小学数学-【课堂实录】公因数和最大公因数教学设计学情分析教材分析课后反思

《剪纸中的数学——公因数和最大公因数》——教学设计教学目标：1.经历小组合作探究，理解意义，掌握方法（90％）。通过解决“想剪完后没有剩余，正方形的边长可以是多少？”的具体情境问题，经历猜想、操作、验证、数据分析、发现规律等小组合作学习活动，理解公因数和最大公因数的意义和特点，学会用列举法、集合法、筛选法、短除法求两个数的公因数和最大公因数。感受解决问题方法的多样性，发展动手操作和数学抽象能力。2．经历观察、探究，发现求最大公因数的规律（85％）。经历求公因数与最大公因数的过程，总结发现如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最大公因数就是较小的数，如果两个数的公因数只有1，那么它们的最大公因数就是1。学会观察分析数据，灵活选择方法求两个数的最大公因数，发展策略优化能力。3．提升问题解决能力（90％）。经历用公因数和最大公因数的知识解决简单的实际问题，学会把生活问题转化为数学问题，发展运用数学知识和方法解决问题的能力。教学重难点:重点：通过摆一摆的操作和算一算的讨论交流，理解两个数的公因数和最大公因数的意义和特点。会灵活运用列举法、集合法、筛选法、短除法求两个数的最大公因数。难点：从实际问题中抽象出用公因数和最大公因数的知识解决问题。教学准备:教师准备：多媒体课件学生准备：长方形纸张每组2张，（长24厘米，宽18厘米），尺子，固体胶，边长（1厘米至6厘米）不等的正方形学具若干。教学方法:操作法、小组合作教学过程:一、提出问题数学化【环节目标】经历猜想，动手操作摆一摆，算一算小组活动，能够正确理解“剪完后没有剩余”的意义，感受到动手操作是解决问题最直接的方法。【评价任务】经历摆一摆、算一算的操作，找出正方形的边长是几厘米可以实现把长方形剪纸剪成边长是整厘米的正方形，且没有剩余。【教学活动设计】（一）看视频，谈话导入老师请大家欣赏一段小视频，（老师播放视频），看完视频，你都知道了什么？学生生自由回答。剪纸是中国民间传统艺术，今天我们要研究的数学知识就与剪纸中的正方形有关。小明班级要以窗花为主题布置剪纸艺术宣传栏，仔细看图，你发现了哪些数学信息？（长方形纸长24厘米，宽18厘米。剪成边长是整厘米数的正方形。剪完后没有剩余就好了。）1．什么是“整厘米”？谁来举个例子说一说。2．“剪完后没有剩余”又怎么理解呢？3．读懂了这些信息，你能提出什么数学问题呢？生预设：正方形的边长可以是多少厘米？生预设：正方形的边长最大是多少厘米？（二）猜想，思考，总结操作方法我们先来研究正方形的边长可以是几厘米呢？请同学们猜想一下。1.正方形的边长可能是多少厘米？生预设：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……2.正方形边长不可能超过多少厘米呢？为什么？3.为了验证大家的猜想，我们来动手摆摆看。4.想一想，你会怎么摆？摆的时候要注意什么？沿着长，沿着宽有顺序地摆。这样摆行吗？（课件出示有缝隙和有重叠的摆放图片）师小结：通过刚才的交流，我们发现应该有顺序，不留空隙，不重叠来摆正方形，摆完之后，我们应该观察一下，小正方形能够摆满长方形纸吗？长方形的纸是否有剩余。（三）操作验证，解决问题环节名称：小组合作——摆一摆请一个同学读一读小组合作要求摆一摆：用边长1-6厘米的小正方形，分别摆满长24厘米、宽18厘米的纸。填一填：完成操作记录单说一说：做好小组展示分工，做好交流准备。1．老师提出要求，请大家一边摆一边想，怎样能够快速找到答案，并且，用算式把摆的过程与结果表示出来。2．小组合作，分工，操作，记录，讨论，教师巡视指导！3．小组汇报选择两个代表小组交流：一组展示摆一摆边长1厘米和5厘米的小正方形后的图形，交流操作记录单，结论是边长1厘米的小正方形能摆满，没有剩余。