算术几何平均不等式

算术-几何平均不等式知识网络

1、定义：n个正数a1a2…an的算术平均数为:其几何平均数为：知识网络

2、均值不等式及其变形.①a2+b2≥2ab(a、b∈R)②a,b∈R+时,a+b≥2知识网络

3、常见均值拓展.当a、b∈R+时，要点·疑点·考点1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)；(2)(a，b∈R+)；(3)(ab＞0)；(4)(a，b∈R).

以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取值要求.要点·疑点·考点2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则:其中当且仅当a＝b时取等号.要点·疑点·考点3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值；(2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值.

考点练习

C1、下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0能使不等式成立的条件个数是()A、1 B、2 C、3 D、4考点练习

A2、下列四个不等式：①x2+2＞2x；②x2+y2≥2(x–y–1)；③2x3+x2≥1+2x4；④其中恒成立的是()A、①② B、①③C、①②④ D、①②③④考点练习

B3、函数则f(x)与g(x)的大小关系是()A、f(x)≥g(x) B、f(x)＞g(x)C、f(x)≤g(x) D、f(x)＜g(x)考点练习

A4.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是()(A)甲车先到达B地(B)乙车先到达B地(C)同时到达(D)不能判定考点练习

5、在下列横线上填写恰当的符号(＞、≥、≠、=、＜、≤＝).①若x∈R且x≠1,则

1；②若0＜α＜1，则③若a

＞0，a≠1，则④a，b，c是不全相等的正数，有(a+b)(b+c)(c+a)

8abc，考点练习

6.已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.典型题选讲【例1】(1)已知求函数

的最大值；典型题选讲【例1】(2)已知x＞0，y＞0，且求x+y的最小值；典型题选讲【例1】(3)已在a

，b为实常数，求函数y=(x–a)2+(x–b)2的最小值.典型题选讲典型题选讲【例2】已知a，b，c∈R，求证：典型题选讲【例3】某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，试算：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？典型题选讲解析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系。设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有：S=xy由题意得40x+2×45y+20xy=3200因此S最大允许值是100米2，取得此最大值的条件是40x=90y而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应是15米。典型题选讲【例4】食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.典型题选讲解析:（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为:3[6x+6(x-1)+…+6×2+6×1]=9x（x+1）设平均每天所支付的总费用为y1元，则:即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。典型题选讲(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉。设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则:∴x=35时ƒ(x)有最小值，此时y2＜10989。∴该厂应该接受此优惠条件。典型题选讲【例5】甲、乙两地S千米，汽车从甲匀速行驶到乙地，速率不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系为b，固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示成速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求的最小值；(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：错误的原因在两次运用平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x＝2y，第二次须x＝y).

求条件极值的问题，基本