一轮复习学案作业第三章3.1导数的概念及运算Word版含解析【高考】

§3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f

(ax＋b)的复合函数)的导数．5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1．导数的概念(1)一般地，函数y＝f

(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f

x0＋Δx－f

x0,Δx)，我们称它为(2)如果函数y＝f

(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f

(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′.2．导数的几何意义函数y＝f

(x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f

(x)在点P(x0，f

(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导数f

(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f

(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f

(x)＝sinxf′(x)＝cosxf

(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf

(x)＝exf′(x)＝exf

(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axlnaf

(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f

(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f

(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f

(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f

(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f

x,gx)))′＝eq\f(f′xgx－f

xg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f

(g(x))的导数和函数y＝f

(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．6．定积分的性质(1)ʃeq\o\al(b,a)kf

(x)dx＝kʃeq\o\al(b,a)f

(x)dx(k为常数)；(2)ʃeq\o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃeq\o\al(b,a)f1(x)dx±ʃeq\o\al(b,a)f2(x)dx；(3)ʃeq\o\al(b,a)f

(x)dx＝ʃeq\o\al(c,a)f

(x)dx＋ʃeq\o\al(b,c)f

(x)dx(其中a<c<b)．7．微积分基本定理一般地，如果f

(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f

(x)，那么ʃeq\o\al(b,a)f

(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|eq\o\al(b,a)，即ʃeq\o\al(b,a)f

(x)dx＝F(x)|eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f

(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f

(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．3．ʃeq\o\al(b,a)f

(x)dx的值是否总等于曲线f

(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？提示不是．函数y＝f

(x)在区间[a，b]上连续且恒有f

(x)≥0时，定积分ʃeq\o\al(b,a)f

(x)dx的值才等于由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f

(x)所围成的曲边梯形的面积．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f

(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)＝[f

(x0)]′.(×)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(4)函数f

(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(×)题组二教材改编2．若f

(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.答案2e解析∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3．曲线y＝1－eq\f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为____________．答案2x－y＋1＝0解析∵y′＝eq\f(2,x＋22)，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三易错自纠4．如图所示为函数y＝f

(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f

(x)，y＝g(x)的图象可能是()答案D解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f

(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f

(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．设f

(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________.答案－eq\f(2,3)解析因为f′(x)＝－eq\f(2,3－2x)－2sin2x，所以f′(0)＝－eq\f(2,3).6．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案(－ln2,2)解析设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝＝－2，所以－x0＝ln2，所以x0＝－ln2，所以y0＝eln2＝2，所以点P的坐标为(－ln2,2)．7．＝________.答案2解析由题意得＝＝＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)－cos\f(π,2)))－(sin0－cos0)＝2.导数的运算1．已知f

(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，则f′(x)＝________.答案eq\f(4,4x2－1)解析f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(2x－1,2x＋1)))′＝eq\f(1,\f(2x－1,2x＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1)))′＝eq\f(2x＋1,2x－1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x－1′2x＋1－2x－12x＋1′,2x＋12)))＝eq\f(4,4x2－1).2．已知f

(x)＝sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f(x,4)))，则f′(x)＝________.答案－eq\f(1,2)cosx解析因为f

(x)＝sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)sinx，所以f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)sinx))′＝－eq\f(1,2)(sinx)′＝－eq\f(1,2)cosx.3．f

(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝______.答案1解析f′(x)＝2019＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2020＋lnx，由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1.4．(2020·葫芦岛模拟)已知函数f

(x)的导函数为f′(x)，f

(x)＝2x2－3xf′(2)＋lnx，则f′(2)等于()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,4)C.eq\f(17,4)D.eq\f(17,8)答案D解析∵f

(x)＝2x2－3xf′(2)＋lnx，∴f′(x)＝4x－3f′(2)＋eq\f(1,x)，将x＝2代入，得f′(2)＝8－3f′(2)＋eq\f(1,2)，得f′(2)＝eq\f(17,8).思维升华(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)(2020·白山期末)已知函数f

(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f

(x)在x＝0处的切线方程为()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0答案B解析∵f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex，∴f′(1)＝(4－a)e＝3e，解得a＝1，即f

(x)＝(2x－1)ex，f

(0)＝－1，则f′(x)＝(2x＋1)ex，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f

(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.(2)已知函数f

(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f

(x)相切，则直线l的方程为______________．答案x－y－1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f

(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝1＋lnx0x0，))解得x0＝1，y0＝0.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2求参数的值(范围)例2(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________.答案1解析由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13＋a＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.(2)函数f

(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)答案B解析函数f

(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝eq\f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－eq\f(1,x).因为x>0，所以2－eq\f(1,x)<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数y＝f

