机械控制工程2-1控制系统的时域数学模型

第一节时域数学模型

—微分方程第二章控制系统的数学模型整理ppt第一节控制系统的时域数学模型项目内容教学目的

如何从实际的物理系统过渡到数学系统，理解物理系统、控制系统、数学系统三者的统一；如何建立控制系统的时域数学模型。教学重点

如何建立控制系统的时域数学模型。教学难点及其处理

关于数学模型的一些基本概念。从简单到复杂，逐步分层次讲解。整理ppt数学模型的基本概念数学、工程、控制三者的统一中学时的函数概念：在电路的学习中对函数概念的理解：自动控制系统对函数概念的理解：研究对象的复杂程度加深一引言整理ppt同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式发生了变化：中学时的函数是一个纯数学的概念；在电路和控制系统中增加了人的因素。可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，可以通过机械工程控制基础课程把数学、机械工程、控制三者联系统一起来。学习机械工程控制基础的思维方式：数学的方法，机械工程的意识，控制的语言。整理ppt数学模型的定义：能够描述控制系统输出量和输入量数量关系的表达形式。实际物理系统理想化物理模型数学化数学模型线性化线性数学模型无量纲化可用数学模型标准化标准数学模型整理ppt按输入输出的表达形式数学模型的分类微分方程（时间域）传递函数（复数域）动态结构图（各元件传函的连接关系）响应曲线（step、pulse）频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）状态变量形式

整理ppt分析法:是根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构已知的常用此法。试验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。数学模型建立（建模）的方法整理ppt

无论是用分析法还是用实验法建立模型，都存在模型精度和复杂性之间的矛盾。即描述系统运动特性的数学模型越精确，则方程的阶次越高，对系统的分析与设计越困难。所以，在控制工程上总是在满足分析精度要求的前提下，尽量使数学模型简单，为此在建立数学模型时常做许多假设和简化，最后得到的是有一定精度的近似模型。这点与其他课程不同。整理ppt单输入单输出线性定常集中参数连续系统微分方程的一般形式为：式中，c(t)是输出量；r(t)是输入量。为了所表示系统的可实现性，一般限定。

微分方程的一般形式二时域数学模型-微分方程整理ppt建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量；2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；4、标准化。整理ppt

例1对下图RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。电气系统整理ppt(1)由KVL，得又因为(2)消去中间变量i(t)(3)标准化解：整理ppt

例2对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。整理ppt对L1，由KVL得对L2，由KVL得列出各元件的输入变量和输出变量的关系式R1：R2：C1：C2：解：整理ppt或式中：整理ppt提醒注意上题中如果把第一级电路的输出看作是第二级电路的输入，直接利用例1的结论，可列方程如下：消去中间变量uc1(t)，得：原因：后级电路的电流i2影响前级电路的输出电压uc1(t)。负载效应整理ppt机械系统

弹簧—质量—阻尼器系统图2-1表示一个弹簧—质量—阻尼器系统。当外力f(t)作用时，系统产生位移y(t)，要求写出系统在外力f(t)作用下的运动方程式。f(t)是系统的输入，y(t)是系统的输出。列出的步骤如下：（1）运动部件质量用M表示.（2）列出原始方程式。根据牛顿第二定律，有：图2-1弹簧—质量—阻尼器系统整理ppt（3）f1(t)和f2(t)为中间变量，找出它们与其它因素的关系。阻尼器阻力与运动方向相反，与运动速度成正比，故有：式中f1(t)——阻尼器阻力；f2(t)——弹簧力。

(2.2)

式中B——阻尼系数。设弹簧为线性弹簧，则有：

f2(t)=Ky(t)(2.3)式中K——弹性系数。(2.1)

整理ppt

（4）将式(2.2)和式(2.3)代入式(2.1)，得系统的微分方程式:

式中M、B、K均为常数，此机械位移系统为线性定常系统。式(2.4)还可写成:

(2.4)(2.4a)则有

(2.4b)令整理ppt机械力学系统的数学模型：相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。提醒注意两级滤波电路网络的数学模型：相似系统整理ppt

例图示为电枢控制式直流电机原理图，设为电枢两端的控制电压，为电机旋转角速度，为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下，为给定输入，为干扰输入，为输出。系统中ed为电动机旋转时电枢两端的反电势；为电动机的电枢电流；为电动机的电磁力矩。

机电系统微分方程：整理ppt(1)输入变量为电压；输出变量为电机旋转角速度;中间变量;(2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时，与转速成正比，即式中，为反电势常数。这样（2.1.5）式为根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为(2.1.5)(2.1.6)(2.1.7)整理ppt

式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即式中，km为电动机电磁力矩常数（3）消除中间变量将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得令，则上式为

式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速ω既由ua控制，又受ML影响。(2.1.8)(2.1.9)

(2.1.10)

(2.1.11)整理ppt二．微分方程的增量化表示

前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。(1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：此时，对应输入输出量可表示为：

则有这就是系统的稳态。

（2.1.12）

（2.1.13）整理ppt

（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：则式（2.1.11）可记为：考虑到，上式可变为2.14式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。

(2.1.14)整理ppt三．非线性微分方程的线性化某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。图2.1.3是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。整理ppt

(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量(2)按照液压原理建立动力学方程负载动力学方程为流量连续性方程为q与p一般为非线性关系

(2.1.15)

(2.1.16)(2.1.17)整理ppt（3）线性化处理将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有：式中则(2.18)可以写成

当系统在预定工作条件，，下工作即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为(2.1.18)

(2.1.19)

(2.1.20)整理ppt

（4）消除中间变量由(2.20)可得

整理后可得线性化后的动力学方程为：(2.1.21)(2.1.22)整理ppt

图2.1.4q,p,x三者线性关系整理ppt

小偏差线性化时要注意以下几点：（1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零

（2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。（3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。（4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。整理ppt建立系统(或元件)的微分方程的一般步骤1、根据系统(或元件)的工作原理，确定其输入量和输出量；2、按照系统中元件所遵循的科学规律(物理或化学定律等)，围绕输入量、输出量及有关中间量，列写原始方程式，构成微分方程组；3、消去中间变量，得到只含有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程；4、标准化。小结