边长5厘米的正方形不能摆满，有剩余。同时学生提出质疑，边长1厘米的小正方形为什么没有摆完，就得到了结论。一组同学表明1厘米的小正方形太难摆，多亏结合算式计算出了最后的答案。二组展示边长1厘米和6厘米的小正方形。摆的时候只摆了一行一列，就验证出1厘米的正方形能摆满长方形纸，6厘米的正方形也能摆满长方形纸，没有剩余。预设生1：你们组怎么只摆了一行，一列就找出了合适的正方形？引导学生思考。预设生2：只要横着摆一行没有剩余，竖着摆一列也没有剩余，剩下的就不用摆了。预设生1：为什么？预设生2：横着摆一行没有剩余，说明每行都没有剩余。竖着摆一列没有剩余，说明每一列都没有剩余，就能摆满。师小结：这位同学真是厉害，找到了简便方法，横着摆一行，竖着摆一列就可以判断出摆完后是否有剩余。还有哪些小组找到了这个方法请举手。另请两小组汇报边长2、3、4厘米的正方形拼摆操作记录单。【小结】我们通过摆一摆，算一算，验证了正方形的边长可以是1厘米，2厘米，3厘米，6厘米能摆满长方形纸，没有剩余，（出示边长1至6厘米全部摆完的图片课件）也就是说这张长方形的纸可以剪成边长是1厘米2厘米3厘米6厘米的正方形，没有剩余。二、建立模型，解决问题【环节目标】理解两个数的公因数和最大公因数的意义和特点。能灵活运用列举法、集合法、筛选法、短除法求两个数公因数和最大公因数。【评价任务】用列举法、集合法、筛选法、短除法求两个数的最大公因数。【教学活动设计】（一）逐步抽象，发现规律1．发现计算方法师：摆的过程中，我们用数学的方法表示出了摆的过程。我们一起观察一下这些算式，什么样的算式能表示摆满没有剩余？生预设：最后的结果是整数，没有余数，就没有剩余。师总结：看来，用24和18除以正方形边长，能除尽，没有余数，就可以验证正方形可以摆满，没有剩余。找到了这个方法，你能迅速计算并找出正方形边长7~18厘米中还有哪个能实现剪完后没有剩余？2．同桌合作算一算老师将7厘米至18厘米的正方形分成3组，请3组同学同桌两人合作计算。请学生交流，你计算后的发现？1组生预设：计算发现算式都有余数，说明边长7、8、9、10厘米的小正方行，摆满后都有剩余。2组生预设:计算发现算式都有余数，说明边长11、12、13、14厘米的小正方行，摆满后都有剩余。3组生预设:计算发现算式都有余数，说明边长15、16、17、18厘米的小正方行，摆满后都有剩余。师总结：通过算一算，我们发现正方形的边长是7至18厘米都不能摆满长方形纸有剩余，真的是这样吗？让我们看一下摆一摆后的图片（课件出示边长7至18厘米的正方形摆一摆长方形纸的图片），引导学生观察，真的是都不能摆满，有剩余。3．师生交流，发现数据关系为什么正方形边长是4、5厘米，7至18厘米就有剩余呢？仔细观察算式，你发现了什么？生预设：24和18能被1、2、3、6除完，没有余数。师：也就是24和18被1、2、3、6整除，说明1、2、3、6与24和18有什么数量关系？生预设：因数与倍数的关系。师：我们可以怎样表达24和18与1、2、3、6因数与倍数的关系？生预设：1、2、3、6是24和18的因数。生预设：24和18是1、2、3、6的倍数。原来1、2、3、6既是24的因数，又是18的因数，24和18共有的因数真的只有1、2、3、6吗？让我们一起来找找12和18的因数。（二）探究交流，学习新知1．有序的列举法师：让我们分别来找一找24和18的因数有哪些？谁来说一说？生预设：24的因数有：1、24、2、12、3、8、4、618的因数有：1、18、2、9、3、6学生边说老师边板书，引导学生对头写如：24的因数：1、2、3、4、6、8、12、2418的因数：1、2、3、6、9、18师：你发现了这位同学找因数的规律了吗？生预设：从1乘几，2乘几开始的。师：这样找因数有什么好处呢？生预设：不遗漏、不重复。师总结：同学们回答非常严谨，这样的找因数的方法，我们称为列举法，有顺序的列举。2．探究学习集合法请同学们观察24和18的因数，它们真的有共同的因数是1236。