折射定律的两种证明方法

//3700//3.7几何中的一些极值问题折射定律质点花时间最短运动轨迹选址问题实验演示几何中一些求极值问题，可以用微分法求解，也可借助几何或物理概念寻求特殊的技巧解法。下面举几个例子。问题一：(折射定律)设有一质点从点A(x,y)运动到点B(x,y)(y>0,yv0)，该质点的运动1 1 2 2 1 2速度在上半平面为常数v1，下半平面为常数v2.此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短？问题二：(质点花时间最短运动轨迹)设一质点从点A(x,y)运动到点B(x,y),其运动速度是纵坐标的可微函数TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2v(y).若要求所花时间最短，求它的运动轨迹。问题三：(选址问题)设有m个村庄A,A，…,A各有小学生n,n，…,n人，今要合建一所小学1 2 m 1 2 m校，使全部学生所走的总路程最短，问应如何选择校址？//3710一.折射定律设有一质点从点A(x,y)运动到点B(x,y)(y>0,yv0)，该质点的运1 1 2 2 1 2动速度在上半平面为常数v］，下半平面为常数v.此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短？显然该质点在上半平面和下半平面都应是直线。故从A到B应为折线，只需求出折点C即可。设AC、BC与y轴的夹角分别为i1,i2,我们来证明当sini vsini v (*)时，所花费的时间最短。

（*）式就是光的折射定律：当光从一种介质进入另一种介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比。证明：方法一（用几何方法）方法二（用微分方法）//sm3711用几何方法证明:任取另一路径AC1B,质点经路径ACB所花时间为4£+竺vv经AC1B所花时间为AC1+BC2只需证当（*）成立时，AC+BC<AC1+BC1vvvvTOC\o"1-5"\h\z过C分别向AC延长线和CB作垂线CD和CD，则

1 11 12...AC=AD1-CD1, BC=8叫+CD2\o"CurrentDocument"AC+BC_（AD_CD）+（B^+CD?）_AD+BD?十（CD2_CD） （**）vvvvvvvvvv1 2 1 1 2 2 1 2 2 1ACCD_i，ACCD_i，...CD_CCsini,CD_CCsini1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2也-竺1_cc"-虬）_0vv1vvAD1<AC1,BD^<BC1,vvvvvv121212AD1<AC1,BD^<BC1,vvvvvv121212//sm3712用微分方法证明：设折点C的坐标为G,0）则质点经ACB所花时间J(x-xJ2+y2 ；(x-xJ2+y2TOC\o"1-5"\h\zt= 1 1_+ 2 2_V V12dt(x-x)/..：'(x-x*+y2(x-x)/,：(x-x*+y2sinisini = 1* 1 1_+ 21' 2 —=U—2dx v v vv.・・d=0等价于蚂=虹.这与(*)等价.这就是光的折射定律：当光从一dx V] V2种介质进入另一种介质时入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比.//sm3720二、质点花时间最短的运动轨迹TOC\o"1-5"\h\z问题：设一质点从点A(x,y)运动到点B(x,y),其运动速度是纵坐标的可1 1 2 2微函数v(y).若要求所花时间最短，求它的运动轨迹。结论：其运动轨迹应满足：从A(气,y「到A(x,y)的定积分\o"CurrentDocument"du，/ 、\o"CurrentDocument"[行E=±(x-x]) ⑶^由y(x2)=y2，即曲线过b点决定，正负号的选择与y’的符号一致。具体推导：〃转3721//例子：设一质点要在重力场上由原点运动到某一点A(x0,y0)，求花费时间最短的路径。(设x°>0y°>0)//转37////sm37211用y'表示曲线的切线斜率。1用y'表示曲线的切线斜率。A2在轨迹上取邻近的三点A(x,y),A(x+Ax,y+Ay)A分别把AA和AA3 12 23在AA在AA上,Iy'(x)\=tana，在aA上，y，(x+Ax)-tan^12 1 23 2—— 〜 cosa1 1Ms2a+：na\ 1 11 _ 1(1+tan2* "1+侦(xj同理sini2同理sini21顼1+tan2a2疽1+ty(I把(1)式两边颠倒再减去1把(1)式两边颠倒再减去1并通分得：sini-sini V(y+Ay)-V(y)Vt^⑵式左边分子分母同除以sini1Sini2得1_1sinisini ^,T+Iy^(x)2-*：1+ty'(x+Ax)1 V1+\y'(x+A^sini21 y'(x)y"(x)Ax(1+[y'(x+Ax)lV'1+^^'(x)^2(这里利用了公式f(x+Ax)-fG)^fQkx,f(x)=U1+[y(x)L)re、”十、北 re、”十、北 VGky(2)式右边^y()(只差Ay的高阶无穷).两边除以软再令软T0得两边乘以dx得y'y"dx_V'(y)y'dx y'dy'__V'(y)dy出¥=一侦厂，即出FT两边求不定积分得2Znt+(y')2\__lnV(y)+C加〔+"(其中C1=华勺1+(y')2=CV_2(y),y'=土JC1V_2(y)-1du=±(x-气) (3)_d=土dx

