高三数学总复习-函数的周期性

周期性对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

，那么f(x)就叫做周期函数.

叫做这个函数的周期.

也是f(x)的周期，即有

.f(x+kT)=f(x)f(x+T)=f(x)TkT(k∈Z,k≠0)第四课时函数的周期性根据定义，若f(x)为周期函数，且f(x1)=f(x2)，则它的一个周期T=|x1-x2|整理pptA定义法整理ppt【变式练习2】已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点，且f(x＋2)＝f(x＋6)，求f(2012)的值．

【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2，则f(u)＝f(u＋4)，所以函数f(x)的周期为3.依题意，f(0)＝0，且2012＝503×4，所以f(2012)＝f(0)＝0.换元法定义法整理ppt【学生展示1】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),求f(2012)的值.【解释】∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2).∴f(x+4)=f(x).∴f(x)是周期函数，周期为4.∴f(2012)=f(4×503)=f(0).又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0.∴f(2012)=0.整理ppt【变式题：】已知定义在R上的奇函数f(x)满足,求f(2012)的值.整理ppt【学生展示2】定义在R上的函数y=f(x)，满足f(x+1)+f(x)=0，且在区间[-1，0]上单调递增，设a=f()，b=f(2)，c=f(3)，则()c＜a＜b

B.

b＜c＜a

C.

c＜b＜a

D.

a＜b＜c【答案】A

f(x)是周期为2的周期函数.∴a=f()=f(-2)，

b=f(2)=f(0),c=f(3)=f(-1).又f(x)在区间［-1，0］上单调递增,∴c＜a＜b.整理ppt注意结论特征：自变量x前的系数同号。否则不成立。整理ppt1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（-x+2）+f(x)=0,则f(x)是()A.常函数B.偶函数C.周期为2的周期函数D.周期为1的周期函数【解析】∵f(-x+2)=-f(x)=f(-x),∴f(x+2)=f(x),∴选C.【答案】C

整理ppt

1考点函数周期性的判断及其应用【名师示范1】函数f（x）的定义域为R，且f(x)与f(x+1）都是奇函数，则f(x)的周期是

.分析求周期即求满足f（x+T）=f(x)的T值.(定义法)∵f(x)及f(x+1)都是奇函数，∴f(-x)=-f(x)①f(-x+1)=-f(x+1)②由②得f[-(x-1)]=-f(x-1)=-f(x+1),即f(x-1)=f(x+1)③∴f（x）的周期为2.2

（换元法）∵f(x)及f(x+1)都是奇函数，∴f(-x)=-f(x)①f(-x+1)=-f(x+1)②设t=-x+1,则x=1-t由②得f(t)=-f(2-t),即f(-t)=f(2-t)③∴f（x）的周期为2.整理ppt0.3整理ppt【名师示范2】（2009山东）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2009)的值为（）A.-1B.0C.1D.2log2(1-x),x≤0,

f(x-1)-f(x-2),x>0由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2009)=f(5)=1,故选C.【答案】C

f(2009)=f(2008)-f(2007)=f(2007)-f(2006)-

f(2007)=-f(2006)=-

f(2005)+f(2004)=-

f(2004)+f(2003)+f(2004)=f(2003)所以函数f(x)的周期为6，所以f(2009)=f(-1)=1,整理ppt-2整理ppt3.已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)=0在［-2,2］上至少有

个实数根【答案】5

整理ppt（2010安徽）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2,则f(3)-f(4