为了更清楚的看到24和18公有的因数，我们可以借助一种集合图的形式表示出来，大家请看：课件展示：24的因数在一个圈里，18的因数在一个圈里。怎样才能表示出24和18公有的因数呢？大家认真观察，（课件出示两个圈出现相交）你知道24和28共有的因数在哪表示吗？生预设：两个圈重叠的部分可以表示它们共有的因数。师总结：把24和18公有的因数填在椭圆重叠的部分，24和18剩下的各自独有的因数则填写在两旁，非常正确。这种集合图更加清晰直观地表示出了24和18共有的因数。介绍数学小文化：集合图又叫韦恩图，是19世纪英国教育学家韦恩最先开始使用的，使用韦恩图(集合图)的方法叫做集合法。3．学习认识公因数和最大公因数通过列举法和集合法，我们发现：1、2、3、6既是24的因数，也是18的因数，它们是24和18的公因数，其中6是最大的，是24和18的最大公因数。老师板贴出示课题，你能用自己的话说一说什么是公因数和最大公因数吗？学生自主发言。（三）回归情境，解决问题我们回到信息窗情境图中的问题，正方形的边长可以是多少厘米，没有剩余呢？除了用摆一摆和算一算，我们发现要解决这个问题，其实就是求什么？生预设：24和18的公因数师：问正方形的边长最大可以是多少厘米，其实就是求什么？生预设：求24和18的最大公因数。师:我们终于找到一种既不用摆也不用算的更简单的方法，如果老师改变一下情境图的信息，给同学们提供的是长18厘米宽12厘米的长方形纸，正方形的边长可以是几厘米，剪完后没有剩余呢？解决这个问题实际上就是求什么？生预设：就是求12和18的公因数。师：如果正方形边长最大可以是几厘米，其实就是求什么？生预设：求12和18的最大公因数（四）观察思考，小试牛刀1．练习列举法、集合法求最大公因数通过刚才的学习，你会用列举法和集合法求两个数的公因数和最大公因数吗？请同学们拿出作业纸，找出12和18的公因数和最大公因数。作业纸内容：12的因数有（）18的因数有（）12和18的公因数有（）12和18的最大公因数是（）12的因数18的因数12的因数18的因数2．交流中学习筛选法请同学交流答案，补充发现，学生还有不同的方法如下：12的因数有（）12和18的公因数有（）12和18的最大公因数是（）师小结：像这样先找出一个数的因数，再在这些因数里找出另一个数的因数，这种方法叫做筛选法，同学们可以灵活使用。3．发现公因数和最大公因数特点同学们观察一下黑板上24和12的公因数有4个，12和18的公因数有4个，你发现公因数的数量有什么特点？引导学生发现公因数的个数是有限的，最大公因数只有一个。师小结：我们发现两个数的公因数的个数是有限的，最大公因数只有一个。4．自主学习——短除法求两个数的最大公因数还有一种更快捷的方法，让我们一起来看视频自学短除法。（课件播放视频）。让我们一起回忆一下视频中用短除法求12和18的最大公因数的过程。（教师黑板板书，边写边师生交流）【小结】短除法适用于求两个数的最大公因数，除到公因数只有1为止，然后将除数相乘，最后的答案就是这两个数的最大公因数。学以致用，让我们一起用短除法求最大公因数吧！三、综合应用，生活化【环节目标】在练习中发现规律，学会用灵活的方法求两个数最大公因数。会用公因数和最大公因数的知识解决简单的实际问题。【评价任务】根据题目要求灵活选择合适的方法求两个数公因数和最大公因数，并正确运用其解决问题。【教学活动设计】分组赛一赛。（一）用短除法找出每组数的最大公因数，再仔细观察，你发现了什么？6和128和912和4817和13请学生交流答案，仔细观察分析两组数据，发现互为因数和倍数关系的两个数，和公因数只有1的两个数，求最大公因数有规律。师小结：我们在练习中发现规律：如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最大公因数就是较小的数，如果两个数的公因数只有1，那么它们的最大公因数就是1。