高考数学中解析几何题的多角度解法研究与教学启示 论文

2021年安徽省中小学教育教学论文评选高考数学中解析几何题的多角度解法研究与教学启示摘要：从一道椭圆定点问题的求解思路出发，将结果推广到一般的圆锥曲线的情方式对条件，将其拓展到双曲线与抛物线中，得到一般性的结论。关键词：圆锥曲线；多角度研究；定点问题；思维拓展引年全国新高考I222020年全国I卷数学第20志——数学教学，对其进行了多角度研究.一、问题分析x2 y21．例1已知椭圆C： +的离心率为2，且过点（1）求C的方程：

a2 b2 2在C为定值．AM⊥AN，所以得出他们的斜率之积为定值-1，进而可以求出直线MN过定点。源于课本，人教A版数学选修4-4坐标系与参数方程第33页的例3：O为坐标原点，B是抛物线y2px(pOA^OB,OM^AB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程。O换成了椭圆上的定点2017年全国I卷的第20题，发现他们有哪些共同点？（2017（2017年全国I卷的第20题）已知椭圆C：xy+ >0)，四点Pæ 3ö

æ3ö

a2 b2 1C1，222上．÷ ç ÷è ø è ø（1）求C的方程；l不经过点且与C相交于A、BA与直线B的斜率的和为12021年安徽省中小学教育教学论文评选-1，证明：l过定点．2017年全国I卷的第20题的第二小问考察的是椭圆上的一定点与椭圆上的两个动点的斜率之和为定值-1，则该两个动点所在的直线过定点.而2020年全国新高考I卷数学压轴题的第二小问考察的是椭圆上的一定点与椭圆上的两个动点的斜率之积为定值-1问题1：椭圆上的一定点与椭圆上的两个动点的斜率之和为定值，则该两个动点所在的直线是否一定过定点？问题2：椭圆上的一定点与椭圆上的两个动点的斜率之积为定值，则该两个动点所在的直线是否一定过定点？笔者通过研究发现以下一般性的结论：二、归纳结论x2 y2结论1：过椭圆C： +

上一定点P(x,y

)作直线PB，斜率分a2 b2 0 0别为,k2，交椭圆C于A，B两点且.2则当l时，证明：直线AB的斜率为定值，定值为b.20a2y0æ 2 ö当l¹0时，证明：直线AB过定点çx

-2y0,-y

2b- è0 l

0 la2ø其中当l时，直线AB的斜率为定值.2009年辽宁理科第20题就考过,（2009年辽宁x2 y2理科第20C： +A3)（1）求椭圆C的方程；

a2 b2 2是椭圆CAE的斜率与AF直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.我们进一步研究发现：x2 y2结论2：过椭圆C： +上一定点P(x,y

)作直线PB，斜率分a2 b2 0 0别为,k2，交椭圆C于A，B两点且k1k2.2则当l=b2a2

时，证明：直线AB的斜率为定值，定值为-y0.x0当l¹

b2 a22 la22 ö时，证明：直线AB过定点 x,- y .a2 çla2-b20

la2-b2 0÷è ø22021年安徽省中小学教育教学论文评选2 题目的多角度解法研究如果把上面的结论中的椭圆换成双曲线或抛物线，我们思考是否还有类似的结论呢？笔者经过研究发现：x2 y2结论3：过双曲线C： - b上一定点P(x,y

