【研究生应用数学基础】1.集合论与映射

应用数学基础本课程原是为数学基础要求较高的力学专业硕士研究生开设的。它包括下列四门课程（共120学时）：泛函分析矩阵论计算方法数理方程1整理ppt本人给诸位介绍：泛函分析（FuctionalAnalysis),矩阵论（50学时）和数理方程（35学时）三门课，共

85学时。矩阵论是介于古典数学与现代数学之间的学科，泛函分析属于现代数学的范畴。2整理ppt应用数学基础（一）第一章集合上的数学结构（抽象数学空间）第二章线性有界算子

第三章矩阵的相似标准形第四章矩阵分析3整理ppt第一章集合上的数学结构

（抽象数学空间）1.集合与映射2.线性空间3.度量空间4.线性赋范空间5.内积空间4整理ppt第一章集合上的数学结构（抽象空间）德国数学家Cantor.G(1845-1918)被认为是集合论的创始人。集合论的创立标志着数学发展进入现代数学阶段。现代数学是在集合上进行几何学、代数学和分析学的研究。5整理ppt从形式上看，现代数学是把经典数学的成果搬到集合上，其实质是数学发展到更高的阶段。为了在集合上建设现代数学的大厦，首先应在集合上建立基本的数学结构，即代数结构、几何结构和分析结构。这一章首先介绍集合与映射。映射是集合上较一般的代数结构。在集合上赋予不同的数学结构，可得到不同的抽象空间。在集合上赋予“度量”几何结构，得到度量空间；在集合上赋予“加法”和“数乘”代数运算，得到线性空间；在集合上赋予“范数”和“内积”几何结构，分别得到线性赋范空间和内积空间。6整理ppt第一章集合上的数学结构1.集合与映射一、集合的基本概念二、集合的运算三、集合的直积四、映射五、可数集合六、实数集合的上（下）确界7整理ppt一、集合的基本概念集合的定义集合的两种表示法：列举元素法和描述法一些常用的集合一些特殊的集合及性质：空集，全集E，子集，真子集、集合的相等集合的幂集8整理ppt

一、集合的基本概念1.集合的定义数学家认为，所有的数学都可用集合来表示。德国数学家Cantor.G(1845-1918)被认为是集合论的创始人，他给集合下的朴素定义是：

具有某种属性的事物的全体构成一个集合.构成集合的每一个事物称为该集合的元素。因此根据所给予的属性，总能判断任一事物是否属于某个集合。用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。若x是集合S的元素，则记作xS，否则xS。9整理ppt

元素个数有限的集合称为有限集，否则称为无限集。若A为有限集,A的元素个数记作|A|。2.集合的两种表示法：列举元素法，即将集合中的元素用花括号括起来以表示集合，如

S={a，b，c}表示S是由a，b，c三个元素组成的集合。在能用看出书写规律时可用删节号，如小于50的正整数集合可表为

B={1，2，3，…，49}自然数集合

N={1，2，3，…}10整理ppt

设P(x)是一个与x有关的条件，凡符合这个条件的所有元素x组成的集合S可表为

S={x|P(x)}3.一些常用的集合下面是一些集合的记号，今后会经常遇到它们：

N={1,2,3,…}(自然数集）

Z={0,±1,±2,…}（整数集）

Q={x|x为有理数}（有理数集）

Q*={xQ|x0}(去零有理数集）

R={x|<x<}(实数集）

R+={xR|x>0}(正实数集）描述法。11整理pptR*={xR|x0}(去零实数集）C*={zC|z0}（去零复数集）Rn={(x1,x2,…,xn)T|xiR,1≤i≤n}(n维欧氏空间）Cn={(z1,z2,…,zn)T|ziC,1≤i≤n}(n维酉空间）Rn×n={(aij)n|aijR}(n阶实矩阵集）Cn×n={(aij)n|aijC}(n阶复矩阵集）C[a,b]={f|f为[a,b]上连续函数}（区间[a,b]上连续函数空间）12整理ppt13整理ppt4.一些特殊的集合及性定义1.1

没有元素的集合称为空集,记作

;

包含所有元素的集合称为全集,记作E.

