解析几何中三点共线问题的教学策略 论文

11解析几何中三点共线问题的教学策略摘要：三点共线的教学，可以从熟悉情境、关联情境入手，在具体的情境问题的解决中，提高学生解题能力，提升学生的数学核心素养。关键词：解析几何，三点共线，数学情境，教学策略在高考中，经常出现三点共线问题，三点共线教学的好坏，直接影响解析几何的得失。本文通过从视角对熟悉情境、关联情境的分析，循序渐进，提升思维深刻性，形成解题常用流程，有助于提高解题能力，提高教学效率。1.熟悉情境中三点共线问题例年新课标1卷理科）已知抛物线C:y23x的焦点为F，斜率为3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．2 （2）若AP3PB，求|AB|．分析：过x轴上点，定斜率和三点共线问题，根据问题情境，我们可以采取以3 y0下两种方式，一是设A(x1,)，B(x2,y2)，设直线l方程:y2xb，令 得P(2b,0)，利用A，B，P三点共线，得横坐标之间的关系：32b3

3x22b，再联立直线l方程:y

3xb与抛物线C:y22

3x得x2b3

|AB|，•x2，联立解得，x2，带入•x2得

，再利用弦长公式 =2221(

3)2•2

(x1x2)

4x1•x2得|AB|。二是设P(n,0)，设A(x1,)，B(x2,y2)，利用A，B，P三点共线，得出纵坐标之间的关系：3y2，设直线l方程：x2yn，联立直线与抛物线方程得yy

，y•y

，解得y，y

，带入|AB|

31(2)2•3

(

y2

1)24y1

•y2

1 2 1 2 1 2得弦长|AB|。总结：第二问三点共线，可以在此基础延伸，把常数3换成常量t,从而得出一22般的结论，通过探究题目中条件，明确作用，进一步提高学生思维水平，形成解决类似问题的流程。例年乙卷文科)已知抛物线C:y2px(p的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程; （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ9QF，求直线OQ斜率的最大值.分析：由（1）知C：y24x，一定两动，三点共线问题，是我们熟悉的情2境，设P(x,y)，Q(x0,y0)，则y2

4x，由三点共线得10x09x，10y0y，k y4y 1两组同用，所以OQ斜率OQ

9x

36y2，易得斜率最大值为3.总结：第二问三点共线，可以在此基础延伸，把常数9换成常量t,从而得出一般的结论，进一步认识问题的本质，形成解决类似问题的流程。2例3.（2019年新课标3卷理科）已知曲线C：y=x，D为直线y=-1上22 2的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：分析：此题涉及过定直线的上动点与抛物线相切问题，根据问题情境，我们可以采取以下两种方式，一是设切点，得其中一条切线方程，利用同构思想得到另外一条切线方程，联立两切线方程，把定直线上动点带入，即可得直线AB过定点；二是求出定点记为E(0,1)，再证明两切点与定点三点共线即可，具体2做法：利用特殊位置得到定点，设两条切线的斜率分别为,k2，设过定直线上动点的直线方程与抛物线联立，得到关于x的一元二次方程，再利用0，得A(k,1k2

B(k

,1k2) k k到k2

，•k2，得到切点

121)，

222

AE-

BE值为零，则B,E三点共线，即直线AB过定点。总结：本题关键：一是找出特殊点，利用特殊位置加极限思想，二是证明三点PAGEPAGE3共线，利用斜率关系转化，要善于分析，找到关键点，与已有知识建立联系，实现新旧知识的灵活转化，提高解题能力，进而发展思维。2+例年新课标1卷理科】已知A、B分别为椭圆E：xy2（a2+a2 >1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG•GB8，P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.x2 3分析：由（1）得E： y21，由特殊位置，先求出定点Q(,0)，再证明C9 2，Q，D三点共线，设P(6,n)得PA直线方程，与椭圆方程联立，利用两根之2 2和求出点C( , 23n276n 3n和求出点C( , 2)，同理得出D( , )，当n3，符合题n29

n29

n21

n21意，当n23，计算kQCkQD为零，则C，Q，D三点共线，即直线CD过定点.总结：此题可以作为典型的母题，把直线方程更改，若改成非6会怎样，进行变式，引发学生思考，让学生探究的同时，积累解题经验，形成成熟的套路。2.关联数学情境x2例年新高考2卷）已知椭圆C的方程为2a

y2bb2

0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为6．3

+ = >>（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2(x相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3．x2分析：由（1）得椭圆C： y21和曲线x2y21(x0)，当直线MN斜率3不存在，直线MN:x1，不符题意，舍去，当直线MN斜率存在设为k，由M，N，F三点共线，则直线MN：yk(x

