2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列说法不一定成立的是（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b3．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为x＝2，则a的值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．24．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则m的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．05．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点O，且垂直于地面于点C，OC＝0.60m．当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（）A．0.60m B．1.00m C．1.10m D．1.20m6．（3分）反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠C＜90°，第一步他应先假设（）成立．A．∠C＜90° B．AB≠AC C．∠C≥90° D．AB≠AC且∠C≥90°7．（3分）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（）A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n） C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）8．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形9．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm．沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为（）A．18cm B．20cm C．24cm D．28cm二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）请写出一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是4a2．符合要求的多项式可以是．13．（3分）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则∠CEB'＝．14．（3分）如图所示，若正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），下面四个结论中：①当x＞0时，y1＞0；②当y2＞5时，x＜0；③不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2；其中正确的是．（填写序号）15．（3分）乐乐在学习中遇到了这样的问题：如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是．三、解答题（本大题共7小题，共75分）16．（8分）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解不等式：解：3（x+5）﹣6≤2（3x+2）……第一步3x+15﹣6≤6x+4……第二步3x﹣6x≤4+6﹣15……第三步﹣3x≤﹣5……第四步x≤……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据进行变形的．②第步出现错误，这一步错误的原因是．任务二：请直接写出该不等式的正确解集．任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．17．（9分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，请从﹣1，0，1，2选取一个适当的数代入求值．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，再绕点B1顺时针方向旋转90度得到△A2B1C2．（1）分别在图中画出平移和旋转后的两个图形．（2）图中的△A2B1C2能否由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到？如果能，请写出旋转中心P的坐标，并说明通过如何旋转得到；如果不能，请说明理由．19．（12分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．20．（12分）为加快推进生态郑州建设，2020年12月郑州市政府下发了《2021年城市园林绿化工作实施方案》，按照“东强”“西美”“南动”“北静”“中优”“外联”功能布局，大幅增加了城市绿地面积．如图，某校操场角落处有一片四边形空地，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树．学校也准备进行一次绿化扩建，想使这片空地的面积扩大一倍，又想保持四棵大树在边上不动，并要求扩建后的区域是平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若不能，请说明理由．若能，请你设计出所要求的平行四边形，并对所设计方案进行简要说明（图形画规范，不要求用尺规作图；平行四边形四个顶点分别用M、N、P、Q来表示；说理时可以在图形上用S1，S2，S3……进行标注）．21．（12分）2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．（1）求这两种摆件的销售单价．（2）已知“冰墩墩”摆件的进价是每个80元，“雪容融”摆件的进价是每个60元．第二次进货时，厂家为了促销“雪容融”摆件，规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．该电商网店计划购进两种摆件90个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？22．（12分）八年级某数学兴趣小组在学习过“平行四边形”之后，决定利用对称变换来探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题．以下是该小组讨论的一个片段，请仔细阅读，完成下列学习任务：（1）猜想证明：如图1，在▱ABCD中，AB＞AD，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，A′B交CD于点O，连接A′C，猜想A′C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由；（2）应用探究：在（1）的条件下，如图2，若∠A＝60°，AB＝2，当△A′OD是直角三角形时，请直接写出AD的长（计算结果中分母中可以含有根号）．

2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．2．（3分）下列说法不一定成立的是（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b【解答】解：A、若a＜b，则a+c＜b+c，此选项正确；B、若a+c＜b+c，则a＜b，此选项正确；C、若a＜b，当c＝0时ac2＝bc2，此选项错误；D、若ac2＜bc2，则a＜b，此选项正确；故选：C．3．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为x＝2，则a的值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2【解答】解：方程两边都乘以（x+1），得：x﹣a＝2（x+1），将x＝2代入，得：2﹣a＝2×（2+1），解得a＝﹣4，故选：A．4．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则m的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由2x+1＞3，得：x＞1，由1﹣x＜﹣m，得：x＞1+m，由不等式组解集在数轴上的表示知，该不等式组的解集为x＞1，则1+m≤1，解得m≤0，故选：D．5．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点O，且垂直于地面于点C，OC＝0.60m．当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（）A．0.60m B．1.00m C．1.10m D．1.20m【解答】解：过点B作BD⊥AC交AC的延长线于D，∵OC⊥AC，∴OC∥BD，∵AO＝OB，∴AC＝CD，∴OC是△ABD的中位线，∴BD＝2OC＝1.2m，故选：D．6．（3分）反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠C＜90°，第一步他应先假设（）成立．A．∠C＜90° B．AB≠AC C．∠C≥90° D．AB≠AC且∠C≥90°【解答】解：求证：∠C＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设∠C≥90°，故选：C．7．（3分）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（）A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n） C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）【解答】解：观察图形可知m2+3mn+2n2＝（m+2n）（m+n）．故选：B．8．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；故选：C．