第2章 图形变换

第二章图形变换二维图形几何变换三维图形几何变换窗口视口变换三维投影变换三维观察变换二维图形几何变换图形几何变换将几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程二维图形几何变换有平移、比例、旋转、错切、反射等几种。二维图形由点或由直线段组成，其中直线段则由其端点坐标定义，对它进行几何变换可归结为对点或对直线段端点的变换。平移变换对XY平面上的点P(x,y)、如果在平行于x轴方向上移动Mx单位，在平行于Y轴的方向上移动My单位，则可得到新的点P’(x’,y’)。比例变换

对XY平面上的点P(x,y)，通过对x,y坐标分别乘以各自的比例因子Sx和Sy，得到一个新的点P’(x’,y’)，即：若Sx＝sy>1，则图形放大，并远离原点；若Sx＝sy＜1，则图形缩小，并靠近原点；若Sx≠Sy，则图形畸变。比例变换旋转变换

对于XY平面上的点P(x,y)绕坐标原点逆时针转动某个角度值，得到一个新的点P’(x’,y’)，称这种变换为旋转变换。旋转变换齐次坐标技术齐次坐标是MaxwelL.E.A在1946年从几何的角度提出来的，它的基本思想是把一个n维空间的几何问题转换到n+1维空间中去解决。从形式上来说，用一个有n十1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的方法称为齐次坐标表示。一个n维空间的向量(x1，x2，…，xn)，其在n+1维空间中对应的向量即齐次坐标是(x1h．x2h，…，xnh，h)；相反，若已知n+1维空间中的一个向量即齐次坐标为(x1，x2，…，xn,h)，则对应在n维空间中的坐标为(x1/h，x2/h，…，xn/h)。齐次坐标表示不是唯一的，通常当h＝1时，称为规格化齐次坐标。二维几何变换的矩阵表示平移变换比例变换旋转变换二维组合变换依次求点P经过各个变换后的坐标，计算步骤是：计算P点经旋转后的新坐标点P1’计算P’经比例变换后的新坐标点P2’计算P2’’经平移变换后的新坐标点P3’首先求变换序列诸变换矩阵的乘积、得到一个新的变换矩阵，即组合变换矩昨，然后再对点施以组合变换，相对前面的方法要快得多。计算步骤如下：计算旋转与比例变换的组合变换矩阵乘以平移变换的矩阵在组合变换矩阵的作用下进行变换绕任一点的旋转变换将P1平移至坐标原点对原点旋转将P1点恢复原位，恢复到以前的坐标系中三维图形几何变换三维空间坐标系右手坐标系和左手坐标系齐次坐标三维图形几何变换平移变换比例变换绕Z轴逆时针旋转绕Y轴逆时针旋转绕X轴逆时针旋转三维几何组合变换三维空间中的点P先绕X轴旋转，然后绕Y轴旋转，再绕z轴旋转，求组合变换矩阵。以空间任意一线段AB作为旋转轴，点P绕AB顺时针旋转平移坐标系，使坐标系的原点与旋转轴的一个端点重合将线段AB先绕新坐标系中的X轴逆时针旋转，使AB落在xOZ坐标平面上,然后再绕Y轴顺时针旋轴,使AB与新的Z轴重合绕AB顺时针旋转的问题就转变成绕新的Z轴逆时针旋转再做一系列变换的逆变换．使AB恢复到原来坐标系中的位置二维视口变换

世界坐标系(wC：WordCoordjnates)世界坐标系是用户处理自己的图形时所采用的坐标系，坐标的大小及尺寸由用户确定。用户在使用图形系统时，对图形的定义及描述就是用的这种坐标系。设备坐标系(DC；DeviceCoordinates)与一个图形设备相关的坐标系叫设备坐标系。如显示屏就是以分辨率为坐标单位，而坐标原点常定义在左下角。绘图仪也有它的坐标系，即以某一角点为坐标原点，以精度为单位。规格化设备坐标系(NDC：NormalDeviceCoordinates)规格化设备坐标系是独立于具体物理设备的一种坐标系，它在X和Y方向都是从0到1。对每一个物理设备而言，NDC与DC仅仅是坐标值相差一个比例因子。它可以看成是一个抽象的图形设备，要输出到具体的设备时，只需乘上一个比例因子即可。我们在讨论图形输出时，通常是输出到规格化设备坐标系中的。窗口、视口及剪取

在实际应用中考察一个图形时，往往采用两种模型。一种是物理模型，它是用户在世界坐标系中描述的；另一种是逻辑模型，也就是在显示器上呈现的物体的图形，它是在设备坐标系中描述的。这个局部的区域是由用户在世界坐标系中指定，而且通常是矩形区域，称这个矩形区域为窗口(window)，指定或选取这样的一个区域称为开窗口。通常并不是把整个屏幕都用来显示窗口内的图形，而是在屏幕上指定一个较小的矩形区域．用于显示窗口内的图形，这个在屏幕上的矩形区域就称为视口(viewpoM)，它是用规格化设备坐标系进行描述的。窗口是在世界坐标系中指定待显示内容的区域，视口是在显示器(输出设备)上显示窗口内图形的区域。区分可见与不可见的过程就称为剪取(clipping)。窗口、视口及剪取视口变换过程与表示

由于窗口和视口所在的坐标系不同，为了把窗口内的图形正确地显示在视口内。就必须把宙口内的图形进行变换，这一变换过程就称为视口变换。视口变换是把世界坐标系中的图形正确地显示在屏幕上而进行的一系列图形几何变换，包括平移、比例等几何变换的组合。视口变换过程与表示平移变换：将窗口及其中的图形一起平移，使窗口的左下角与世界坐标系原点重合。比例变换：将窗口及其中的图形一起进行比例变换，使其结果与视口形状一致。平移变换：将视口平移到屏幕上正确的位置。视口变换过程与表示三维投影变换投影是把三维空间中的图形变换成二维平面上的图形，以解决在二维平面上显示或输出三维图形的问题。三维投影变换一个三维物体的投影是指从投影中心发射出去的经过物体上每一个点的投影射线与投影平面相交而在投影平面上产生的图形。投影可以分为二种基本类型：即平行投影和透视投影。如果投影中心到投影平面之间的距离是有限的，那么是透视投影；如果它们之间的距离是无限的，那么是平行投影。换句话说，如果投影射线相聚于一点，称为透视投影，如果投影射线相互平行，称为平行投影。平行投影

平行投影又分为二类，取决于投影的方向(投影射线的方向)与投影平面法矢量之间的关系，当投影射线与法线矢量一致(平行)时，为正投影，否则为斜投影。正投影正三面投影：投影平面与一个坐标平面平行．即投影射线与一根坐标轴平行；正等轴侧投影：投