第七章 相关分析

第七章相关分析双变量关系的描述技术第七章相关分析7.1相关分析的概念和相关分析过程7.2两个变量间的相关分析7.3偏相关分析7.4距离分析7.1相关分析的基本概念与分析过程相关关系与相关分析

事物间的相互关系可以分为两种类型：函数关系和统计关系（相关关系）。函数关系是一一对应的确定性关系；统计关系则是不稳定、不确定的，意味着一个变量虽然受另外一个（或一组）变量影响，却并不由这一个（或一组）变量完全确定。例如家庭教育消费支出与家庭收入之间的关系就是一种相关关系。在复杂的教育系统中，事物与现象之间的联系大多表现为相关关系而不是函数关系。衡量事物（或变量）之间相关程度的强弱，并用适当的统计指标表示出来，这个过程就是相关分析。7.1相关分析的基本概念与分析过程线性相关分析与相关系数

研究两个变量间线性关系的程度，称为线性相关分析。相关系数是描述这种线性关系程度和方向的统计量，用r表示。如果变量Y与X间是函数关系，则r=1或r=-1;如果变量Y与X间是统计关系，则-1<r<1,如果x,y变化的方向一致，则称为正相关，r>0，如果x,y变化的方向相反，则称为负相关，r<0；而r=0表示无线性相关，一般地，|r|>0.95存在显著性相关；|r|0.8高度相关；0.5|r|<0.8中度相关；0.3|r|<0.5

低度相关；|r|<0.3关系极弱，认为不相关相关系数的值，仅仅是一个比值。它不是由相等单位度量而来(即不等距)，也不是百分比，因此，不能直接作加、减、乘、除运算。相关系数只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度，并不能揭示两者之间的内在本质联系。存在相关的两个变量，也不一定存在因果关系。散点图X(丈夫收入);Y(妻子收入)YXP(xi,yi)Y=kkP(xi,yi)+--+共变异数(协方差)=+--+散点越集中于1、3象限，共变异数的和正值越大；散点越集中于2、4象限，共变异数的和负值越大；散点越均匀分布于各象限，共变异数的和越趋近于0。相关分析的原理若＞0，则x与y之间为正相关；若＜0，则x与y之间为负相关；若→0，则x与y之间无相关关系。

相关分析中的可能错误

相关系数r是对两个变量之间线性关系的简单度量，因此当r＝0时，只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系，比如，它们之间可能存在非线性关系，如图(e)就属于这种情况。

相关分析中的可能错误

r的计算涉及到变量的标准差和协方差，其数值大小易受极端值的影响，特别是与自变量x的变化范围有很大关系。这时会产生两种情况：—是多数观察值不相关时，个别极瑞值引起中度相关，如图8．4（a）；二是大多数观察值存在线性相关，个别极端值使观察数据呈非线性相关．如图8．4（b）。

相关分析中的可能错误

在对两个时间数列的相关分析中，r所表现的相关程度同样本数据的时间范围有很大关系。比如．两个现象在某段时期内的相关关系为线性的．而整个发展过程可能是非线性的，如图(a)；或者在某段时期内无线性关系，而整个发展过程可能存在线性关系，如图(b)相关分析中的可能错误根据样本数据计算的r带有—定的随机性，样本数据越少，随机性则越大。对于不相关的两个变量计算出的r不—定为0，有时甚至会很高。但较大的r值不一定就意味着两个变量之间确实存在着较高的相关；反之，较小的r也不一定就意味着变量之间无相关关系，这就是所谓的虚假相关。为避免出现分析上的错误，在实际应用r时，必须对r的显著性进行检验，r在统计上是否显著，才是它能否作为变量之间线性关系度量的依据。

7.2两个变量间的相关分析1定距—定距尺度的相关：积差相关

当两个变量都是正态连续变量，而且两者之间呈线性关系时，表示这两个变量之间的相关称为积差相关（PearsonCor.）。积差相关的使用条件两个变量都是由测量获得的连续性数据；两个变量的总体都是呈正态分布，或接近正态分布，至少是单峰的对称分布。必须是成对数据，而且每对数据之间必须是相互独立。两个变量之间呈线性关系。要排除共变因素的影响。样本容量要大于等于30，计算出的积差相关系数才具有有效意义。2定序—定序尺度的相关：等级相关

是指以等级次序排列或以等级次序表示的变量之间的相关。当测量得到的数据不是等距或等比数据，而是具有等级顺序的数据；或者得到的数据是等距或等比数据，但其所来自的总体分布不是正态的，不满足求积差相关的要求。这时就要运用等级相关系数。它主要包括斯皮尔曼(spearman)二列等级相关及肯德尔（Kendall’s）等级相关.