9．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（）A． B． C． D．【解答】解：一定能使点O到△ABC三边距离相等的是D，故选：D．10．（3分）如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm．沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为（）A．18cm B．20cm C．24cm D．28cm【解答】解：如图，连接AD、EF，则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．∵平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm，∴BC＝AD＝12cm，EF×AD＝×72，∴EF＝6cm，又BC＝12cm，∴则图形戊中的四边形两对角线之和为12+6＝18cm，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠．【解答】解：根据题意得2x﹣3≠0，解得x≠，故答案为：x≠．12．（3分）请写出一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是4a2．符合要求的多项式可以是4a2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：由题意可得，符合要求的多项式可以是：4a2﹣1（答案不唯一）．故答案为：4a2﹣1（答案不唯一）．13．（3分）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则∠CEB'＝45°．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'，点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，∴∠BAB′＝30°，AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′，∴∠B＝∠AB′B＝75°，∴∠AB′C′＝75°，∠C＝105°，∴∠EB′C＝30°，∴∠CEB′＝180°﹣∠C﹣∠EB′C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，故答案为：45°．14．（3分）如图所示，若正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），下面四个结论中：①当x＞0时，y1＞0；②当y2＞5时，x＜0；③不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2；其中正确的是①②③．（填写序号）【解答】解：∵正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），∴y1＝x，y2＝﹣2x+5，∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，∴当x＞0时，y1＞0，故①正确；∵y2＝﹣2x+5与y轴的交点为（0，5），且y随x的增大而减小，∴当y2＞5时，x＜0，故②正确；当x＞2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象上方，∴不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2，故③正确；故答案为：①②③．15．（3分）乐乐在学习中遇到了这样的问题：如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是4.5或．【解答】解：①如图1：PC＝AC＝3时，△ACP是等腰直角三角形，则S△ACP＝×3×3＝4.5；②如图2：AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，在△ACP中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AC2+CP2＝AP2，即32+CP2＝（4﹣CP）2，解得CP＝，则S△ABP＝S△ABC﹣S△ACP＝×4×3﹣×3×＝．综上所述，剪出的等腰三角形的面积是4.5或．故答案为：4.5或．三、解答题（本大题共7小题，共75分）16．（8分）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解不等式：解：3（x+5）﹣6≤2（3x+2）……第一步3x+15﹣6≤6x+4……第二步3x﹣6x≤4+6﹣15……第三步﹣3x≤﹣5……第四步x≤……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的．②第五步出现错误，这一步错误的原因是不等号的方向未改变．任务二：请直接写出该不等式的正确解集x≥．任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【解答】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的；②乐乐同学解答过程在第五步出错，错误原因是不等号的方向未改变．任务二：3（x+5）﹣6≤2（3x+2），3x+15﹣6≤6x+4，3x﹣6x≤4+6﹣15，﹣3x≤﹣5，x≥；任务三：去分母和化系数为1可能用到性质3，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号方向改变，其它都不会改变不等号方向．故答案为：不等式的基本性质2；五，不等号的方向未改变；x≥．17．（9分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，请从﹣1，0，1，2选取一个适当的数代入求值．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝，由分式有意义的条件可知：x不能取±1，0，故x＝2，原式＝＝1．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，再绕点B1顺时针方向旋转90度得到△A2B1C2．（1）分别在图中画出平移和旋转后的两个图形．（2）图中的△A2B1C2能否由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到？如果能，请写出旋转中心P的坐标，并说明通过如何旋转得到；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，△A2B1C2即为所求；（2）△A2B1C2能由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到，旋转中心P的坐标为（2，﹣7），△A2B1C2是由△ABC绕着点P顺时针旋转旋转90°得到．19．（12分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF，∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．20．（12分）为加快推进生态郑州建设，2020年12月郑州市政府下发了《2021年城市园林绿化工作实施方案》，按照“东强”“西美”“南动”“北静”“中优”“外联”功能布局，大幅增加了城市绿地面积．如图，某校操场角落处有一片四边形空地，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树．学校也准备进行一次绿化扩建，想使这片空地的面积扩大一倍，又想保持四棵大树在边上不动，并要求扩建后的区域是平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若不能，请说明理由．若能，请你设计出所要求的平行四边形，并对所设计方案进行简要说明（图形画规范，不要求用尺规作图；平行四边形四个顶点分别用M、N、P、Q来表示；说理时可以在图形上用S1，S2，S3……进行标注）．【解答】解：能设计出所要求的平行四边形，理由如下：连接对角线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交于M，N，P，Q四点，则可得四边形AODQ，AOBM，BOCN，OCPD均为平行四边形．在▱AODQ中，AO＝QD，AQ＝OD，AD＝AD，∴△AHD≌△AOD（SSS），∴S△AHD＝S△AOD，同法可证S△COD＝S△CPD，S△BOC＝S△BCN，S△AOB＝S△ABM∴S▱MNGH＝2S四边形ABCD，∴▱MNGH即为所示．故能设计出所要求的平行四边形．21．（12分）2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．（1）求这两种摆件的销售单价．（2）已知“冰墩墩”摆件的进价是每个80元，“雪容融”摆件的进价是每个60元．第二次进货时，厂家为了促销“雪容融”摆件，规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．该电商网店计划购进两种摆件90个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x﹣30）元，根据题意得：＝，解得：x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，∴x﹣30＝120﹣30＝90，答：“冰墩墩”摆件的销售单价是120元，“雪容融”摆件的销售单价是90元；（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90﹣m）个，由题意得：m≤（90﹣m），解得：m≤30，设销售利润为w元，由题意得：w＝（120﹣80）m+（90﹣60）×（90﹣m）＝10m+2700，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