2021-2022学年四川省成都市天府新区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年四川省成都市天府新区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度后所得点的坐标是（）A．（5，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（2，2） D．（2，﹣4）3．（4分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（）A．x﹣6＜y﹣6 B．3x＜3y C．﹣2x＞﹣2y D．2x+1＞2y+14．（4分）已知一次函数y＝（2﹣m）x+3，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞2 D．m＜25．（4分）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等的四边形 B．两条对角线互相平分的四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形 D．一组对边平行且相等的四边形6．（4分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤27．（4分）分式方程+＝1的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣28．（4分）如图，点P是▱ABCD边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知▱ABCD面积为16，那么△PEF的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式：2x2﹣8＝．10．（4分）若分式无意义，则x的值为．11．（4分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是．12．（4分）成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段MN的长，于是小明在AO，BO延长线上分别选取P，Q两点，且满足OP＝ON，OQ＝OM，小明测得线段PQ＝90米，则A，B两点间的距离是米．13．（4分）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC，BD于点M，N；②以点C为圆心，BM长为半径作弧，交CB于点P，交CD于点Q；③以点P为圆心，MN长为半径作弧，交于点E，连结CE并延长交对角线BD于点F，若∠CBD＝45°，BC＝5，DF＝2，则对角线BD的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）解不等式组：；（2）先化简，再求值：，其中a＝+3．15．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）求出△A2B2C2的面积．16．（8分）如图，在▱ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．17．（10分）2023年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举办，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市．某商店计划今年购进A，B两种“蓉宝”纪念品若干件，订购A种“蓉宝”纪念品花费6000元，订购B种“蓉宝”纪念品花费3200元，其中A种纪念品的订购单价比B种纪念品的订购单价多20元，并且订购A种纪念品的数量是B种纪念品数量的1.25倍．（1）求商店订购A种纪念品和B种纪念品分别是多少件？（2）若商店一次性购买A，B纪念品共60件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？18．（10分）如图，在▱ABCD中，分别以AB，CD为底边在▱ABCD内侧作等腰△ABF和等腰△DCE，且∠AFB＝∠DEC＝120°，连接CF和AE并延长，分别交边AB，CD于点M和点N．（1）求证：∠ADE＝∠CBF；（2）求证：四边形AMCN为平行四边形；（3）连接MN，若MN∥BC，AB＝BC，▱ABCD的面积为3，求CF的长．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）已知x+y＝﹣2，xy＝3，则2xy2+2x2y＝．20．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜3，则m的取值范围是．21．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D在AB边上，连接CD，过CD的中点E作FG⊥CD，交BC于点F，交AC于点G，若∠CFG＝∠A，则CE＝．22．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P绕点T（t，0）逆时针旋转60°得到点Q，我们称点Q是点P的“正影射点”．若t＝，则点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是．若点P在一次函数y＝x﹣上，对于任意的t值，P的“正影射点”Q都在一条直线上，则这条直线的函数表达式为．23．（4分）如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船成功返回地球，三名航天员在空间站工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，这也激发航天纪念品的购买热潮．某纪念品专营店准备采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息：产品神舟飞船模型航天纪念币进价（元/件）2814售价（元/件）3820（1）若该店5月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后共获得销售额7800元，则该店分别购进两种产品各多少件？（2）由于销售火爆，该店6月份又准备购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神州飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得6月份该店利润w为最大．