三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质知识点1周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.PS①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！③三角函数就是典型的周期函数.2正弦函数，余弦函数的图像与性质注表中的k∈Zy=sinxy=cosx图像定义域RR值域[−1,1][−1,1]最值当x=π2+2kπ时，ymax=1；

当x=2kπ时，ymax=1；

当x=π+2kπ时，周期性2π2π对称中心kπ,0kπ+对称轴x=kπ+x=kπ单调性在−π2+2kπ,π2在−π+2kπ,2kπ上是增函数；

在2kπ,π+2kπ上是减函数.3正切函数的图像与性质注表中的k∈Zy=tanx图像定义域x值域R最值既无最大值也无最小值周期性π对称中心kπ对称轴无对称轴单调性在(kπ−π典型例题1、下列函数中，关于直线x=−πA．y=sin(x+π3) BC．y=cos(x+π3) 【答案】D【解析】将x=−π6代入y=cos(2x+π故x=−π6是故选：D．2、关于函数f(x)=|sinx|+cosx有下述四个结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为−2③f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π其中所有正确结论的编号是()A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【解析】函数f(x)=|sinx|+cosx，其中|sinx|的周期为π，cos2x的周期为2π，所以函数的最小正周期为2π，故函数为周期函数．①f(x)是周期函数；正确．②函数的最小值为－1，所以：f(x)的最小值为−2③由于f(－x)=f(x)，f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(π故选：B．3、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且关于A．f(1)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(2)<f(1) C．f(2)<f(0)<f(1) D．f(2)<f(1)<f(0)【答案】【解析】∵函数的最小周期是π，∴2πω=π则f(x)=sin(2x+φ)，∵f(x)关于(−π∴2×(−π8)+φ=kπ，k∈Z，即∵0<φ<π∴当k=0时，φ=π4，即则函数在[−π8，π8]上递增，在[π8∵π4<1<2，∴f(π故选：D．4、设f(x)=3sin(ωx−π12)+1，若f(x)在[−π3,【答案】(0,54【解析】设f(x)=3sin(ωx−π12)+1，在[−π3,π6由于f(x)为增函数，∴−ωπ3−求得0<ω≤54，故选：5、已知函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0,π12【答案】4【解析】由函数f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)可得ω•π12+π6≤π基础题型训练一、单选题1．函数的图象与函数的图象的交点个数是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数.【详解】依题意，画出两个函数的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故选B.【点睛】本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.2．下列函数最小正周期为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的性质计算可得；【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；对于B：的最小正周期，故B正确；对于C：的最小正周期，故C错误；对于D：的最小正周期，故D错误；故选：B3．已知函数有且仅有一个零点，则实数（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】将零点问题转化为函数与的图象的交点问题，数形结合得出.【详解】由得，当时，函数与的图象如下图所示由于两个函数都关于对称，此时不可能只有一个零点当时，方程无解当时，函数与的图象如下图所示要使得只有一个交点，必须，即故选：B【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，数形结合得出的值.4．下列函数中，周期是，且在上是减函数的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的周期性与单调性，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A，此函数的周期为，排除A；对于B，此函数的周期为，排除B；对于C，此函数的周期为，在一个周期内，其单调递减区间为，排除C；对于D，此函数的周期为，在一个周期内，其单调递减区间为.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记三角函数的周期性与单调性即可，属于常考题型.5．下列函数①；②；③；④；⑤；⑥中最小正周期为的函数的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解析】根据正、余弦函数的最小正周期公式以及正切函数的最小正周期，并且正弦、余弦整体带绝对值，周期减半，正切整体带绝对值，周期不变，逐一判断即可.【详解】①最小正周期为，①正确.②因为，如图：，②正确.③,最小正周期为，③正确.④最小正周期为，④不正确.⑤，故周期为，如图：⑤正确.⑥为偶函数且无周期，⑥不正确.故选：B6．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为 B．的最大值为C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点【答案】D【分析】A.代入周期的定义，即可判断；值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，故A错误；B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D正确.故选：D二、多选题7．若函数的最小正周期为，则的值可能是（

）A．2 B． C． D．-2【答案】BC【解析】根据周期公式求解即可.【详解】因为函数的最小正周期为所以，故选：BC.【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.8．下列函数中，以为最小正周期的函数有（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】依次求出每个函数的周期即可.【详解】，其最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，的最小正周期为故选：BD三、填空题9．函数的定义域为___________【答案】【详解】，即定义域为10．函数的对称轴是___________.【答案】【分析】解出方程即可得到答案.【详解】令，解得所以函数的对称轴是故答案为：11．函数最大值为______．【答案】5【分析】利用二倍角公式，得到函数，再令，得到，利用二次函数的单调性得到最值.【详解】函数，令则为开口向下，对称轴为所以函数在上单调递减，所以在时，故答案为：.【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，正弦函数与二次函数复合求最大值，属于简单题.12．已知函数，的值域为，则实数的取值范围为__________.【答案】/【分析】由题意，可令，将原函数变为二次函数，通过配方，得到对称轴，再根据函数的定义域和值域确定实数需要满足的关系，列式即可求解.【详解】设，则，∵，∴必须取到，∴，又时，，，∴，∴.故答案为：四、解答题13．最小正周期是(1)求的值；(2)求函数的单调增区间.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦和余弦的二倍角公式及其辅助角公式即可变形为，再利用正弦函数的周期公式即可求出的值；（2）利用正弦函数的性质直接求其单调递增区间即可.(1)则，即.(2)令解得故的单调递增区间为14．已知函数的最小正周期为，最小值是2，且图像过点，求这个函数的解析式．【答案】或．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由零点坐标求出的值，可得函数的解析式．【详解】解：由函数，，的最小正周期为，最小值为，可得，且，所以又图象过点，可得，，解得，，因为，所以当时，函数的解析式为．当时，函数的解析式为．15．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，求函数的最值.【答案】（1）；（2）最小值；最大值3.【分析】（1）由即可求出单调递增区间；（2）求得，根据正弦函数的性质即可求出最值.【详解】解：（1），由，得，所以函数的单调递增区间为.（2）.因为，所以.当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值3.16．已知函数（）的一段图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由函数的一段图象求得、、和的值即可；（2）由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得的最大和最小值即可．【详解】解：（1）由函数的一段图象知，，，，解得，又时，，，，解得，；，函数的解析式为；（2）当时，，令，解得，此时取得最大值为2；令，解得，此时取得最小值为；函数的值域为．【点睛】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．提升题型训练一、单选题1．根据函数的图像，可得方程的解为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】B【分析】结合正弦函数的图象和正弦函数的性质即可求出结果.【详解】由题意和正弦函数的图象可知，可得（）.故选:B.2．若函数在上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.【详解】由，可得当时函数单调递增，即，当时，，又函数在，所以，即的最大值为，故选：C.3．已知，则的零点个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，可得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，利用数形结合思想可得解.【详解】令，可得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，且当时，.在同一直角坐标系中作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，两个函数共有个公共点，因此，函数的零点个数为.故选：C.【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.4．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（

