平方差公式 省赛获奖

14.2乘法公式14.2.1平方差公式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.回忆：多项式与多项式相乘的法则1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式.2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式．(x+1)(x－1)；(2)(a+2)(a－2)；

(3)(3－x)(3+x)；(4)(2x+1)(2x－1).观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？等号的左边：两个数的和与差的积，等号的右边：是这两个数的平方差.=a2－4=4x2－1平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a－b)=a2－b2.a2－ab+ab－b2=归纳

请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？(a+b)(a－b)=a2－b2图1图2验证【例1】运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2).(2)(b+2a)(2a－b).【解析】

(1)(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4.(2)(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.只有符合(a+b)(a－b)的形式才能用平方差公式【例2】计算(1)102×98.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).【解析】（1）102×98=(100+2)(100-2)=1002－22=10000－4=9996.(2)原式=(y2－22)-(y2+5y-y-5)=y2－22－y2-5y+y+5=-4y+1.

从例题中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？总结经验（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；（3）总结规律：一般地，“第一个数”a的符号相同，“第二个数”b

的符号相反；（4）公式中的字母a,b可以是具体的数、单项式、多项式等；（5）不能忘记写公式中的“平方”．1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是()

（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a)；（3）(－a+b)(a－b)；（4）(x2－y)(x+y2)；（5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).

（2）（5）（6）【跟踪训练】1.(1＋x)(1－x)＝1－

2.(-3＋a)(-3－)＝

－a24.(0.3x－2)(

)＝4－0.09x23.(x＋a)(a

)＝a2–x25.(ab)(－x)＝x2－2.填空：使等式两边满足平方差公式x2a9-x-aba2b2-x-2-0.3x3.利用平方差公式计算：原式=(-2y-x)(-2y+x)=4y2－x2.【解析】原式=(5+2x)(5-2x)=25－4x2.【解析】原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]=(x+6-x+6)(x+6+x-6)=12×2x=24x.平方差公式的逆用a2－b2=

(a+b)(a－b)【解析】【解析】原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2+0.25)=(0.25－x2)(0.25+x2)=0.0625－x4.（5）100.5×99.5.【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5)=10000-0.25=9999.75.通过本课时的学习，需要我们掌握：平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式的逆用：

a2－b2=

(a+b)(a－b)1．（眉山·中考）下列运算中正确的是（）A．B．C．D．【解析】选B.在A中3a＋2a＝5a；C中；

D中.2.(威海·中考)已知a-b=1,则a2－b2－2b的值为()A．4 B．3C．1 D．0【解析】选C.a2－b2－2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.3.（湖州·中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是___________．【解析】图甲的面积=（a+b）(a-b)，图乙的面积=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.答案:（a+b）(a-b)=a2-b2

原式=(100-1)(100+1)×10001=(10000-1)(10000+1)=100000000-1=99999999.4.计算99×101×10001.【解析】5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)=(x16-y16)(x16+y16)=x32-y32.【解析】

科学探究

给出下列算式:32－12=8=8×1；52－32=16=8×2；72－52=24=8×3；92－72=32=8×4.（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？

（2）用含n的式子表示出来

(n为正整数）（3）计算20172－2015