中考数学复习：专题(七)　反比例函数综合题

专题(七)反比例函数综合题1．(2021·百色)如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象与l交于点A(m，3)，△AOM的面积为6.(1)求m，k的值；(2)在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．解：(1)由题意可得：eq\f(1,2)AM·OM＝6，∴eq\f(1,2)m·3＝6，即m＝4，∴A(4，3)，∴k＝xy＝12(2)∵l⊥y轴，∴OB＝OA＝eq\r(OM2＋AM2)＝5，∴B(5，0).设直线AB的表达式为y＝ax＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝3，,5a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝15，))∴y＝－3x＋152．(2021·鄂尔多斯)如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象经过点E，与BC交于点F，且CF－BE＝1.(1)求反比例函数的解析式；(2)在y轴上找一点P，使得S△CEP＝eq\f(2,3)S矩形ABCD，求此时点P的坐标．解：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝4，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝eq\r(32＋42)＝5，∵CF－BE＝1，∴CF＝6，∴F的横坐标为－6，设F(－6，m)，则E(－4，m＋3)，∵E，F都在反比例函数图象上，∴－6m＝－4(m＋3)，解得m＝6，∴F(－6，6)，∴k＝－36，∴反比例函数的解析式为y＝－eq\f(36,x)(2)∵S△CEP＝eq\f(2,3)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)×CP×4＝eq\f(2,3)×8×3，∴CP＝8，∴P(0，14)或(0，－2)3．(2021·德阳)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象经过点A(2，6)，将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C.(1)求k的值及点C的坐标；(2)在y轴上有一点D(0，5)，连接AD，BD，求△ABD的面积．解：(1)把点A(2，6)代入y＝eq\f(k,x)中，得k＝2×6＝12，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(12,x)，由题意可得点B的横坐标为4，∴当x＝4时，y＝eq\f(12,4)＝3，∴B(4，3)，设直线AB的解析式为y＝mx＋n，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝2m＋n，,3＝4m＋n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(3,2)，,n＝9，))∴y＝－eq\f(3,2)x＋9，当x＝0时，y＝9，∴C(0，9)(2)由(1)知CD＝9－5＝4，∴S△ABD＝S△BCD－S△ACD＝eq\f(1,2)CD·|xB|－eq\f(1,2)CD·|xA|＝eq\f(1,2)×4×4－eq\f(1,2)×4×2＝44．(2021·盘锦)如图，直线y＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)于点D.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．解：(1)令y＝0，即0＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)，解得x＝1，∴点M(1，0)，即OM＝1，又∵S矩形OMAE＝OM·AE＝4，∴AM＝OE＝4，∴A(1，4)，把A(1，4)代入反比例函数y＝eq\f(k,x)，得k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(4,x)(2)当y＝4时，即4＝eq\f(4,5)x－eq\f(4,5)，解得x＝6，即D(6，4)，而A(1，4)，∴AD＝DE－AE＝6－1＝5，∵AB＝AD＝5，AM＝4，点B在x轴上，∴在Rt△AMB中，由勾股定理，得MB＝eq\r(52－42)＝3，①当点B在点M的左侧时，点B的横坐标为1－3＝－2，∴点B(－2，0)，②当点B在点M的右侧时，点B的横坐标为1＋3＝4，∴点B(4，0)，综上可得点B的坐标为(－2，0)或(4，0)5．(2021·镇江)如图，点A和点E(2，1)是反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)图象上的两点，点B在反比例函数y＝eq\f(6,x)(x＜0)的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F.(1)求k的值；(2)设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝－2；(3)连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：(eq\f(6,5)，eq\f(5,3))．