以后在求两个数的最大公因数时，我们应该先观察两个数的关系，是否有规律，再灵活选择方法求最大公因数。（二）解决问题王叔叔新买了一套房子，在装修的过程中遇到了难题。我们家储藏室长16分米，宽12分米，如果要用边长是整分米数的正方形地砖把地面铺满（使用的地砖都是整块的），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大的是几分米？教师引导学生将生活问题转化为数学问题，即求“选择边长是几分米的地砖？”就是求16和12的最大公因数。求“边长最大是几分米”实际上就是求16和12的最大公因数。然后让学生独立完成，交流订正，并说出求公因数的方法。【小结】学习新知公因数和最大公因数，同学们要学会把生活问题，转化为数学问题，用求公因数和最大公因数的方法解决实际问题。四、谈收获【环节目标】梳理本节课知识，引导学生学会归纳总结知识点、学习方法、合作体验收获。【评价任务】用自己的语言描述出本节课的知识点和学习方法以及小组合作体验收获。【教学活动设计】（一）谈收获本节课，同学们有哪些新知、学习方法、合作体验的收获？生自由回答。（二）回顾整理老师课件展示总结：五、布置作业必做：课本96页第5、6、8题。选做：思考我们还可以运用公因数和最大公因数的知识解决生活中的哪些问题？【小结】希望同学们善于用数学思维去发现思考生活中的数学问题，并灵活运用公因数和最大公因数的知识去解决更多的生活问题。老师期待着善于思考，有创意的你们更精彩的表现！六、板书设计剪纸中的数学——公因数和最大公因数24的因数有：1，24，2，12，3，8，4，618的因数有：1，18，2，9，3，6短除法列举法集合法筛选法12和18的最大公因数是：2×3=6。《剪纸中的数学——公因数和最大公因数》——学情分析四年级的学生，数学思维已经开始过度以直观想象和逻辑推理为主。在学习本课新知之前，学生们已经认识因数，会找一个数的因数有哪些，知道一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大的因数是它本身。学生已经学会分解质因数，对集合图也有初步的认识。学生经验积累丰富，已学具备了一定的学具操作能力和计算能力，小组合作解决问题的形式也已经非常流畅，数学语言表达能力趋于完善。学生们已经具备了初步的数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。四年级的学生虽然具备了一定的操作能力，但是操作一些细节问题，需要老师细心挖掘，引导学生关注，比如说摆一摆的操作环节，摆的时候应该注意什么问题，需要老师引导学生们去关注和思考,动手之前解决好，保证学生们操作过程顺利，体验趣味。小组合作解决问题，也需要老师的协助明确分工，才能给学生们提供一个科学合理的的讨论平台和展示平台，比如说，用摆一摆的操作方法解决“想摆完后没有剩余，正方形的边长可以是几厘米”时，学生们需要老师帮忙把边长是1厘米之6厘米的正方形，提前合理分配好，给每个小组确定合适的探究范围，保证每组都体验到摆满和没有摆满的探究过程。无论什么时候，在课堂上教师都应该格外关注班级的后进生，给他们提供更多的发言、参与讨论的机会，并给予及时的评价和指导。《剪纸中的数学——公因数和最大公因数》——效果分析一、教学目标达成度分析在解决“想剪完后没有剩余，正方形的边长可以是几厘米”的具体情境问题中，通过猜想、小组分工合作摆一摆、算一算，大多数小组都能正确操作、计算、记录汇报操作过程和结果，并且在摆一摆的过程中发现了只摆一行，摆一列，就可以迅速找到结果的方法。通过观察分析算式，发现能实现摆完后没有剩余的算式的特点，发现计算规律，并运用规律算出正方形边长7至18厘米的正方形都不能摆满长方形纸，有剩余。观察所有的算式，观察发现合适的正方形边长与长方形纸长和宽的数据关系——因数与倍数，只要满足既是24的因数，又是18的因数，就能解决问题。