2)，又由直线MN与曲线x2+y2(x相切，得k，设M(x,y)，N(x,y

)，当2kk2kk212 2 1 2k1联立椭圆C：xy21和yx1 23

4x 2得2得3

2x10，推出xx，•x2

同理k，结果一样，所以再利用弦长公式求得|MN|=

3，得证。当|MN|=

3，设直线MN：ykxb，因直线MN与曲线x2+y2(x相kk21

|b|

1，化简得b2k21，设M(x1,)，N(x2,y2)，联立直线2x22

2 2 22MN：ykxb和椭圆C：3y2

1化简得(13k)x

6kbx

30，推出x2，•x2，再利用弦长公式|MN|

1k2•

(x1

x2)

4x1•x2 ，3同时把b2k21带入，求得k，由题意知k，b异号，当k1,b2，3直线MN：yx

2，当kb

，直线MN：yx

2，都过点2F(2,0)，所以M，N，F三点共线。2小结：此题主要考两个方向，一是由共线能推出什么，二是由什么能推出共线，解答此题需要层层分解，抓住关键，转化条件，明确推导方向，进而解决问题，此题可对椭圆方程进行变式，充分体会每一部分作用，明确情境重要作用，利用情境拓展，形成解题模板。例年全国乙卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、3y轴，且过A(,-2),(2,-1两点．3(1)求E的方程；(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH．证明：直线HN过定点．2 2分析：由（1）得E的方程：xy1，易得AB直线方程：y22x，先由3 4 3特殊位置求出定点，再证明H，Q，N三点共线，具体做法是：取两个特殊位置求出定点Q，设M(x1,)，N(x2,y2)，联立MT：y和直线AB：y22x，得T(3y1y)，再由点H满足MT=TH，推出H(3y

6x,y)3 2 1

1 1 1要证证明H，Q，N三点共线，即证kQHkQN0，即证：2(x1x2)6(y2)y2x23y1y2120P的直线斜率存在时，设为k，则直线MN：y2k(x，联立直线MN：2 2 1得y2k(x与椭圆E:xy 24)x26k(2k)x3k(k4) 1得3 4而得到x2,•x2，y2，•y2，•y2x2•带入上式得成立，得证，因此直线HN过定点。小结：本题常见解法猜出定点，联立得出相应的根与系数的关系，对学生理解容易造成困难，解决关键是能否突破定点，能否把直线过定点转化为三点共线，从而突破，通过特殊位置极限思想可以突破定点，另外通过逻辑分析推出联立的必要性，打通思维堵点，明确目标，联立，求出对应量，这样逻辑清晰，目的明确，总结归纳，形成解题的一般方法。3.教学反思3.1培养学生的极限思维充分利用特殊位置，找到突破口，加强分析，善于观察，及时发现特殊要素，培养提高学生极限思维水平。3.2提升学生的抽象思维水平通过分析具体情境，透过现象看本质，发现共性，总结解题方法和技巧，尝试多角度分析，培养思维发散性，更深层次的挖掘题目的价值，挖掘情境的价值，对于题目变式，适当推广，提升思维深刻性。3.3提升思维广度与深度充分利用情境，利用具体情境深入思考，不断训练学生进行相似联想，提升思维广度，对具体问题，深入研究，多角度探索，达到一定的深度。3.4提升逻辑思维水平通过层层剖析，梳理逻辑关系，打通学生思维通道，构建学生解题的模型，分类汇总，掌握模型，应用模型。3.5培养多种思维类型结合具体情境，从熟悉的入手，过渡到关联，再过渡到综合的，培养学生逆向思维，分析思维，直觉思维，发散思维，线性思维，聚合思维等，通过解题分析，解后对比，变式拓展，总结归纳，逐渐完成思维建构，打通学生思维最后一公里，通过具体问题的解决，体会解决特殊问题的流程，通过拓展变式体会一般问题的解决模式，提升问题解决能力，培养多角度思考，培养多种思维类型，提供思维类型运用情境，能运用具体情境中，在具体情境中培养深化思维。4.总结解析几何中的三点共线问题，是经典常考题目，对于学生的数学运算，逻辑推理具有较高要求，不仅运算复杂，还思维量大，本文通过新视角，从三点共线角度，根据情境分为两大类：一是已知三点共线推出和证明有关问题，二是已知有关条件证三点共线或转化为证明三点共线问题，教学过程对于题目条件要加强分析，可以从以下几个方面：一是分析各个条件与已有知识之间的关系，二是剖析解决问题用到的思想方法，三是分析内在逻辑关系，四是对于题目给的条件可以适当变式，变更比例系数，来充分