25．（10分）已知，如图1，△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，P为边AB上一点，连接DP，以DP为一边在右侧作△DPQ，使DP＝DQ，且∠PDQ＝∠ACB，连接EQ并延长交直线BC于点H．（1）求证：△APD≌△EQD；（2）若∠ACB＝120°，判断BC与CH的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如图2，延长DQ交BC于点G，若AC为2，求AP为何值时△HQG为直角三角形.26．（12分）如图1，直线y1＝﹣x﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线y2＝mx+n（m，n为常数）与x轴交于点B，且OB：OA＝1：3．（1）求直线y2的函数表达式；（2）点P是直线y2上一动点，当S△PAC＝2S△ABC时，求点P的坐标；（3）如图2，在平面内有一点M（﹣8，2），连接CM交x轴于点N，连接AM，在平面内是否存在点Q，使得∠ACQ＝∠MAN+∠ACN，且AQ＝AC，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

2021-2022学年四川省成都市天府新区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：C．2．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度后所得点的坐标是（）A．（5，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（2，2） D．（2，﹣4）【解答】解：将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度后所得点的坐标是（2﹣3，﹣1），即（﹣1，﹣1）．故选：B．3．（4分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（）A．x﹣6＜y﹣6 B．3x＜3y C．﹣2x＞﹣2y D．2x+1＞2y+1【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时减去6，不等号的方向不变，即x﹣6＞y﹣6，原变形错误，故此选项不符合题意；B、在不等式x＞y的两边同时乘3，不等号的方向不变，即3x＞3y，原变形错误，故此选项不符合题意；C、在不等式x＞y的两边同时乘﹣2，不等号的方向改变，即﹣2x＜﹣2y，原变形错误，故此选项不符合题意；D、在不等式x＞y的两边同时乘2，再加上1，不等号的方向不变，即2x+1＞2y+1，原变形正确，故此选项符合题意．故选：D．4．（4分）已知一次函数y＝（2﹣m）x+3，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞2 D．m＜2【解答】解：根据题意，得2﹣m＞0，解得：m＜2．故选：D．5．（4分）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）A．两组对边分别相等的四边形 B．两条对角线互相平分的四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形 D．一组对边平行且相等的四边形【解答】解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵两条对角线互相平分的四边形，∴选项B不符合题意；C、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意；D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C．6．（4分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2【解答】解：由图象可得：当x＜2时，kx+b＞0，所以关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2，故选：B．7．（4分）分式方程+＝1的解是（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2【解答】解：去分母得：4（x﹣1）+x（x﹣3）＝x（x﹣1），解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x（x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝2．故选：B．8．（4分）如图，点P是▱ABCD边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知▱ABCD面积为16，那么△PEF的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵▱ABCD的面积为16，∴S△PBC＝S▱ABCD＝8，∵E、F分别是PB、PC的中点，∴EF∥BC，且EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，∴＝（）2，即＝，∴S△PEF＝2，故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式：2x2﹣8＝2（x﹣2）（x+2）．【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x﹣2）（x+2）．故答案为：2（x﹣2）（x+2）．10．（4分）若分式无意义，则x的值为x≠．【解答】解：∵分式有意义，∴3x﹣4≠0．∴x≠．故答案为：x≠．11．（4分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是6．【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，解得n＝6．答：这个多边形的边数是6．故答案为：6．12．（4分）成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段MN的长，于是小明在AO，BO延长线上分别选取P，Q两点，且满足OP＝ON，OQ＝OM，小明测得线段PQ＝90米，则A，B两点间的距离是180米．