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文档简介
相似三角形的性质相似三角形的———————,
各对应边——————.对应角相等成比例回顾1.三角形相似的判定方法有那些?两个角对应相等的两个三角形相似.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边对应成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的有哪些性质?3.相似三角形还有哪些性质?知识回顾思考
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结果.例如,在图中,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、B′C′分别为BC、A′D′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系?探索新知两角对应相等,两三角形相似∽∽已知所以∠B=∠B′(
)相似三角形的对应角相等∽(
)相似三角形的性质结论:相似三角形对应高的比等于相似比举例例9如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,DE⊥AC,垂足为点E.已知CD=2,AB=6,AC=4,求DE的长.∵
∠A=∠A,∠ACB=∠ADC=90°,在Rt△ABC与Rt△ACD中,解:∴
△ABC∽△ACD.又∵
CD,DE分别为它们的斜边上的高,∴
解得
DE=
∴
∠B=∠,
∠BAC=∠.又∵AT、分别为对应角∠BAC,∠的角平分线,∠==∠∴
∠BAT=∠BAC∴△ABT∽△∴求证:例10如图,已知△ABC∽△,
AT、分别为对应角∠BAC,∠的角平分线.类似地,我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比.证明△ABC∽△∵
问题2:如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为K,AD
、
A′D′分别是BC、
B′C′边上的中线.问:AD
、
A′D′之间有什么关系?
D'C'B'A'DCBA
因为△ABC∽△A′B′C′所以又又∠B=∠B′所以△ABD∽△A′B′D′所以结论:相似三角形对应中线的比等于相似比解所以问题:4
图中(1)、(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形,相似吗?(2)与(1)的相似比=____,(2)与(1)的面积比=____;周长比=(3)与(1)的相似比=_
__,(3)与(1)的面积比=___;周长比=探索4:12:12:13:19:13:1ABCA’B’C’
如图,已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,则△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别等于什么?怎么来说明?探索理解ABCA'B'C'相似三角形的周长比等于相似比吗?从而由等比性质有结论:相似三角形的周长比等于相似比.思考已知:如图,△ABC∽△A’B’C’,它们的相似比是K,
AD、A’D’分别是高.求证:证明:∵△ABC∽△A’B’C’B’D’C’A’ABCD结论:相似三角形的面积比等于相似比的平方.总结
通过前面的思考、探索、推理,我们得到相似三角形有如下性质;
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.归纳总结:举例例11如图,在△ABC中,EF∥BC,
S四边形BCFE=8,求S△ABC.,EF∥BC,解∵∴S△AEFS△ABC∴△AEF∽△ABC.又∵∴即S△ABC-S△ABCS四边形EBCF∴S△ABC-8S△ABC解得S△ABC=9.(相似比)△例12已知△ABC与的相似比为,且+=91,求△的面积.S△ABCS△
解的相似比为,△△ABC和∵设S△ABC=4x,则S△=9x,+=91,
又∵
S△ABCS△∴4x+9x=91,∴S△=9x=63解得x=7.ACB∴S△ABCS△已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为2:3.(1)如果AD,A′D′分别为这两个三角形的对应高,且AD=9cm,求A′D′的长.(2)如果AE,A′E′分别为这两个三角形的对应中线,且A′E′=9cm,求AE的长.(3)如果AF,A′F′分别为这两个三角形的对应角平分线,求的值.运用例:如图,△ABC~△A'B'C',它们的周长分别是60厘米和72厘米,且AB=15厘米,B'C'=24厘米.求:BC、AC、A'B'、A'C'.C'B'A'CBA解:因为△ABC~△A'B'C'所以==ABBCA'B'B'C'6072又AB=15厘米B'C'=24厘米
所以A'B'=18厘米
BC=20厘米故AC=60–15–20=25(厘米)A'C'=72–18–24=30(厘米)例.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2
,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.2:1解:相似.因为相似比是所以面积比是4:11、两个相似三角形的相似比为1∶3,它们的对应高的比是
.2、两个相似三角形的相似比为2∶3,它们的对应中线的比是
.3、两个相似三角形的对应高的比为3∶5,它们的对角平分线的比是
.4、两个相似三角形的对应中线的比为9∶16,它们的相似比是
.5、两个相似三角形的对应角平分线的比为4∶9,它们的对应高的比是
.1∶32∶33∶59∶164∶9当堂训练当堂训练6.把一个三角形变成和它相似的三角形,(1)如果边长扩大为原来的5倍,那么面积扩大为原来的__________倍.(2)如果面积扩大为原来的100倍,那么边长扩大为原来的__________倍.7.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14厘米,(1)它们的周长差60厘米,这两个三角形的周长分别是________________.(2)它们的面积之和是58平方厘米,这两个三角形的面积分别是______________.2510100cm、40cm50cm2、8cm21、相似三角形对应边成_____
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