即:x,xE:x,xE设A,B是集合.如果xA有xB,则称A包含于B,记作AB,或称A是B的子集.。即AB：xAxBxBxA.定理1.1

设E为全集，A，B，C为集合。则有（1）AE（2）AA（3）A（4）若AB，BC，则AC。14整理ppt证明：（1）

xA，必有xE。（2）

xA，必有xA。（3）xAx。（4）

xA有xB，从而xC。定义1.2

设A，B为集合AB且BA，则称A与B相等，记作A=B。即A=B：AB且BA。定义1.3

设A，B为集合，若AB且AB

（存在bB,bA)，则称A为B的真子集，记AB。ABb

15整理ppt几点注意：（1）一个集合可作为另一个集合的元素。如{a}是以a为元素的集合；

{{a}}是以{a}为元素的集合。（2）集合中元素的排列次序无关紧要。如

{a，b，c}={a，c，b}={b，a，c}（3）每个元素在集合中只出现一次。有

{a，a，a，b}={a，b}5.集合的幂集定义1.4

给定集合A，以A的所有子集为元素的集合称为A的幂集,记作P（A），或2A

。16整理ppt如A={a,b,c},则

P(A)=2A={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.17整理ppt二、集合的运算集合的并、交、差、补、对称运算的定义集合的并的运算律集合的交的运算律18整理ppt定义1.5

设A，B为集合。（1）A与B的并为

AB={x|xA或xB}（2）A与B的交

AB={x|xA且xB}（3）A与B的差为

A-B={x|xA且xB}二、集合的运算19整理ppt（4)A的补集

A={x|xA}(5)A与B的对称差

AB=（A-B）∪（B-A）集合的并、交、差、补和对称差运算可用文氏图表示。

ABAB20整理pptA–BAAB21整理ppt并集和交集的定义可推广到任意多个集合，甚至无限多个集合的情况。设A1，A2，…，An,

是集合。22整理ppt定理1.2

设A,B,C为集合,则有

(1)AB=BA,AB=BA（交换律）

(2)(AB)C=A(BC)（结合律）

(AB)C=A(BC)（结合律）

(3)(AB)C=(AC)(BC)（分配律）

(AB)C=(AC)(BC)（分配律）23整理ppt证明：（1）xAB，则xA,或xB，即xB或xA；所以ABBA。同理可证：BAAB。所以AB=BA。（2）

x(AB)C，即xAB或xC，即xA或xB或xC，从而xA或xBC，即

xA(BC)，即(AB)CA(BC)，同理A(BC)(AB)C,因此（AB）CA（BC）24整理ppt（3）类似。定理1.3

设A，B为集合，则有（1）AA=A，AA=A(幂等律)(2)AA,AE=E,A=,AE=A;(3)A(AB)=A,A(AB)=A(吸收律）证明：（1）显然AAA，而xAA，则xA或xA,即xA从而AAA，因此A=AA。25整理ppt（2）显然AA，而xA,则xA或x,但x，所以xA,从而AA因此，A=A。（3)左=A(AB)=(AA)(AB)=A(AB)=A=右所以，左=右26整理ppt定理1.4

设A，B，C，D为集合，则有（1）A-BA，A-=A，A-A=

（2）AAB，ABA

（3）A-B=AB

（4）E=，=E，（A）=A

（5）AA=E，AA=

（6）（AB）=AB

（AB）=AB

（7）A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)

27整理ppt三、集合的直积集合直积的定义28整理ppt

三、集合的直积定义1.5

设A,B为集合,aA,bB,(a,b)表示一个有次序的元素对，简称序对，其中a称为第一个元素，b称为第二个元素。所有A中的元素及B中元素构成的序对全体组成的集合称为A与B的直积，记作A×B，即

A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}(a1,b1)=(a2,b2):a1=a2,b1=b2当A和B中有一个为空集时，规定A×B=29整理ppt例如，A={1，2}，B={a,b,c},则A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}B×A={(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2)}当A=B=R时，A×B=R2是坐标平面上点的集合。类似可定义n个集合A1，A2，…，An的直积，即A1×A2×…×An={(a1,a2,…,an)|ai∈Ai,1≤i≤n}当A1=A2=…=An=A时，A1×A2×…×An记作An。30整理ppt四、映射映射的定义（函数、变换、泛函）单射、满射、双射的定义逆映射与复合映射31整理ppt(一）映射映射是现代数学的基本概念和研究对象。它是函数的推广，它是集合上一种较一般的代数结构。定义1.6