du=±(x-气) (3)从A(x,y)到A(x,y)求定积分得』y-11 1 y^.CV-2(u)-1C1由y(x2)=y2，即曲线过b点决定，正负号的选择与y’的符号一致.//sm3722//例设一质点要在重力场上由原点运动到某一点A(%,y0)，求花费时间最短的路径。(设x>0y>0)解：如图，取y轴向下，则对曲线上任一点B(x,y)质量为m的质点从O点降到B点时减少的势能二增加的动能1 …、 林—•••mgy=-mv2nV(y)=x;2gy代入(3)式得(此时x1=0，y1=0，)rvdux=jy (4)C[1——1——1\；2gu

注：由于曲线上任一点的切线与x轴夹角是锐角，故V>0,从而(3)取正号.为了能把根号去掉，考虑作积分变换设3=csc20<^注：由于曲线上任一点的切线与x轴夹角是锐角，故V>0,从而(3)取正号.为了能把根号去掉，考虑作积分变换设3=csc20<^<^即0展52gu2 2 2即u=匕sin2-=asin29 (十己a=乌)2g2 2 2gu=0对应9=0，u=y对应9=t9 9du=2asin_cos_2 2d9=asin9cos9d92 2asi^^—cos:.(4)式右边=Jt2

o-d92 9 cot—2=aJtsin

o=2Jt(1-cos9)d9=§9-sin9]a .八=一(t-sint)2又u=asin2 =2(1-cos9)取9=t,则u=y，「・y=—(1—cost)2x=—^(t—sint)综合得：]cy=—^(1—cost)I4g这是摆线方程，其中常数C1,由曲线通过点AX0,y)唯-确定，4生成摆线的滚动圆的半径。注：其实C1的确定也不是太容易的〃转sm3723////sm3723

例如"=1,例如"=1,y=1,C=?代入摆线方程得:1c―i(t-sint)=1 (1)4gc―(1-cost)=1 (2)4gt一sint(%)可得 1-cost:.t—sint=1—cost, t-sint+cost-1=0令 f(t)=t—sint+cost—1f(9=1-2<0f(兀)=兀一2>0可知方程f(t)=0在区间［1.57,3.14］内有解。用二分查找法可求出近似解t=2.412代回(1),(2)得C=22.458,'= 1 =0.5730 1 4g1-cos(2.412)x=0.573(t-sint)(0<t<n)y=0.573(1-cost)//sm3730三.选址问题设有m个村庄A,A，…,A各有小学生n,n，…,n人，今要合建一所小学1 2 m 1 2 m校，使全部学生所走的总路程最短，问应如何选择校址？校址点应满足的条件设A.的坐标为X,V)(i=1,2,3……m)校址在A(x,y)处，那么全部学生所走的总路程为：s习|AA|'工ni i iIj设-.为徵.方向上的单位向量。I Ias—尤dx=1nas—尤dx=1n(x-x)— i i —f(x-x.)2+(y-y.)2ay若令F=in(x-x)Jx-x.)2+(y-y.)2n(y-y)-1/x-xi)2-(y-yi)2n(y-y)(x一x.)2+(y一y.)2’十，J=-ne反向)。等价于F=0

