8-6-1直线与直线的垂直-人教A高中数学课件

高一数学第二册第八章：

立体几何初步空间点、线、面之间的位置关系直线与直线的垂直一、学习目标理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.二、问题导学1.异面直线(1)定义：不同在

的两条直线.(2)画法：任何一个平面内2.两条直线的位置关系一个没有3.两个定理(1)基本事实4①文字语言：平行于同一条直线的两条直线

.②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒

.③作用：证明空间两条直线平行.(2)等角定理①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

.②作用：证明两个角相等或互补.平行a∥c相等或互补一.平面内两直线的夹角(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.三、点拨精讲二、异面直线所成的角1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间

一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的

(或

).2.范围：

.特别地，当θ＝

时，a与b互相垂直，记作

.任意锐角直角0°<θ≤90°90°a⊥b思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(

)2.异面直线所成角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据需要合理选择该点.(

)3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直.(

)√××√例1

如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：题型一、求异面直线所成的角(1)BE与CG所成的角；解∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.(2)FO与BD所成的角.解连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.反思感悟求两异面直线所成角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.跟踪训练1

如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝

，AE＝2.(1)求直线BC和EG所成的角；解连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，∴直线BC和EG所成的角是45°.(2)求直线AE和BG所成的角.解∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.∴∠FBG＝60°，∴直线AE和BG所成的角是60°.题型二、直线与直线垂直例2

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.证明如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D1綉BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，连接AC，AD1，易证AC＝AD1，又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.

要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.反思感悟跟踪训练2

如图在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.证明取CC′的中点F，连EF，BF，∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF∵E为AC的中点，F为CC′的中点，在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.四、课堂小结1.知识清单：(1)平面内两直线的夹角.(2)异面直线所成的角.(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.五、当堂检测1.垂直于同一条直线的两条直线一定A.平行

B.相交

C.异面

D.以上都有可能√2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是A.SB

B.SCC.BC D.AB√3.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是A.相交

B.异面

C.平行

D.垂直√4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________.60°解析依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.5.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱B