（大学课件）中心极限定理与参数估计：4.3

绪言：概率论与数理统计的关系概率论是数理统计的理论基础；数理统计是概率论的应用.数理统计概论

概率论是在（总体）Ｘ分布已知的情况下，研究Ｘ的性质及统计规律性．数理统计是在（总体）Ｘ分布未已知（或部分未知）的情况下，对总体Ｘ的分布作出推断和预测.数理统计的研究方法

通过从总体抽取部分个体（样本），通过对样本的研究，对总体作出推断或预测．是一种由部分推测整体的方法．

样本及抽样分布下页数理统计研究方法流程图：总体Ｘ样本采集数据抽样统计量

进行加工对总体Ｘ作出推断对统计量分析

数理统计以概率论为基础，研究如何搜集资料，并对统计资料进行整理和分析，对整体的某些性质作出推断．数理统计内容丰富，应用广泛．本书介绍了数理统计初步知识：参数估计；假设检验[；方差分析；回归分析]。下页§4.3样本及抽样分布

随机样本与统计量一、总体、个体与样本1.总体：研究对象的全体称为总体（母体）,用X表示，它是一个随机变量。个体：组成总体的每个研究对象（或每个基本单位）称为个体。总体分为有限总体和无限总体。数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体下页样本：从总体X中按一定的规则抽出的个体的全部称为样本，用X1，X2，…，Xn表示。样本容量：样本中所含个体的个数称为样本容量，用n表示。根据n

的大小样本有大样本、小样本之分。

为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程为“抽样”从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5下页

一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.

样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).下页2.简单随机抽样：要求抽取的样本满足下面两点由简单随机抽样抽得的样本：X1，X2,…，Xn称为简单随机样本。（样本）简单随机样本：

显然，样本就是来自总体X的n

个相互独立的且与总体同分布的随机变量X1，X2,…，Xn

。可看成n

维随机向量（X1，X2，…，Xn）。

简单随机抽样即为随机地独立地抽取，如：有放回抽样；无放回抽样当总体很大，样本容量较小时，认为是近似的简单随机抽样。2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.1.代表性：

X1,X2,…,Xn中每一个与总体X有相同的分布.若总体的分布函数为F(x)，则简单样本的联合分布函数为F(x1)F(x2)…F(xn)下页设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本。常用于估计总体分布的均值，或检验有关总体分布均值的假设。二、样本的数字特征2.样本方差：

用于估计总体分布的方差。式中的n－1称为S2的自由度（式中含有独立变量的个数），S称为样本标准差，又称为标准误。3.样本矩：K阶原点矩：K阶中心矩：1.样本均值:下页注意：四、统计量

统计量是样本的函数，也是随机变量，具有概率分布。把统计量的概率分布称为抽样分布。

设X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个样本，g(X1，X2，…，Xn）是一个不含任何未知参数的连续函数，称g(X1，X2，…，Xn）为统计量。下页§抽样分布(几个重要分布)一、的分布设总体X的分布形式未知，E（X）=μ，D（X）=σ2，（X1，X2，…，Xn）为X的一样本。则X1，X2，…，Xn独立同分布且E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2(i=1,2,…,n)若总体X~N(μ,σ2)，则若总体X~N(0,1)，则则特别，下页例1．设总体X~N（12，4），抽取一个样本（X1，X2，…，X5）．求（1）P{＞13}；（2）P{|-12|＞0.5}解：∵X~N（12，4），∴~N(12,4/5),且（1）P{＞13}（2）P{|-12|＞0.5}=1-[Φ(0.56)-Φ(-0.56)]=2-2Φ(0.56)=0.5754下页的点Zα为N(0，1)分布的上100α百分位点。二、标准正态分布的百分位点P{X＞Zα}=α，xZ1－αZααα0（1）称满足条件

记－Zα=Z1－α由于（2）称满足条件设X~N(0，1)，对给定的α(0＜α＜1）

的点为N(0，1)分布的双侧100α百分位点。1－αx0∵即∴下页查正态分布表得：==1.96又如，α=0.05，则==，附：Zα的值的确定－查《标准正态分布表》法P{X＞Z0.05}=0.05，即P{X＜Z0.05}=0.95，查表得：Z0.05=1.645P{X＞Z0.01}=0.01，即P{X＜Z0.01}=0.99，查表得：Z0.01=2.33例如，下页三、

分布记作1.定义：设X～N(0,1)，（X1，X2，…，Xn）为X的一个样本，令

则服从参数（自由度）为n

的分布。

可见：n个独立同服从N(0,1)分布的随机变量的平方和，为自由度为n

的分布。0f(y)n=1n=4n=10y2.

(n)分布的概率密度且E()=n,D()=2n～下页（1）若（X1，X2，…，Xn）是正态总体N(μ，σ2)的一个样本，和S2分别是样本均值和样本方差，则：1°与S2相互独立；2°(2)若且它们相互独立，则3.

分布的性质下页的点为分布的双侧百分位点。4.分布的百分位点：（1）称满足，即的点为分布的上100α百分位点。0f(y)αy（2）称满足0yf(y)对给定的α（0＜α＜1）例α=0.1，n=25，查分布表得：下页例2．设总体X~N（0，0.32）,n=10,求解：∵X/0.3~N（0，1），∴下页四、t分布0f(t)n=5

n=3

t为服从自由度为n的t（Student）分布，记作t~t(n)。2.t分布的概率密度为且1.定义设X~N(0,1)，Y~

(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量E（T）=0，下页３.服从t分布的统计量证明：且与相互独立，故定理1

设（ X1，X2，…，Xn）为正态总体N(μ，σ2)的一个样本，则下页定理2

设（X1，X2，…,Xn1）和（Y1，Y2，…,Yn2）分别是从总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中所抽取的样本，它们相互独立，则

与相互独立证明：因为所以又即，与相互独立，故于是下页1－αt0f(t)αt1－α(n)t0f(t)αtα(n)由对称性：t1-α(n)=-tα(n).4.t分布的百分位点：设t~t(n)，对给定的α（0＜α＜1）（1）称满足条件P{t＞tα(n)}=α，即的点tα(n)为t分布的上100α百分位点。的点为t分布的双侧百分位。（2）称满足例如，α=0.05,n=15，查《t分布表》得t0.05(15)=1.7531，下页五、F分布2.F分布的概率密度

且U与V独立，则称随机变量为服从自由度为（m,n）的F分布，记作F~F（m,n）．1.定义设3.F分布的性质例如：查《F分布表》得F0.05(15,12)=2.62F0.95(15,12)=0f(y)αFα(m,n)y下页设F~F(m,n)，对给定的α（0＜α＜1）（1）称满足的点Fα(m,n)为F分布的上100α百分位点。0f(y)αFα(m,n)y即（2）称满足的点0f(y)y为F分布的双侧百分位点。与4.F分布的百分位点下页设X:X1，X2，…，Xn1.2.若X~N（0，1），则小结下页Xi~N（μ，σ2）(1)(2)(3)

对于不是正态分布的一般总体X,如果E(X)=μ,D(X)=σ2,则当n∞时,和均渐近标准正态分布N(0,1)。说明：3.若X~N（μ，σ2），则与

s2相互独立。下页Y~N(μ2,σ2

2)：Y1，Y2，…,Yn2，它们相互独立，则若X~N(μ1,σ12)：X1，X2，…,Xn1（1）（2）当σ12=σ22=σ2时，4.两个正态总体

下页

2．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，X8为一个样本，则（）成立。练习

1．设总体X~N（8，4），X1，X2，…，X5为一个样本，则P{X>9