在找24和18因数的过程中学习了列举法和集合法，回归情境，学生们发现要想解决问题，实际上就是求24和18的公因数和最大公因数。老师通过改变数据信息，为了解决问题，学生们通过课堂练习求12和18的公因数，并用集合图表示，正确率达到了（100％），反馈出这节课学生们的学习列举法和集合法求两个数的公因数和最大公因数效果非常好，并且在练习中自主发现学习了筛选法，自主视频学习了短除法，并正确运用与练习题中。二、综合应用生活化练习环节分析综合练习第一题，正确率达到（97％），失误原因主要是个别学生使用短除法，最后没有除到公因数只有1为止。短除法的学习效果明显，正确率非常高。综合练习第二题，正确率达到（100％），学生们结合情景，发现求“选择边长是几分米的地砖？”就是求16和12的最大公因数。求“边长最大是几分米”实际上就是求16和12的最大公因数。学生们运用新知解决问题表现出色。三、谈收获环节效果分析同学们能用自己的语言表达出本节课新知、学习方法、合作体验的收获，用自己的语言概括出本节课学习求公因数和最大公因数的意义和方法，发表自己的小组合作体验收获。数学思维发展——数学化、抽象概括、策略优化《公因数和最大公因数》教学反思引导孩子们积极参与课堂，实现思维的层层跃进，需要老师在设计教学活动时要做到“教学评一致性”，以学习目标为导向，合理科学设计教学活动和评价任务，保证学生们自主参与课堂，动手操作，计算思考，发现规律，体验利用新知解决生活问题的成就感。基于本节课本人反思如下：一、经历生活问题数学化的过程，引发概念探究在解决生活问题“剪完后没有剩余，正方形的边长可以是多少？”过程中，引导学生们通过摆一摆，算一算，想一想，小组分工合作探究边长1至6厘米的小正方形，引导学生们发现算式和结论之间的关系——正方形边长能被24和18整除的算式就能表示摆满后没有剩余，并运用规律去计算边长7至18厘米的小正方形，发现都不能实现摆完后没有剩余。最后观察所有算式，发现解决这个问题其实就是研究“长方形长、宽与正方形边长之间的关系”这一数学问题，培养学生用数学思维进行观察与思考的意识与习惯。经历数学问题抽象概括、策略优化的过程，深化概念理解本节课的关键思考问题是“为什么边长1、2、3、6厘米的正方形能实现摆满没有剩余，而边长4、5，7至18厘米的正方形就有剩余？”，围绕这一问题，学生们观察算式，发现1、2、3、6与24和18因数与倍数的关系，学习认识公因数和最大公因数的概念和意义。回归情境，解决问题，引导学生抽象出求“正方形的边长可以是多少？”其实就是求长方形长宽数据24和18的公因数，求“正方形的边长最大是多少？”其实就是求24和18的最大公因数，将数学问题抽象化，概括化。引领学生在探索操作的过程中，最终发现可以用列举法、集合法、筛选法、短除法寻找公因数与最大公因数的方法解决问题。通过观察分析两数之间的关系，发现求两个数最大公因数的规律：当一个数是另一个数的倍数时，最大公因数就是那个较小的数，当两个公因数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1。在策略优化过程中，思维逐步抽象化、数学化，深度理解概念本质，并运用其解决生活问题，使学生的推理能力、抽象能力，以及严谨仔细的数学学习品格得以发展。我热爱孩子们，热爱数学教学，我将会努力用自己的思考去践行我的教育理念：课堂是孩子们数学思维数学化、抽象概括、策略优化的不断发展的平台。我会一直目标坚定地走下去……《剪纸中的数学——公因数和最大公因数》——教材分析《剪纸中的数学——求公因数和最大公因数》是青岛版四年级下册第七单元“剪纸中的数学——分数加减法（一）”第一个信息窗。这一课是在学生已经学过因数、倍数，初步学会找一个数的因数和倍数，知道一个数的因数和倍数的特点及用短除法分解质因数的基础上进行教学的。