【解答】解：在△OMN和△OQP中，，∴△OMN≌△OQP（SAS），∴MN＝PQ＝90米，∵点M，N分别为OA，OB的中点，∴MN是△OAB的中位线，∴AB＝2MN＝180米，故答案为：180．13．（4分）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BC，BD于点M，N；②以点C为圆心，BM长为半径作弧，交CB于点P，交CD于点Q；③以点P为圆心，MN长为半径作弧，交于点E，连结CE并延长交对角线BD于点F，若∠CBD＝45°，BC＝5，DF＝2，则对角线BD的长为7．【解答】解：由作图可知，∠FBC＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB＝45°，∴∠BFC＝90°，FB＝FC，∵BC＝5，∴BF＝FC＝5，∴BD＝BF_FD＝5+2＝7，故答案为：7．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）解不等式组：；（2）先化简，再求值：，其中a＝+3．【解答】解：（1），解不等式①，得：x＞1，解不等式②，得：x≤4，∴该不等式组的解集是1＜x≤4；（2）＝•＝•＝•＝﹣2（a﹣3）＝﹣2a+6，当a＝+3时，原式＝﹣2﹣6+6＝﹣2．15．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）求出△A2B2C2的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）＝×2×3＝3．16．（8分）如图，在▱ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝32°，求∠DAB的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∴∠E＝∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF＝DF，在△AFE和△DFC中，，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD＝AE，∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，∴AE＝AF，∵∠E＝32°，∴∠AFE＝∠E＝32°，∴∠DAB＝2∠E＝64°．17．（10分）2023年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举办，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市．某商店计划今年购进A，B两种“蓉宝”纪念品若干件，订购A种“蓉宝”纪念品花费6000元，订购B种“蓉宝”纪念品花费3200元，其中A种纪念品的订购单价比B种纪念品的订购单价多20元，并且订购A种纪念品的数量是B种纪念品数量的1.25倍．（1）求商店订购A种纪念品和B种纪念品分别是多少件？（2）若商店一次性购买A，B纪念品共60件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？【解答】解：（1）设商店订购B种纪念品x件，则订购A种纪念品1.25x件，根据题意，得，解得x＝80，经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意，1.25×80＝100（件），答：商店订购A种纪念品100件，B种纪念品80件；（2）设购买m件B种纪念品，A种商品的单价为6000÷100＝60（元），B种商品的单价为60﹣20＝40（元），根据题意，得60（60﹣m）+40m≤3000，解得m≥30，答：最少购买30件B种纪念品．18．（10分）如图，在▱ABCD中，分别以AB，CD为底边在▱ABCD内侧作等腰△ABF和等腰△DCE，且∠AFB＝∠DEC＝120°，连接CF和AE并延长，分别交边AB，CD于点M和点N．（1）求证：∠ADE＝∠CBF；（2）求证：四边形AMCN为平行四边形；（3）连接MN，若MN∥BC，AB＝BC，▱ABCD的面积为3，求CF的长．【解答】（1）证明：∵∠AFB＝∠DEC＝120°，CE＝DE，AF＝BF，∴∠CDE＝∠ABF＝30°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，∴∠ADE＝∠CBF；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵∠AFB＝∠DEC＝120°，CE＝DE，BF＝AF，∴∠ABF＝∠BAF＝∠ECD＝∠EDC＝30°，∴△ABF≌△DCE（ASA），∴BF＝DE＝AF＝CE，∵∠CBF＝∠ADE，BC＝AD，∴△CBF≌△ADE（SAS），∴CF＝AE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∵AB∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形；（3）解：∵MN∥BC，AB∥CD，∴四边形BMNC是平行四边形，∴BM＝CN，∵四边形AMCN为平行四边形，∴AM＝CN，∴BM＝AM，∴FM⊥AB，∵AB＝BC，∴设BM＝x，则AB＝2x，BC＝x，∴CM＝x，∵▱ABCD的面积为3，∴AB×CM＝3，∴2x2＝3，∴x＝（负值舍去），∴BM＝，∵∠ABF＝30°，∴MF＝，∴CF＝CM﹣MF＝．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）已知x+y＝﹣2，xy＝3，则2xy2+2x2y＝﹣12．【解答】解：原式＝2xy（y+x），∵x+y＝﹣2，xy＝3，∴原式＝2×3×（﹣2）＝﹣12，故答案为：﹣12．20．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜3，则m的取值范围是m＜2．【解答】解：将方程组两个方程相加，得：3x+3y＝3m+3，∴x+y＝m+1，∵x﹣y＜3，∴m+1＜3，解得m＜2，故答案为：m＜2．21．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D在AB边上，连接CD，过CD的中点E作FG⊥CD，交BC于点F，交AC于点G，若∠CFG＝∠A，则CE＝．