(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f

(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y＝f

(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f

(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf

(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝______.答案0解析由题图可知曲线y＝f

(x)在x＝3处切线的斜率等于－eq\f(1,3)，∴f′(3)＝－eq\f(1,3).∵g(x)＝xf

(x)，∴g′(x)＝f

(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f

(3)＋3f′(3)，又由题图可知f

(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.命题点4两曲线的公切线例4若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案1－ln2解析设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线方程分别为y－lnx1－2＝eq\f(1,x1)(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)(x－x2)，化简得y＝eq\f(1,x1)x＋lnx1＋1，y＝eq\f(1,x2＋1)x－eq\f(x2,x2＋1)＋ln(x2＋1)，依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1)，,lnx1＋1＝－\f(x2,x2＋1)＋lnx2＋1，))解得x1＝eq\f(1,2)，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面(1)已知切点A(x0，f

(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝f

x1，,y0－y1＝f′x1x0－x1))求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练1(1)设曲线y＝eq\f(1＋cosx,sinx)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.答案－1解析∵y′＝eq\f(－1－cosx,sin2x)，∴＝－1.由条件知eq\f(1,a)＝－1，∴a＝－1.(2)已知f

(x)＝x2，则曲线y＝f

(x)过点P(－1,0)的切线方程是______________________．答案y＝0或4x＋y＋4＝0解析设切点坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴xeq\o\al(2,0)＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.(3)已知直线l为函数y＝ex图象的切线，若l与函数y＝－x2的图象相切于点(m，－m2)，则实数m必定满足()A．m<－eq\f(e,2) B．－eq\f(e,2)<m<－1C．－eq\f(e,4)<m<0 D．－1<m<－eq\f(e,4)答案D解析曲线y＝－x2在点(m，－m2)处的切线的斜率为y′|x＝m＝－2m，所以直线l的方程为y＋m2＝－2m(x－m)，即y＝－2mx＋m2.设直线l与y＝ex的切点为(x0，)，则直线l的方程为y－＝(x－x0)，即y＝x＋(1－x0).又直线l与两函数的图象都相切，所以消去x0整理得m＝2ln(－2m)－2，且m<0.即方程m＝2ln(－2m)－2有小于零的解．设f

(m)＝m＋2－2ln(－2m)，m<0，则f′(m)＝1－eq\f(2,m)>0，故f

(m)单调递增，又f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(e,2)))＝2－eq\f(e,2)－2lne<0，f

(－1)＝1－2ln2<0，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(e,4)))＝2－eq\f(e,4)－2lneq\f(e,2)>0，可得－1<m<－eq\f(e,4).定积分命题点1定积分的计算例5(1)若ʃeq\o\al(T,0)x2dx＝9，则常数T的值为________．答案3解析∵ʃeq\o\al(T,0)x2dx＝eq\f(1,3)T3＝9，T>0，∴T＝3.(2)若ʃeq\o\al(1,0)f

(x)dx＝1，ʃeq\o\al(2,0)f

(x)dx＝－1，则ʃeq\o\al(2,1)f

(x)dx＝________.答案－2解析∵ʃeq\o\al(2,0)f

(x)dx＝ʃeq\o\al(1,0)f

(x)dx＋ʃeq\o\al(2,1)f

(x)dx，∴ʃeq\o\al(2,1)f

(x)dx＝ʃeq\o\al(2,0)f

(x)dx－ʃeq\o\al(1,0)f

(x)dx＝－1－1＝－2.命题点2定积分的几何意义例6(1)计算ʃeq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝________.答案eq\f(π,4)解析∵y＝eq\r(1－x2)，∴x2＋y2＝1，y≥0.∴ʃeq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx的几何意义为圆x2＋y2＝1在第一象限内的面积．∴ʃeq\o\al(1,0)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(1,4)π.(2)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2D．4答案D解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x，,y＝x3，))解得x＝－2或x＝0或x＝2.所以直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积应为S＝ʃeq\o\al(2,0)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,4)x4))))eq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×22－\f(1,4)×24))－0＝4.思维升华(1)计算定积分可直接利用微积分基本定理，或将被积函数变形后利用微积分基本定理进行计算．(2)利用定积分的几何意义可计算定积分或求平面图形的面积．跟踪训练2(1)已知f

(x)＝3x2＋2x＋1，若ʃeq\o\al(1,－1)f

(x)dx＝2f

(a)，则a＝________.答案－1或eq\f(1,3)解析ʃeq\o\al(1,－1)f

(x)dx＝ʃeq\o\al(1,－1)(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|eq\o\al(1,－1)＝4＝2f

