相似三角形的性质

相似三角形的性质相似三角形的———————，

各对应边——————.对应角相等成比例回顾1.三角形相似的判定方法有那些？两个角对应相等的两个三角形相似.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边对应成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的有哪些性质？3.相似三角形还有哪些性质？知识回顾思考

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、B′C′分别为BC、A′D′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？探索新知两角对应相等，两三角形相似∽∽已知所以∠B=∠B′（

）相似三角形的对应角相等∽（

）相似三角形的性质结论:相似三角形对应高的比等于相似比举例例9如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，垂足为点E.已知CD=2，AB=6，AC=4，求DE的长.∵

∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，在Rt△ABC与Rt△ACD中，解：∴

△ABC∽△ACD.又∵

CD，DE分别为它们的斜边上的高，∴

解得

DE=

∴

∠B=∠，

∠BAC=∠.又∵AT、分别为对应角∠BAC，∠的角平分线，∠==∠∴

∠BAT=∠BAC∴△ABT∽△∴求证：例10如图，已知△ABC∽△，

AT、分别为对应角∠BAC，∠的角平分线.类似地，我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比.证明△ABC∽△∵

问题2：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为Ｋ，AD

、

A′D′分别是BC、

B′C′边上的中线.问：AD

、

A′D′之间有什么关系？

D'C'B'A'DCBA

因为△ABC∽△A′B′C′所以又又∠B=∠B′所以△ABD∽△A′B′D′所以结论:相似三角形对应中线的比等于相似比解所以问题:4

图中(1)、(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，相似吗？(2)与(1)的相似比＝____，(2)与(1)的面积比＝____；周长比＝(3)与(1)的相似比＝_

__，(3)与(1)的面积比＝___；周长比＝探索4:12:12:13:19:13:1ABCA’B’C’

如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别等于什么？怎么来说明？探索理解ABCA'B'C'相似三角形的周长比等于相似比吗？从而由等比性质有结论：相似三角形的周长比等于相似比.思考已知：如图，△ABC∽△A’B’C’，它们的相似比是K，

AD、A’D’分别是高.求证：证明：∵△ABC∽△A’B’C’B’D’C’A’ABCD结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方.总结

通过前面的思考、探索、推理，我们得到相似三角形有如下性质；

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.归纳总结：举例例11如图，在△ABC中，EF∥BC，

S四边形BCFE=8，求S△ABC．，EF∥BC，解∵∴S△AEFS△ABC∴△AEF∽△ABC.又∵∴即S△ABC-S△ABCS四边形EBCF∴S△ABC-8S△ABC解得S△ABC=9.(相似比)△例12已知△ABC与的相似比为，且+=91，求△的面积.S△ABCS△

解的相似比为，△△ABC和∵设S△ABC=4x,则S△=9x,+=91，

又∵

S△ABCS△∴4x+9x=91,∴S△=9x=63解得x=7.ACB∴S△ABCS△已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3.（1）如果AD，A′D′分别为这两个三角形的对应高，且AD=9cm，求A′D′的长.（2）如果AE，A′E′分别为这两个三角形的对应中线，且A′E′=9cm，求AE的长.（3）如果AF，A′F′分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值.运用例：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米.求：BC、AC、A'B'、A'C'.C'B'A'CBA解：因为△ABC~△A'B'C'所以==ABBCA'B'B'C'6072又AB=15厘米B'C'=24厘米

所以A'B'=18厘米

BC=20厘米故AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）例.如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2

，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.2:1解：相似．因为相似比是所以面积比是4:11、两个相似三角形的相似比为1∶3，它们的对应高的比是

.2、两个相似三角形的相似比为2∶3，它们的对应中线的比是

.3、两个相似三角形的对应高的比为3∶5，它们的对角平分线的比是

.4、两个相似三角形的对应中线的比为9∶16，它们的相似比是

.5、两个相似三角形的对应角平分线的比为4∶9，它们的对应高的比是

.1∶32∶33∶59∶164∶9当堂训练当堂训练6.把一个三角形变成和它相似的三角形，（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍.（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍.7.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是________________.（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是______________.2510100cm、40cm50cm2、8cm21、相似三角形对应边成_____