设A，B是两个非空集合。如果存在一种对应规则f，使得

xA有唯一的yB与之对应，则称f是A到B的映射或算子，记作

f：AB。集合A称为f的定义域，记作D(f)，集合B称为映射f的值域，记作E(f).32整理ppt设A1A，f(A1)={f(x)|x∈A1}称为集合A1在映射f下的象。设ＯＢ。称

f-1(O)={xA|f(x)O}为集合O的原象。集合GR(f)={(a,f(a))|aA}称为f的图象。

aA,f(a)称为a的象，a称为f(a)的原象。对于y∈B,

如果xA映为yB,则记作y=f(x),或集合R(f)={f(a)|aA}称为f的象集。33整理ppt记AB的映射之全体为AB。例1.1f={(x,y)RR|y=x²}是RR的函数.例1.2I={(x,x)|xA}为恒同映射.例1.3

A=B=Rn,y=Tx是线性变换(T是n×n矩阵）例1.4T：C[a,b]R是C[a,b]上的泛函。称为y在映射f下的原象。如果A=[a,b],B=R,则映射f:AB称为函数。映射f：AR称为泛函。映射f：AA称为变换。34整理ppt定义1.7

设f:AB是映射。如果bB必存在aA使f(a)=b，则称f是满射（B=R（f））；如果

bR(f)，存在唯一的aA使f(a)=b，则称f是单射；如果映射f既是满射又是单射，则称f是双射。例如，y=fi(x)=x2(i=1,2,3,4)f1:RR不是单射，也不是满射；f2:RR+{0}是满射，但不是单射；f3:R+R是单射，但不是满射；f4:R+R+是双射。35整理ppt例1.5

设A为非空集合，映射I：A→B定义为

I(x)=x(x∈A)称此映射为恒同映射。映射f:A→B定义为：

x∈Af(x)=y0(y0∈B)称此为常值映射。36整理ppt定义1.8

设映射f:AB是单射,则xR(f),存在唯一的y∈A,使x=f(y),这种对应规则记作f-1，即是R(f)A是映射,称之为f的逆映射。即y=f-1(x)：x=f(y).定义1.9

设f:AB是映射且XA，若对应规则仍为f,但定义域限制在X上，则仍为X→B的映射，称之为f在X上的限制，记作f|X，而f是f|X的扩张。定义1.10

设f:AB和g:BC都是映射，f与g的复合f

g定义曾AC的映射，即（g

f)(x)=g(f(x))(xA)37整理ppt例如,设f:RR,f(x)=x2;g:RR,g(x)=1+x，则（g

f)(x)=g(f(x))=1+x2(f

g)(x)=f(g(x))=(1+x)2

复合映射是一种运算。一般，f·gg·f.定理1.5设f:AB是映射,XA,YA,DB,FB,则有

(1)f(XY)=f(X)f(Y);(2)f(XY)f(X)f(Y);(3)f-1(DF)=f-1(D)f-1(F);38整理ppt（4）f-1(DF)=f-1(D)f-1(F)(5)f-1(B-D)=f-1(B)-f-1(D).证明：（1）先证f(X∪Y)f(X)∪f(Y),yf(XY),xXY,使y=f(x),即x∈X或x∈Y,y=f(x),当x∈X时，y=f(x)∈f(X),y=f(x)∈f(X)∪f(Y),同样，当x∈Y时，y=f(x)∈f(X)∪f(Y).再证：f(X)∪f(Y)f(X∪Y).39整理ppt40整理ppt定理1.6