）A．

B．C． D．【答案】D【解析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可．【详解】由已知，可得大圆的直径为y＝3sinx的周期，由T，可知大圆半径为8，则面积为S＝64π，一个小圆的周长故小圆的面积S′＝π•22＝4π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P，故选：D．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题．5．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦的倍角公式，将函数转化，利用二次函数的图象和性质即可得到结论.【详解】，令，则，函数转化为，时，，时，，函数的值域为.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的值域的计算，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，需要用换元法进行转化.6．已知函数，则下列命题错误的是(

)A．函数是奇函数，且在上是减函数B．函数是奇函数，且在上是增函数C．函数是偶函数，且在上是减函数D．函数是偶函数，且在上是增函数【答案】A【分析】根据f(x)的奇偶性和正余弦函数的奇偶性可判断复合函数、、、的奇偶性，根据复合函数单调性判断方法即可判断它们的单调性．【详解】对于，定义域为R关于原点对称，且，是奇函数，又是奇函数，是偶函数，和是奇函数，和是偶函数，又，在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，故A错误，C正确；当时，，在上单调递增，在上单调递增，故B正确；当时，，在上单调递增，在上单调递增，故D正确．故选：A．二、多选题7．函数的部分图象如图，，是的两个相邻正零点，其中是最小的正零点．则（

）

A．B．C．曲线的对称轴是D．在区间上单调递减【答案】BCD【分析】由图象可知，求出周期，再利用周期公式可求出，再由是最小的正零点可求出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断.【详解】由图象可知，，则，所以，，得，所以，因为是最小的正零点，所以，则，因为，所以，所以，所以A错误，B正确；对于C，由，得，所以曲线的对称轴是，所以C正确；对于D，由，得，所以的减区间为，所以在区间上单调递减，所以D正确.故选：BCD8．对于函数下列说法中不正确的是A．该函数的值域是B．当且仅当时，函数取得最大值1C．当且仅当时，函数取得最小值－1D．当且仅当时，【答案】ABC【分析】画出函数的图像，根据图像判断出结论不正确的选项.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图像容易看出：该函数的值域是；当且仅当或，时，函数取得最大值1；当且仅当，时，函数取得最小值；当且仅当，时，，可知A,B,C不正确.故选ABC.【点睛】本小题主要考查利用三角函数图像研究三角函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、填空题9．函数的最小正周期________【答案】【分析】直接利用公式求出结果.【详解】函数的最小正周期.故答案为：.10．函数的最小正周期为_______.【答案】【分析】将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果.【详解】，.【点睛】本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大.11．关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为2；②的图象关于点对称；③若，则的最小值为；④的图象与曲线共有4个交点．其中所有真命题的序号是__________．【答案】①②④【分析】结合正弦函数的性质判断各命题的真假．【详解】由图可得：，的最小正周期为2，①正确；，的图象关于点对称，②正确；离轴最近的对称轴为，所以若，则的最小值为，③错误；在轴右边离最近的对称为，，而，在上是减函数，因此的图象在第一象限每个周期内与的图象都有两个交点，在区间上有两个交点，在区间上有两个交点，从而在上有4个交点，④正确；故答案为：①②④．【点睛】思路点睛：本题考查正弦型三角函数的性质，解题方法是利用正弦函数性质求得的最小正周期，对称中心，对称轴，利用周期性确定函数图象交点个数，最终得出结论．12．已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数的图象，则关于有下列命题:①函数是奇函数；②函数不是周期函数；③函数的图像关于点(π，0)中心对称；④函数的最大值为.其中真命题为____________．【答案】③【详解】试题分析：由题知=，所以=，因为===是偶函数，故①错，因为===，周期为，故②错，因为设（）是函数图像上任意一点，则，该点关于(π，0)的对称点为（），所以===-=，即点（）也在函数图像上，故图像关于(π，0)对称，③正确；因为==，令，则-1≤t≤1，==（-1≤t≤1），所以==，当-1≤≤-或≤≤1时，＜0，当-＜＜时，＞0，所以该函数在（-1，-），（，1）上是减函数，在（-，）是增函数，当=时，取极大值，因为当=-1时，y=0，所以的最大值为，故④错，所以正确的命题为③.考点：周期变换，函数的周期性、奇偶性、对称性，函数最值，转化与化归思想四、解答题13．求的最大值、最小值，并指出取到最值时x的值.【答案】当时，；当时，.【分析】结合正弦函数的