i

i=1F=0

i

i=1可知S的最小值只能在A.i(3.15)(i=1,2,3……m)(在这些点S不可导)和满足(3.15)的点去找。若有A(x,y)满足(3.15)，贝则S(A)达最小值。证明//转3731//特例：费尔马点〃转3733////sm3731若有A(x,y)满足(3.15)，则S(A)达最小值。证明：设A'尹A,要证S(A')NS(A),

对每一个i，.作A'A'i^AAi,设Oi为AA'与AAi的夹角当AA'±AAi时，A'i=A以下记AA=AA'•^i ii・AA'=\i・AA'=\1•i一"0<e<l2兀一<e<兀2当0WOiWn/2时，IA'Ai|N|Ai'Ai|=|AAi|-|AAi'|=|AAi|-AAi'当n/2<OiWn时|A'Ai|N|Ai'Ai|=|AAi|+|AAi'|=|AAi|-AAi'从而S(A')=Eni|A'Ai|^Eni(|AAi|-AAi')=Eni|AAi|-EniAAi'=S(A)-AA'Zniei=S(A)+AA「ZFi=S(A)(F=—ne)・・・S(A')NS(A).对(3.15)的注释//转sm3732//sm3732TF=0 (3.15)ii=1对(3.15)的注释：当A满足(3.15)式且A’、A、A、A・・・.A共线时S(A')=S(A).但是，由于1 2mA’是任意取的，故当它在此直线上趋于无穷远时,S(A')—8.这又说明S(A')尹S(A)。即A不可能同时满足(3.15)式和“与A、A—.A共线”.而当A、1 2m 1

%•••.%共线时显然A也应在此直线上，说明此时A不可能满足(3.15)式，即A应等于某个Ai.当A、A-,A不共线时，若A满足(3.15)式，则它是唯一的.1 2m若在此模型中，把Ai理解为各车间。A理解为公共原材料仓库。ni理解为各车间在一定时期内对原材料的需求量。则此问题化为如何选择仓库地址，使总运输量是最小的问题。(3.15)看来很简单，但实际上十分难解。一般可考虑矩形区域minxiWxWmaxxi，minyiWyWmaxyi上用迭代法求数值解即minS(x,y)=min产n、i(x-x)2+(y-y)2的近似解。i=1也可用物理模型模拟求近似解。在一块有坐标的板上相应于Ai的位置处钻上小孔每个小孔穿一细绳在每条细绳的下端系上一个与ni成比例的砝码(W)全部绳的上端系在一小环上(V)小环的平衡位置就是所求A点的坐标这是因为平衡时，该点受到各个方向的合力为0。与并F=0一致。ii=1注：当然要想办法减少孔与绳的摩擦力//sm3733当m=3,气=1，i=1，2，3时的特例即要在△A1即要在△A1气A3所在平面上找一点A，使A到三顶点距离之和最小。显然A点不应在^AAA之外。123(1)当△△△A的内角都小于120°时，由上述(3.15)即得:1234+匕=° (因此时—户=?)TOC\o"1-5"\h\z1ZJ iicos(e,e)=e-e=(-e-e)(-e-e)=e-e+e-e+e2+11 2 1 2 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3cos(e,e)=e-e=(-e-e)(-e-e)=e-e+e-e+e*+12 3 2 3 1 3 1 2 1 2 1 3