(a)，f

(a)＝3a2＋2a＋1＝2，解得a＝－1或eq\f(1,3).(2)曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．答案2eq\r(3)－eq\f(2π,3)解析令2sinx＝1，得sinx＝eq\f(1,2)，当x∈[0，π]时，得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6)，所以所求面积S＝＝＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).1．已知函数f

(x)＝eq\f(1,x)cosx，则f

(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))等于()A．－eq\f(3,π2)B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π)D．－eq\f(1,π)答案C解析因为f′(x)＝－eq\f(1,x2)cosx＋eq\f(1,x)(－sinx)，所以f

(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(1,π)＋eq\f(2,π)×(－1)＝－eq\f(3,π).2．(2020·人大附中月考)曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线的斜率是()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案D解析y′＝eq\f(x＋1′x－1－x＋1x－1′,x－12)＝－eq\f(2,x－12)，故曲线在点(3,2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－eq\f(2,3－12)＝－eq\f(1,2)，故选D.3.已知函数f

(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq\f(f

2－f

1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是()A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2)答案B解析由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f

(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵eq\f(f

2－f

1,2－1)＝a，∴易知f′(1)<a<f′(2)．4．已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))答案A解析求导可得y′＝eq\f(－4,ex＋e－x＋2)，∵ex＋e－x＋2≥2eq\r(ex·e－x)＋2＝4，当且仅当x＝0时，等号成立，∴y′∈[－1,0)，得tanα∈[－1,0)，又α∈[0，π)，∴eq\f(3π,4)≤α<π.5．(2019·重庆期中)已知函数f

(x)＝ex＋ae－x为偶函数，若曲线y＝f

(x)的一条切线的斜率为eq\f(3,2)，则切点的横坐标等于()A．ln2B．2ln2C．2D.eq\r(2)答案A解析因为f

(x)是偶函数，所以f

(x)＝f

(－x)，即ex＋ae－x＝e－x＋ae－(－x)，解得a＝1，所以f

(x)＝ex＋e－x，所以f′(x)＝ex－e－x.设切点的横坐标为x0，则f′(x0)＝＝eq\f(3,2).设t＝(t>0)，则t－eq\f(1,t)＝eq\f(3,2)，解得t＝2，即＝2，所以x0＝ln2.故选A.6．(2019·东北三校联考)等于()A．0B.eq\f(π,4)－eq\f(1,2)C.eq\f(π,4)－eq\f(1,4)D.eq\f(π,2)－1答案B解析＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2).7．已知f

(x)＝eq\f(1,2)x2＋2xf′(2020)＋2020lnx，则f′(1)＝________.答案－2021解析由题意，得f′(x)＝x＋2f′(2020)＋eq\f(2020,x)，所以f′(2020)＝2020＋2f′(2020)＋1，解得f′(2020)＝－2021，所以f′(x)＝x＋eq\f(2020,x)－4042，所以f′(1)＝1＋2020－4042＝－2021.8．过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程为__________________．答案x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0解析设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2.故切线方程为y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)，即y－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)．即2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，(2xeq\o\al(3,0)－2xeq\o\al(2,0))－(xeq\o\al(2,0)－1)＝0，(x0－1)·(2xeq\o\al(2,0)－x0－1)＝0.解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f(5,4)(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.9．(2019·河南息县高中月考)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为________．答案eq\r(2)解析当曲线y＝x2－lnx在点P处的切线与直线y＝x－2平行时，切点P到直线y＝x－2的距离最小．对函数y＝x2－lnx求导，得y′＝2x－eq\f(1,x).由2x－eq\f(1,x)＝1，可得切点坐标为(1,1)，故点(1,1)到直线y＝x－2的距离为eq\r(2)，即为所求的最小值．10．设a>0，若曲线y＝eq\r(x)与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.答案eq\f(4,9)解析封闭图形如图中阴影部分所示，则解得a＝eq\f(4,9).11．已知曲线f

(x)＝xlnx在点(e，f

(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，求实数a的值．解因为f′(x)＝lnx＋1，所以曲线f

(x)＝xlnx在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f

(e)＝e，则曲线f

(x)＝xlnx在点(e，f

(e))处的切线方程为y＝2x－e.由于切线与曲线y＝x2＋a相切，故可联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋a，,y＝2x－e，))得x2－2x＋a＋e＝0，所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e.12．(2020·河北卓越联盟月考)已知函数f

(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f

(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f

(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f

(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以要求的切线方程为y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，所以直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又直线l过点(0,0)，则(3xeq\o\al(2,0)＋1)(0－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16＝0，整理得xeq\o\al(3,0)＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．13．(2019·宜昌三校模拟)已知函数f

(x)＝eq\f(1,4)x2＋cosx的图象在点(t，f

(t))处的切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象是()答案A解析对f

(x)求导，得f′