)作直线PB，斜a2 b2 0 0率分别为,k2，交双曲线C于A，B两点且.则当l时，证明：直线AB的斜率为定值，定值为-

b2x0.00a2y0x当l¹0时，证明：直线AB过定点æx

-2y0,-y

2b2xö0.0ç0 l

0+ 2÷laè øx2 y2结论4：过双曲线C： - b上一定点P(x,y

)作直线PB，斜a2 b2 0 0率分别为,k2，交双曲线C于A，B两点且k1k2.则当l

b时，证明：直线AB的斜率为定值，定值为-y0.22a x022b2 2-

2 2- 2 ö当l¹-

时，证明：直线AB过定点a b,-la b .x ya2 çla2x y

la20÷è ø0 0结论5：过抛物线C：y2=2px上一定点P(x,0 0

)作直线PB，斜率分别为,k2，交抛物线C于A，B两点且.则当l时，证明：直线AB的斜率为定值，定值为-p.y0x当l¹0时，证明：直线AB过定点æx

-2y0,-y

2pö+ç0 l

0 l÷è ø证明：当l¹0时，设直线AB的方程为：xA(x1,),B(x2,y2)联立ìxÛ

y2-2pty-2pm=0\

ì+y2ptíy2px

íyy2pmî î12因为k

=-

y0+y2-

0=2p(1-

y0)

2p(y2-

y0)1 2 x

x x

x y2-y2

+y2-y21 0 2 0 1 0 2 032021年安徽省中小学教育教学论文评选 2p 2p

2p1y22y0

2pt2y0yy

yyy

y

2pm2pyty21 0 2 0

1 0 2 0 0 0将y2px代入化简得k=

2pty0

m=yt

-2pty00 00 0 1 2 -m+yt0 0æ ö

æ 2y2p ö所以直线y+y

-2p-

2y0恒过点x-

0， -y .ç 0 l÷ 0 l

ç0 l l 0÷è ø è ø0 0结论6：过抛物线C：y2=2px上一定点P(x,0 0

)作直线PB，斜率分别为,k2，交抛物线C于A，B两点且k1k2.证明：直线AB过定点

x-2p,-yæ öç0 l 0÷è ø证明：设直线AB的方程为：xA(x1,),B(x2,y2)联立ìxÛ

y2-2pty-2pm=0\

ì+y2ptíy2px

íyy2pmî î12因为kk

=-

y y-20×2

0=2p(1-

y0)

2p(y2-×

y0)12 x

x x

x y2-y2

y2-y21 0 2 0 1 0 2 02p 2p

4p2

4p2= × = =y+y y+y

(y+y

)(y

+y)

-2pmpyt+y21 0 2 0 1 0 2 0 0 0将y2px代入化简得kk= 2p

m=yt

-2p0 00 0 12 -m+yt0 0所以直线：xt(y0)0-3 引申拓展

2pl

恒过点æ-çç0

2pl

öy0yø2+笔者进一步研究2020年全国I卷数学第20题：已知B分别为椭圆E:xy2+a2的左、右顶点，G为E的上顶点，AG，P为直线x上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.42021年安徽省中小学教育教学论文评选(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.笔者发现上面这道题对一般的椭圆也同样适用，得到一系列的结论。结论7：已知B分别为椭圆E:

x2 y2+22 >0)的左、右顶点，P为直线+2a bx¹0,m¹PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.2 ö证明：直线CD过定点Mçm,0è ø证明：设C(1,1,D(2,y2,P(,t)若t¹0，设直线CD的方程为x.由于直线PA的方程为y=

tm

(x，所以

= tm

(1

+a)……①.直线PB的方程为y=

tm-a

(x-a)，所以y2

=tm-a

(2

-a)……②.联立①②消t可得1(2-ama)=y2(1am-a).又因为x2

2 y2+2，所以y2=-b(x2-a2)222a2 b2222

2 a2 22

b2所以1y2(2-ama)=y2

(1am-a=-2(2a

-a(1am-a)22即ay2+a)+b22

(1a(2am-a)0将,x2ky2代入上式得12a2mab2mak2yy12

kb2ay

y2

b2maa20…③1将x1

2 2代入x代入xya2 b2

2 22 22k2b2a2)y2b2klyb2l2-a2)0.所以y+y2bkl,yy

bl-ba.代入③式得

1 2 b2k2+a2

12=b2k2+a252021年安徽省中小学教育教学论文评选a2mab2mak2b22a22k2b4maab2maa2b2k2a20即a2mab2mak2a2k2b2mamaab2k2a20即a2maamab2k2a2k2b2ab2k2a20即a2maamaaa20，即maamaa0a2 a2即 故直线CD的方程为x+m m

，即直线 过定点 CD MCD Mç

ö,0ø2 2, ,若t，则直线CD的方程为y，过点M0ö.综上，直线CD过定点M0, ,çm ÷

çm ÷è ø è ø我们平时学习时还要学会逆向思维，就是把条件和结论互换看看命题是否还成立，笔者发现本题条件和结论互换命题同样成立。结论8：已知B分别为椭圆E:

x2 y2+1a+1ab0)的左、右顶点，过 ( )2 2a b¹0,m¹±a)点作一条直线与椭圆E相交于C,D两点，若直线AC和BD相交于点P.a2证明：P点在定直线x 上.m证明：设C(1,1,D(2,y2,P(0,0)设直线CD的方程为x.由于直线AC的方程为y=

(x……①.直线BD的方程为y=

y2x2-a

(x-a)……②.联立①②消y可得

y2(1a) 0a= .1(2-= .-a62021年安徽省中小学教育教学论文评选又因为x2

2 y2+2，所以y2=-b(x2-a2)2a2 b22

1 a2 1x+a

yy(x+a)

a2yy

(x+a)

a2yy0

121 121

12 所以x

=a y2(x-a) b2(x2-a2a) b2(x

a)(x

a)0 1 2

1 2 1 2a2yy a2yyb-a)(ky-a) 2 2

( ( )( 2

……③12 122 é ùb kyym-a

y+y

+m-a1 2 ë

12 1 2 û将将xym代入xy+ 得a2 b2k2b2a2)y2b2yb2m2-a2)0.2b2km b2m2-b2a2,yy=.所以,yy=.

22 2 12

22 2代入③式得

bkbkx

a2b2m2-a2)0 x-a

2é22(

2 2)

22( )( 2(2

2 20 b kbm-a

-2kbmm-a

+m-a bkë û即x

a2ma)

a2ma)

ma 0 x-a

kb+a)-2kbm-k)

a2-a)

m-a22 22 22 202 2a a 即x 故P点在定直线x 上.0 m m我们发现2020年全国I卷数学第20题也是直线过定点问题，那么这题和结论1有没有联系呢？它能不能转化为结论1问题。2020年全国I卷数学第20题的第二种解法：x2(1)E的方程： +y29(2)设P(6,t)，因为A(-0),B0)，所以kPA1

=t,k9 PB

=t31

kPB.即kBD=3kAC.由点差法可得k

BC

.所以k9

BC.3ì xy设直线CD的方程为xlymm¹3,C(1,1,D(2,y2,联立í2 2îxy-9得l29)y22lym2-90.所以y+y

2lm -,y-

=m-9.21 2 l2122

l2因为k1，即gy21即3yyy-y-3)=03

x-3x

-3 3

12 1 21 2( 2) ( ( )( 2即3y2

m-3+y2

+m-372021年安徽省中小学教育教学论文评选即3l2m2-9)-2l2mm-3)m-329l2)0.因为m¹3，所以m=3.即直线CD过定点,0ö.2 ç2 ÷è ø进一步研究我们还可以把2020年全国I卷数学第20题进行改编得到下面的题目。2 +变式.已知A，B分别为椭圆E:xy2的左，右顶点，G为E的上顶点，AG.直线+a2x与E交于不同的两点C,D，直线x与直线BD交于点P.求证：当mn时，C,P三点共线．解析(1)由题意知G(0,1),A(-a,0),B(a,0)，∴AG-=a2-1，x2解得a，故椭圆E的标准方程为 +y2.9(2)由题可知直线CD的方程为xty,设C(1,1,D(2,y2，Pn,t)，ìx

t2

y2-9

D>0

2m m2-9联立íx2y2x得( )y+y

,yy= ，1 2 2 12 2t 9 t 9î + +tk k n-3C∵PA=PA=nk k n-3C

y2y1=21

1，kBDk

kPB=y

t n-3= y

n，k =y = y，-9 9∵BC

1 1BD

2 2 ，\kk-3=-3y2

x2-3=

ty2-3

y2BCBD--3)

t2yy

tm-3(yy)m-321 2m2-9

12 1 2m2-9

m= = =t2m