基于反步设计法的驱动-响应系统投影同步研究

基于反步设计法的驱动-响应系统投影同步研究

自cora和cora开始研究基于混合系统的同步性质以来，混合系统的同步性质在非线性研究中引起了新的研究趋势。现有的文献中,对混沌系统的同步现象研究大致在以下几个方面:混沌系统完全(精确)同步(CS),混沌系统相同步(PS),混沌系统互同步(MutualSynchronization)(包括相同混沌振子的互同步,互相耦合的不同混沌系统间的混沌互同步等),广义混沌同步(GS),混沌系统延迟同步(LS)等。1999年,Mainieri等人在研究部分线性混沌系统中观察到一种新的同步现象——投影同步,Xu等人通过对偶合驱动——响应系统中的响应系统加入控制项实现了非部分线性系统的投影同步,从而突破了投影同步只局限于部分线性系统的界限。最近Li通过反步设计法实现了Henon混沌系统的投影同步。本文对Lorenz系统和最新提出的超L¨u混沌系统的耦合驱动——响应系统中的响应系统加入控制项v,通过变换把耦合驱动——响应系统的误差系统转化为反步形式,然后采用反步设计法并结合Lyapunov稳定性理论实现了驱动——响应系统之间的投影同步,其中在Lorenz系统投影同步中只用到了一个控制器。这样控制后可以使驱动响应系统按照任意给定的尺度因子演化。理论分析和数值仿真证实了该方法的有效性。1驱动响应子系统控制器投影同步是指驱动响应系统按照一个尺度因子α演化,即系统的对应分量成比例。依如下形式定义投影同步:考虑如下形式的混沌系统{˙xm=f(xm)˙xs=g(xm‚xs)+v(1)其中xm=(x1m‚x2m‚⋯xnm)‚xs=(x1s‚x2s‚⋯xns)‚f:Rn→Rn,g:R2n→Rn‚v=(v1‚v2‚⋯vn)是设计的控制器,下标“m”和“s”分别代表驱动响应系统。若存在常数α(α≠0)使得limt→∞|xm-αxs|=02基于非线性动力系统的laapunov误差同步算法1963年美国著名气象学家E.N.Lorenz在一个三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子,这就是著名的Lorenz系统。这是迄今为止人们得到最为深入最为广泛的混沌系统之一,该系统可以描述为:{˙x=a(y-x)˙y=cx-xz-y˙z=xy-bz其中a,b,c为常数。当a=10,b=8/3,c=28时系统为混沌状态。依如下形式耦合Lorenz系统:{˙xm=a(ym-xm)˙ym=cxm-xmz-ym˙z=xmym-bz˙xs=a(ys-xs)˙ys=cxs-xsz-ys+v根据投影同步的定义作误差系统:e1=xm-αxs,e2=ym-αys则相应的误差动力学方程:˙e1=ae2-ae1,˙e2=ce1-ze1-e2-αv用反步法逐步设计误差的Lyapunov函数,设z1=e1则˙z1=ae2-az1把e2看成输入设计反馈控制e2=φ(z1)来稳定原点z1=0,构造关于z1的Lyapunov函数V1=12z21,对V1求导得˙V1=z1˙z1=z1(aφ1(z1)-az1),为使z1在原点稳定,选择φ(z1)=0,得到˙V1=z1˙z1=-az21负定∀z1∈R从而˙z1=-az1的原点是全局指数稳定的。为运用反步法,应用变量代换:z2=e2-φ(z1)=e2系统的形式转化为˙z1=az2-az1˙z2=cz1-zz1-z2-αv取V=V1+12z22作为复合Lyapunov函数得˙V=-az12+z2(az1+cz1-zz1-z2-αv)为使得(z1‚z2)系统在原点稳定,取v=1α(a-z+c)z1得到V˙=-az12-z22负定由Lyapunov稳定性理论知原系统的误差一致趋于零,即得到Lorenz系统达到了投影同步,且原来耦合混沌系统的驱动——响应系统按照尺度因子α演化。下面的数值仿真实验图1、图2说明了这种方法的有效性。图1(a)Lorenz系统的投影同步图仿真中参数选择:a=10,b=8/3,c=28,α=3图1(b)Lorenz系统的投影同步图仿真中参数选择:a=10,b=8/3,c=28,α=-3其中状态分量误差:e1=xm-αxs,e2=ym-αys3lyapunov稳定性原则Lu¨混沌系统的投影同步超混沌系统是指系统状态方程必须满足两个条件:(1)状态方程的维数至少是四维而且阶数至少是二阶;(2)原系统至少有两个正的Lyapunov指数且所有Lyapunov指数之和要小于零。超Lu¨混沌系统的动力学方程为{x˙=a(y-x)+uy˙=-xz+cyz˙=xy-bzu˙=xz+du其中a,b,c是与Lu¨系统中相同的常数,d是控制参数,当a=36,b=3,c=20,d=1.3时系统表现出超混沌。依如下形式耦合超Lu¨系统:{x˙m=a(ym-xm)+uy˙m=-xmzm+cymz˙m=xmym-bzmu˙=xmzm+dux˙s=a(ys-xs)+u+v1y˙s=-xszs+cys+v2z˙s=xsys-bzs+v3根据投影同步的定义作误差系统:e1=xm-αxse2=ym-αyse3=zm-αzs用反步法逐步设计结合Lyapunov函数得到:v1=(1-αα)u;v2=1α(az1-αzs(xm-xs)+(c+1)z2);v3=1α((1-b)z3-αxsys+xmym-xmz2)V˙=-az12-z22-z32负定(其中V=(z12+z22+z32)/2)由Lyapunov稳定性理论知(z1‚z2‚z3)系统的原点也是误差系统(e1‚e2‚e3)的原点是全局指数稳定的,从而得到超Lu¨系统达到了投影同步,且原来耦合混沌系统的驱动——响应系统按照尺度因子α演化。下面的数值仿真实验(如图3、图4所示)说明了这种方法的有效性。图3(a)超Lu¨系统的投影同步图仿真中参数选a=36‚b=3‚c=20‚d=1.3‚α=15。图3(b)为(a)在各个相平面上的投影。其中状态分量误差系统e1=xm-αxs;e2=ym-αys;e3=zm-αzs本文对Lorenz系统和最新