解：(1)∵点E(2，1)是反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)图象上的点，∴eq\f(k,2)＝1，解得k＝2(2)在△ACF和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACF＝∠BDF，,∠CFA＝∠BFD，,AC＝BD，))∴△ACF≌△BDF(AAS)，∴S△BDF＝S△ACF，∵点A坐标为(a，eq\f(2,a))，F(0，m)，AC＝BD，则可得C(0，eq\f(2,a))，B(－a，－eq\f(6,a))，∴AC＝BD＝a，CF＝eq\f(2,a)－m，FD＝m－(－eq\f(6,a))＝m＋eq\f(6,a)，即eq\f(1,2)a×(eq\f(2,a)－m)＝eq\f(1,2)a×(m＋eq\f(6,a))，整理，得am＝－2(3)设点A坐标为(a，eq\f(2,a))，则C(0，eq\f(2,a))，D(0，－eq\f(6,a))，∵E(2，1)，∴在Rt△CED中，由勾股定理，得CE2＋DE2＝CD2，即22＋(1－eq\f(2,a))2＋22＋(1＋eq\f(6,a))2＝(eq\f(2,a)＋eq\f(6,a))2，解得a＝－2(舍去)或a＝eq\f(6,5)，∴点A的坐标为(eq\f(6,5)，eq\f(5,3))6．(2021·泸州)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点．(1)求一次函数的解析式；(2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于点M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求eq\f(PQ,MN)的值．解：(1)∵反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象过点A(2，3)，∴m＝2×3＝6，∴y＝eq\f(6,x)，把点B(6，n)代入，得n＝eq\f(6,6)＝1，∴B(6，1).∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点A(2，3)，点B(6，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,6k＋b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝4，))∴一次函数的解析式为：y＝－eq\f(1,2)x＋4(2)∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，∴直线l的解析式为：y＝－eq\f(1,2)x＋4－8＝－eq\f(1,2)x－4，当x＝0时，y＝－4，当y＝0时，x＝－8，∴M(－8，0)，N(0，－4)，∴OM＝8，ON＝4，∴MN＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)，联立方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x－4，,y＝\f(6,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－1，))∴P(－6，－1)，Q(－2，－3)，如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，则∠C＝90°，C(－2，－1)，∴PC＝4，CQ＝2，∴PQ＝eq\r(PC2＋CQ2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴eq\f(PQ,MN)＝eq\f(2\r(5),4\r(5))＝eq\f(1,2)7．(2021·东营)如图所示，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝eq\f(k2,x)交于A，B两点，已知点B的纵坐标为－3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D(0，－2)，OA＝eq\r(5)，tan∠AOC＝eq\f(1,2).(1)求直线AB的解析式；(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；(3)直接写出不等式k1x＋b≤eq\f(k2,x)的解集．解：(1)如图①，过点A作AE⊥x轴于点E，∴∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，tan∠AOC＝eq\f(AE,OE)＝eq\f(1,2)，设AE＝m，则OE＝2m，根据勾股定理，得AE2＋OE2＝OA2，∴m2＋(2m)2＝(eq\r(5))2，∴m＝1或m＝－1(舍去)，∴OE＝2，AE＝1，∴A(－2，1)，∵点A在双曲线y＝eq\f(k2,x)上，∴k2＝－2×1＝－2，∴双曲线的解析式为y＝－eq\f(2,x)，∵点B在双曲线上，且纵坐标为－3，∴－3＝－eq\f(2,x)，∴x＝eq\f(2,3)，∴B(eq\f(2,3)，－3)，将点A(－2，1)，B(eq\f(2,3)，－3)代入直线y＝k1x＋b中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k1＋b＝1，,\f(2,3)k1＋b＝－3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(3,2)，,b＝－2，))∴直线AB的解析式为y＝－eq\f(3,2)x－2(2)如图②，连接OB，PO，PC.由(1)知，直线AB的解析式为y＝－eq\f(3,2)x－2，∴D(0，－2)，∴OD＝2，由(1)知，B(eq\f(2,3)，－3)，∴S△ODB＝eq\f(1,2)OD·xB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，∴S△OCP＝2S△ODE＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，由(1)知，直线AB的解析式为y＝－eq\f(3,2)x－2，令y＝0，则－eq\f(3,2)x－2＝0，∴x＝－eq\f(4,3)，∴OC＝eq