第八章 可直线化的非线性回归分析

第八章可直线化的非线性回归分析学习目标掌握：非线性回归的直线化原理、可直线化的非线性回归的种类及其分析方法。123456432112345643211234564321正向直线关系负向直线关系曲线关系直线关系是两变量间最简单的一种关系。这种关系仅在变量的一定取值范围内可用，范围过大，散点图就偏离直线，需要借助于曲线描述。如果缩小研究范围，则任意非直线关系最后都可以用线性关系来近似，但范围过小，使用上不方便。(1)不能对变量间的关系有一个整体上的认识。(2)在不同取值范围内还要换用不同的方程。两变量间的非线性关系用来表示双变量间的关系有多种曲线。曲线类型直线类型直线回归方程曲线回归方程数据转化第一节第二节第四节非线性回归的直线化对数函数曲线可直线化的非线性回归分析第五节幂函数曲线第六节Logistic生长曲线倒数函数曲线第三节指数函数曲线第一节：非线性回归的直线化一、确定曲线类型的方法二、直线化的方法三、常见的可直线化的曲线类型四、常用曲线模型的直线化方法五、存在的问题非线性回归分为两种情况对于已知曲线类型，其回归效果有保证。同时在多数情况下，我们对所研究的对象有一定的了解，可以根据理论或经验给出可能的曲线类型，因此常用的是已知曲线类型的回归。已知曲线(公式)类型未知曲线(公式)类型一、确定曲线类型的方法非线性回归

已知曲线类型的回归

单细胞生物生长

生态学上种群增长

药物剂量与死亡率——“S”形概率对数曲线酶促反应动力学中的米氏方程是一种双曲线植物叶层中的光强度分布——指数函数散点图的方法来判断曲线类型Logistic曲线拟合

专业知识、经验或文献确定曲线类型单细胞生物生长初期符合指数函数增长，但若考虑到生长一定时间后，后期生长受到抑制，其生长曲线变成“S”形。酶促反应动力学中的米氏方程是一种双曲线。1散点图的方法2通过散点图，确定曲线类型，如果几种类型可供选择，可多做几次回归，进行比较，再确定曲线类型。确定了曲线类型之后，回归的任务就变成确定曲线公式中的参数，因此，也称为曲线拟合。1.通过比较剩余均方来判断曲线拟合的好坏一般情况可用剩余均方的大小，来判断拟合的优劣，剩余均方愈小，拟合愈好。但计算剩余平方和时，必须用实际观察值与回归估计值之差的平方和计算。曲线拟合的方法

2.相关指数的大小直接引入新变量。数学变换后，引入新变量。二、线性化的方法对数函数指数函数幂函数倒数函数S形曲线三、常见的可线性化的曲线类型对数函数指数函数四、常用曲线模型的直线化方法幂函数倒数函数S形曲线不是所有非线性方程都能用变量代换线性化。即使方程类型不对时，变量代换与线性回归仍可照常进行，但结果没有任何用途，强行使用会导致错误。只能使变换后数据的线性方程残差最小，采用线性化方法进行曲线回归后必须进行检验。五、存在的问题例1为研究鲟鱼的生长特性，测定了雌性鲟鱼体长（单位：cm）和体重（单位：kg），数据如下所示，试对鲟鱼的体重与体长进行回归分析体长x70.7098.25112.57122.48138.46148.00152.00162.00体重y1.004.856.599.0112.3415.5021.2522.11Logistic生长曲线特点开始增长缓慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达到某限度后，增长又缓慢下来，曲线略呈拉长的“S”，因此，也称为S型曲线。0xyK1+aK2K起始量终极量例2测定水稻某一品种米粒干重的增长过程，x为开花后天数（以开花日为0），y为米粒平均干重（单位：mg），结果如下表所示，试作回归分析。开花后天数x/d510152025303540干重y/mg1.54.17.913.618.220.521.721.9非线性回归方程分析的基本过程绘制散点图，结合专业知识和经验选择合适的函数进行线性化，并对原始数据进行变量