对于映射f:A→B和g:B→C,下列结论成立：（1）

EA，FB，有

Ef–1(f(E)),f(f

–1(F))Ff

–1(～F)=～(f

–1(F))当f为满射时，f(f

–1(F))=F；当f为单射时，

f–1(f(E))=E；（2）对于A

A（D）及B

B（D），有41整理ppt（3）若f是双射，则f

–1也是双射，且f-1·f和f·f

–1分别是A和B上的恒同映射；（4）若f和g都是满射，则g·f是满射；若f和g都是单射，则g·f是单射；若f和g都是双射，则g·f是双射。证明:当f为单射时，42整理pptEf–1(f(E))f(f

–1(F))F如果f不是满射，则f(f

–1(F))=F不能成立。因为，存在y0∈F,而不存在x0∈A,使y0=f(x0).（1）来证：f

–1(～F)=～(f

–1(F))43整理ppt先证:f

–1(～F)～(f

–1(F)).xf

–1(～F),y∈～F,使f-1(y)=x,yF,y=f(x)∈～F,∴x～f

–1(F)因此，f

–1(～F)～(f

–1(F))再证：～(f

–1(F))f

–1(～F)。

x(f-1(F))xf-1(F)y=f(x)Fy=f(x)∈～Fx∈～(f

–1(F))∴～(f

–1(F))f

–1(～F)。44整理ppt最后得f

–1(～F)=～(f

–1(F))当f为满射时，来证：f(f

–1(F))=F，只要证

Ff(f

–1(F))。

yF,由于f为满射，所以，存在x∈A,使y=f(x),从而，x∈f-1(F),∴y=f(x)∈f(f-1(F))即得Ff(f

–1(F))。因此，当f为满射时，f(f

–1(F))=F。当f为单射时，要证：f–1(f(E))=E。45整理ppt由于Ef–1(f(E))，只要证

f–1(f(E))E。

xf–1(f(E))f(x)∈f(E),由于f为单射，x∈E,因此

f–1(f(E))E。从而f–1(f(E))=E。

46整理ppt同样可证：因此，47整理ppt再证：48整理ppt同样可证：49整理ppt50整理ppt同样可证：当f为单射时，来证：51整理ppt（3）设f:A→B是双射，则它是满射且单射。于是R(f)=B.52整理ppt53整理ppt从而，54整理ppt五、可数集合两个集合等势的概念可数集合的定义可数集合的性质有理数集Q是可数集合55整理ppt

五、可数集合定义1.13

设A,B是两个集合.如果存在A与B之间的双射f:AB,则称A与B等势或具有相同的基数,记作A

B.集合A的势记作Card(A).规定：

Card()=0;Card(A)=n(当|A|=n时)例如,自然数集N与非负偶数集M是等势的,实际上，可定义双射

f:NM,f(n)=2n-2(nN)。又如,R+与集合S=(0,1)是等势的.实际上,可定义双射f:R+S56整理ppt定义1.14

如果集合A与自然数集N等势（A～N)，则称A为可数集.可数集的势用

0表示,读作“阿列夫零”.所以,Card(N)=0,对于可数集A,必存在双射f:NA,从而A的元素可以排列起来，即

f(1),f(2),…….定理1.6

任何一个无限集必包含一个可数子集。57整理ppt证明：设A是一个无限集。取a1A,由于A是无限集，可取a2A-{a1}.同样，A-{a1,a2}非空，可取a3A-{a1,a2}.这样继续下去，得到可数集{a1,a2,…}A。定理1.7

可数集的任一子集,若不是有限集,必为可数集.证明:

设A为可数集，它的元素可编排列起来

a1,a2,…,an,…58整理ppt设B为A的非空子集。显然，B中元素是上述序列的一个子序列，即指标n1,n2,…,nk,…中如有最大数，则B为有限集，否则，B为可数集。定理1.8

若A是可数集，B是有限集，并且AB=，则AB是可数集。（0+n=0)证明：因为A是可数集，可设

A={a1,a2,…,an,…}。设B={b1,b2,…,bn}，则59整理pptAB={b1,b2,…,bn,a1,a2,…,an,…}。这个定理中的条件AB=可去掉。定理1.9

若A，B都是可数集，且AB=，则AB是可数集。（0+0=0）证明：可设

A={a1,a2,…,an,…}B={b1,b2,…,bn,…},则有

AB={a1,b1,a2,b2,…,an,bn,…}定理中的条件AB=可去掉。60整理ppt定理1.