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵FG⊥CD，∴∠CFG+∠ECF＝90°，∵∠ECF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠CFG，∵∠CFG＝∠A，∴∠GCE＝∠A，∴AD＝CD，同理可得BD＝CD，∴点D是AB的中点，∴CD＝，∵点E是CD的中点，∴CE＝，故答案为：．22．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P绕点T（t，0）逆时针旋转60°得到点Q，我们称点Q是点P的“正影射点”．若t＝，则点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是（﹣，0）．若点P在一次函数y＝x﹣上，对于任意的t值，P的“正影射点”Q都在一条直线上，则这条直线的函数表达式为y＝﹣x+．【解答】解：如图1，∵点T（，0），点P1（0，3），∴OT＝，OP1＝3，∴tan∠P1TO＝＝，∴∠P1TO＝60°，∴P1T＝2，∴点P1绕点T（，0）逆时针旋转60°得到点Q1在x轴上，且Q1T＝2，∴点P1（0，3）的“正影射点”Q1的坐标是（﹣，0）；如图2，∵点P在一次函数y＝x﹣上，∴P1（1，0），P2（0，﹣），∴OP1＝1，OP2＝，根据题意设T（0，0），则Q1（，），Q2（，﹣），设直线Q1Q2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线Q1Q2的解析式为y＝﹣x+，∴P的“正影射点”Q所在直线的函数表达式为y＝﹣x+；故答案为：（﹣，0）；y＝﹣x+．23．（4分）如图，△ABC中，点P为AC的中点，点G为BC边上任意一点，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G的对应点为G′，若AC＝4，AB＝4，∠ABC＝30°，则线段PG′的取值范围为﹣2≤PG'≤4+2．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵∠ABC＝30°，AH⊥BC，∴AH＝AB＝2，∵点P是AC的中点，∴AP＝AC＝2，当点G与点H重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段AP的延长线上时，此时PG'的最小值为2﹣2，当点G与点B重合时，在△ABC绕点A旋转的过程中，点G'在线段PA的延长线上时，此时PG'的最大值为4+2，∴﹣2≤PG'≤4+2，故答案为：﹣2≤PG'≤4+2．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船成功返回地球，三名航天员在空间站工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，这也激发航天纪念品的购买热潮．某纪念品专营店准备采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息：产品神舟飞船模型航天纪念币进价（元/件）2814售价（元/件）3820（1）若该店5月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后共获得销售额7800元，则该店分别购进两种产品各多少件？（2）由于销售火爆，该店6月份又准备购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神州飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得6月份该店利润w为最大．【解答】解：（1）设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，根据题意可知，，解得．∴购进神舟飞船模型100件，购进航天纪念币200件．（2）设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币（500﹣m）元，根据题意可知，w＝（38﹣28﹣3）m+（20﹣14﹣2）（500﹣m）＝3m+200，∵500﹣m≥3m且m为正整数，∴m≤125且m为正整数，∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝125时，w最大，最大值为575．此时500﹣m＝375．∴当购进神舟飞船模型125件，购进航天纪念币375件，使得6月份该店利润w为最大．25．（10分）已知，如图1，△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，P为边AB上一点，连接DP，以DP为一边在右侧作△DPQ，使DP＝DQ，且∠PDQ＝∠ACB，连接EQ并延长交直线BC于点H．（1）求证：△APD≌△EQD；（2）若∠ACB＝120°，判断BC与CH的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，如图2，延长DQ交BC于点G，若AC为2，求AP为何值时△HQG为直角三角形.【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACB，AD＝DE，∵AC＝BC，DP＝DQ，∠PDQ＝∠ACB，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝∠DQP，∠ADE＝∠ACB＝∠PDQ，∴∠ADP＝∠EDQ，在△APD和△EQD中，，∴△APD≌△EQD（SAS）；（2）解：BC＝2CH，理由如下，连接CE，∵AC＝BC，∠ACB＝120°，点E是AB的中点，∴∠A＝∠B＝30°，CE⊥AB，∠BCE＝60°，∴BC＝2CE，∵△APD≌△EQD，∴∠A＝∠DEQ＝30°，∵DE∥BC，∴∠DEQ＝∠H＝30°，∵∠BCE＝∠H+∠CEH，∴∠CEH＝30°＝∠H，∴CH＝CE，∴BC＝2CH；（3）如图，设HE与AC的交点为N，∵∠H＝30°，∠ACB＝120°，∴∠CNH＝90°，∴当点Q与点N重合时，△HQG为直角三角形，∵∠PDN＝120°，∴∠ADP＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠A﹣∠ADP＝90°，∵点D是AC的中点，AC＝2，∴AD＝1，∵∠A＝30°，∠APD＝90°，∴DP＝AD＝，AP＝DP＝；当∠QGH