域及简单的线性规划(使用)

3.3二元一次不等式(组)

与

平面区域及简单的线性规划一、引例：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲两种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？A种原料B种原料利润甲种产品4122乙种产品1

91现有库存10

60

在关数据列表如下：设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y利润何时达到最大？二元一次不等式表示的平面区域Oxy

在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1=0}是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1>0}是什么图形?11x+y-1=0结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。x+y-1>0x+y-1<0二元一次不等式表示平面区域例1

画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。Oxy36注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界2x+y-6=0二元一次不等式表示平面区域例2

画出不等式组

表示的平面区域。Oxy35x-y+5=0x+y=0x=3二元一次不等式表示平面区域练习:

画出不等式组

表示的平面区域。(1)例3：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：(2)1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo2.作出下列不等式组的所表示的平面区域55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy问题1：x有无最大（小）值？问题2：y

有无最大（小）值？问题3：2x+y有无最大（小）值？二.提出问题把上面两个问题综合起来:设z=2x+y,求满足时,z的最大值和最小值.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC:(1.00,4.40)A:(5.00,2.00)B:(1.00,1.00)Oxy直线L越往右平移,t随之增大.以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。

目标函数（线性目标函数）线性约束条件任何一个满足不等式组的（x,y）可行解可行域所有的最优解线性规划问题线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；

可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)线性规划练习1:

解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.线性规划例2

解下列线性规划问题：求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：x+3y=0300x+900y=0300x+900y=112500答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.练习2、已知求z=3x+5y的最大值和最小值。551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)解线性规划问题的步骤：

（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（3）求：通过解方程组求出最优解；

（4）答：作出答案。

（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；几个结论：1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义

——在y轴上的截距或其相反数。练习3解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。线性规划线性规划练习4

解下列线性规划问题：求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下列条件：3x+y=03x+y=29答案：当x=9,y=2时，z=3x+y有最大值29.线性规划的实际应用

例1

某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?产品资源甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）600900

例1某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?