7.2两个变量间的相关分析斯皮尔曼二列等级相关当两个变量值以等级次序排列或以等级次序表示时，两个相应总体并不一定呈正态分布，样本容量也不一定大于30，表示这两变量之间的相关，称为等级相关。其相关系数的计算公式为

例如：10名高三学生学习潜在能力测验与自学能力测验成绩如下表所示，问两者相关情况如何？学生序号学习潜在能力自学能力等级差数差数平方X等级Y等级123456789109084767171716968666412355578910325786871092135.57.547.55.5109-110-0.5-2.51-0.52.5-111100.256.2510.256.2511总和18肯德尔和谐系数（Kendall’stau-b）当多个（两个以上）变量值以等级次序排列或以等级次序表示，描述这几个变量之间的一致性程度的量，称为肯德尔和谐系数。它常用来表示几个评定者对同一组学生成绩用等级先后评定多次之间的一致性程度。无相同等级的情况当同一位评定者对所有被评事物的评定无相同等级时，其肯德尔和谐系数的计算公式为：例如，4位教师对6个学生作文竞赛的名次排列次序如表第（2）列所示，问评定的一致性程度如何？

有相同等级的情况当同一位评定者对所有被评事物的评定有相同等级时，其肯德尔和谐系数的计算公式为：同一位教师对5份研究生入学考试政治试卷根据标准先后3次等级评定结果如下表所示，问3次评定结果的相关程度如何？3定性—定距尺度的相关：质量相关质量相关是指一个变量为质，另一个变量为量，这两个变量之间的相关。如智商、学科分数、身高、体重等是表现为量的变量，男与女、优与劣、及格与不及格等是表现为质的变量。质与量的相关主要包括二列相关、点二列相关、多系列相关。

7.2两个变量间的相关分析二列相关当两个变量都是正态连续变量．其中一个变量被人为地划分成二分变量(如按一定标推将属于正态连续变量的学科考试分数划分成及格与不及格，录取与未录取，把某一体育项目测验结果划分成通过与未通过，达标与末达标，把健康状况划分成好与差，等等)，表示这两个变量之间的相关，称为二列相关。

二列相关的使用条件

①两个变量都是连续变量，且总体呈正态分布，或总体接近正态分布，至少是单峰对称分布。②两个变量之间是线性关系。③二分变量是人为划分的，其分界点应尽量靠近中值。④样本容量应当大于80。

二列相关系数的计算公式

例：15名初三毕业生，其中重点中学有5人，非重点中学有10人，其高中入学考试英语分数如表11.10,问中学的类别与英语考试成绩的相关情况如何？

点二列相关

当两个变量其中一个是正态连续性变量，另一个是真正的二分名义变量(例如，男与女，已婚和未婚，色盲与非色盲，生与死，等等)，这时，表示这两个变量之间的相关，称为点二列相关。

例如，18个五岁男女幼儿掷砂袋(150克)成绩如下表，问性别与投掷成绩的相关情况如何?

多系列相关

当两个变量都是正态连续变量，其中一个变量按不同质被人为地分成多种类别(两类以上)的正态名义变量。表示正态连续变量与多类正态名义变量之间的相关，称为多系列相关。例如，学生的智商与学习努力程度之间的关系，智商和学习努力程度都是正态连续变量，但学习努力程度被人为地分成“努力”、“中等”、“不努力”三种类别，二者的相关称为三系列相关。又如，不同学习成绩的学生对某种教学改革的态度分为“极其不赞成”、“不赞成。、“不置可否”、“赞成”、“极其赞成”。学习成绩与态度之间的相关称五系列相关。

多系列相关系数的计算公式

4定性—定性尺度的相关：品质相关

两个变量都是按质划分成几种类别，表示这两个变量之间的相关称为品质相关。如，一个变量按性别分成男与女，另一个变量按学科成绩分成及格与不及格；又如，一个变量按学校类别分成重点及非重点，另一个变量按学科成绩分成优、良、中、差，等等。根据两个变量的性质及所分类别的多少，分为四分相关、φ相关及列联相关。

7.2两个变量间的相关分析四分相关

当两个变量都是正态连