这部分内容既是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，又是进一步学习约分和分数四则计算的基础。教材通过图片呈现创设剪纸情境，体现数学来源于生活这一主题，通过学生的对话呈现出数学信息，引导学生提出数学问题。接下来是学具操作摆一摆，算一算的方法，直观理解公因数的意义（发现只有边长1cm,2cm,3cm,6cm的正方形纸片，才能正好将长方形纸片摆满，且无剩余）。通过再次在教师的引导下抽象出数学问题，在理解正方形的边长与长方形纸的长和宽的内在联系的基础上引出公因数与最大公因数的意义。并以集合图的方式呈现了探索过程。在第二个红点例题中则介绍了列举法和短除法两种方式找最大公因数的方法。体现了短除法是学生应会的方法。针对教材设计，确定本节课的教学重难点是：通过摆一摆的操作和算一算的讨论交流，理解掌握两个数的公因数和最大公因数的意义和特点。会灵活运用列举法、集合法、筛选法、短除法求两个数的最大公因数。本节课的难点是：从实际问题中抽象出用公因数和最大公因数的知识解决问题。为了解决“想剪完后没有剩余，正方形的边长可以是几厘米”的具体情境问题，课堂上我设计了先猜想、采用摆一摆操作，并用算式把摆的过程和结果表示出来，观察算式，分析数据，发现规律和数据关系。通过摆一摆，算一算，发现数据规律抽象出数学问题，在理解正方形的边长与长方形纸的长和宽的内在联系的基础上引出公因数与最大公因数的意义，并以集合图的方式呈现了探索过程。学习用列举法、筛选法、短除法求两个数的最大公因数。顺应教材，按照教材展示的学习过程进行教学设计，符合学生们学习新知的认知规律，有助于学生清晰明了学习主线和过程。《剪纸中的数学——公因数和最大公因数》——测评练习课中测评观察思考，小试牛刀 1．练习列举法、集合法求最大公因数通过刚才的学习，你会用列举法和集合法求两个数的公因数和最大公因数吗？请同学们拿出作业纸，找出12和18的公因数和最大公因数。作业纸内容：12的因数有（）18的因数有（）12和18的公因数有（）12和18的最大公因数是（）12的因数18的因数12的因数18的因数2．交流中学习筛选法请同学交流答案，补充发现，学生还有不同的方法如下：12的因数有（）12和18的公因数有（）12和18的最大公因数是（）教师小结：像这样先找出一个数的因数，再在这些因数里找出另一个数的因数，这种方法叫做筛选法，同学们可以灵活使用。【设计意图】学生自主找出12和18的公因数和最大公因数，进一步巩固运用列举法和集合法，同时在学生们的交流中引导学生自主发现学习筛选法，可以先找出一个数的因数，再在这个数的因数里找到另一个数的因数。引导学生自主发现掌握更多的方法求两个数的公因数和最大公因数。综合应用，生活化分组赛一赛。1.用短除法找出每组数的最大公因数，再仔细观察，你发现了什么？6和128和912和4817和13请学生交流答案，仔细观察分析两组数据，发现互为因数和倍数关系的两个数，和公因数只有1的两个数，求最大公因数有规律。【设计意图】练习运用短除法求两个数的最大公因数，通过观察分析数据关系，发现两个数互为因数与倍数的关系或者是公因数只有1时，最大公因数的规律。求两个数的最大公因数时，应该先观察分析两个数的关系，是否有规律，再灵活选择方法求最大公因数。2.解决问题王叔叔新买了一套房子，在装修的过程中遇到了难题。我们家储藏室长16分米，宽12分米，如果要用边长是整分米数的正方形地砖把地面铺满（使用的地砖都是整块的），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大的是几分米？教师引导学生将生活问题转化为数学问题，即求“选择边长是几分米的地砖？”就是求16和12的最大公因数。求“边长最大是几分米”实际上就是求16和12的最大公因数。然后让学生独立完成，交流订正，并说出求公因数的方法。【设计意图】学会把生活问题，转化为数学问题，用公因数和最大公因数的知识解决实际生活问题。《剪