全内反射与隧道受抑全反射结构的隧穿时间

全内反射与隧道受抑全反射结构的隧穿时间

20世纪30年代初，有人提出了这个问题，但没有得出明确的结论。近年来,人们提出了一系列隧穿时间的概念,如相位时间、居留时间和半经典时间等,并进行了大量的光学实验研究。这些隧穿时间的一个共同特点是具有超光速性。具有超光速性的时间概念的物理意义是什么呢?如果我们相信粒子隧道贯穿的过程不违反狭义相对论,就应该寻找这样一个隧穿时间,它对应一个不超过真空光速的速度。我们引入了与能量转移速度相对应的隧穿时间,这个隧穿时间的最大特点是不具有超光速性。本文讨论入射角大于临界角时TM光子隧穿过受抑全内反射(Frustratedtotalinternalreflection,FTIR)结构的隧穿时间,并把所得结果与TE光子隧穿受抑全内反射结构的结果进行了比较。1循环时间的确定图1所示为受抑全内反射结构示意图。设玻璃直角棱镜的折射率、介电常数和磁导率分别为n、ε和μ0,空气的介电常数和磁导率分别为ε0和μ0,空气的折射率为1。角频率为ω的入射光束以大于临界角arcsin(1/n)的入射角θ从玻璃直角棱镜射向空气层。对于TM光子来说,设入射波的磁场强度为Hin=exp(ik·x-iωt)z,其中k=(kx,ky)=(kcosθ,ksinθ)为入射波的波矢量,k=(εμ0ω2)1/2。若设入射区域、空气层区域和透射区域的磁场强度分别为Ηir=[exp(ikxx)+Aexp(-ikxx)]exp(ikyy-iωt)z=Ηirz,x<0(1)Η={Cexp[-κ(x-a)]+Dexp[κ(x-a)]}exp(ikyy-iωt)z=Ηz,0<x<a(2)Ηtr=Fexp[ikx(x-a)]exp(ikyy-iωt)z=Ηtrz,x>a(3)其中κ=(k2y-k20)1/2,k20=ε0μ0ω2,a为势垒厚度,则根据麦克斯韦方程组和边界条件,可知三个区域中相应的电场强度为Eir=kxωε[exp(ikxx)-Aexp(-ikxx)]exp(ikyy-iωt)y-kyωεΗirx,x<0(4)E=-κiωε0{Cexp[-κ(x-a)]-Dexp[κ(x-a)]}exp(ikyy-iωt)y-kyωε0Ηx,0<x<a(5)Etr=kxωεFexp[ikx(x-a)]exp(ikyy-iωt)y-kyωεΗtrx,x>a(6)其中C=(cosδ/f)exp(iφ)exp[i(δ-π/2)],(7)D=(cosδ/f)exp(iφ)exp[-i(δ-π/2)],(8)复透射系数F=sin2δfexp(iφ),(9)δ的定义如下:kx+i(ε/ε0)κ=Δexp(iδ),(10)F的辐角φ和f的定义如下coshκasin2δ+isinhκacos2δ=fexp(iφ).(11)利用(2)式和(5)式计算出隧穿区域电磁场的能量密度ρ为ρ=(ε0/4)|E|2+(μ0/4)|Η|2=1ω2ε0cos2δf2[k2ycosh2κ(x-a)-k20cos2δ].(12)隧穿区域能流密度的x和y分量分别为jx=Re(12EyΗ*z)=κcos2δωε0f2sin2δ,(13)jy=Re(-12ExΗ*z)=kycos2δωε0f2[cosh2κ(x-a)-cos2δ].(14)我们定义光子的隧穿时间为τ=a∫0ρjxdx,(15)其中jx/ρ为隧穿区域中能量转移速度的x分量。把(12)式、(13)式代入(15)式得到隧穿时间τ=aκωsin2δ(k2ysinh2κa2κa-k20cos2δ).(16)从上式可以看出:1)在不透明极限下,即当κa≫1时,隧穿时间变为τ≈k2yacosh2κaκωsin2δ,此式表现了隧穿时间τ与空气层厚度a的超线性依赖关系。2)在临界极限下,即入射角θ趋于临界角arcsin(1/n)时,δ趋于0,隧穿时间τ趋于aεω(ε20Δ2+2ε2k202ε0Δ+ε0Δ3k20a2)。3)在深隧道极限下,即入射角θ趋于π/2时,入射波矢的x分量kx远小于κ,δ趋于π/2,隧穿时间τ趋于无限大。在这种情况下,光子将不能穿过势垒,它的能量很快在很窄的区域内被衰减掉。4)可以证明,隧穿时间(16)式不具有超光速性。下面我们将隧穿时间(16)式与居留时间作一比较。居留时间的定义为τd=1jinxa∫0ρdx=asin2δωκf2(k2ysinh2κa2κa-k20cos2δ),(17)其中jinx为入射能流密度的x分量。τ和τd的不同之处在于jx与jinx的不同,从而有τd/τ=sin22δ/f2=|F|2,(18)其中|F|2就是光波隧穿过空气层的透射率。居留时间τd随入射角θ的变化关系如图2所示,可见在深隧道极限下,即θ趋于π/2时,居留时间τd趋于0。显然此时的τd是有超光速性的,与我们定义的隧穿时间(16)式在这个极限下的行为完全不同。另一方面,居留时间在不透明极限下,即当κa≫1时,具有饱和性质,与势垒厚度无关。事实上,我们有limκa→∞τd=(k2y/ωκ2)sin2δ。从这个意义上讲,居留时间也具有超光速行为,即当势垒(空气层)的厚度大于某个临界值时,居留时间将小于势垒厚度与真空光速之比。2入射角的影响前面计算了TM波在隧穿区域的电磁场,由电磁场的能量密度和能流密度求出了光子在空气层区域中的隧穿时间,并与居留时间进行了比较。将TM波的结果和TE波进行比较发现,它们的隧穿时间表达式相同,唯一不同的是δ的定义,kx+iκ=ΔTEexp(iδTE)(对于TE光子)kx+i(ε/ε0)κ=ΔTMexp(iδTM)(对于TM光子)显然两种极化波的隧穿时间的数值也是不相同的。图3显示了TE波和TM波在入射角取一定数值时的隧穿时间与势垒厚度a的关系。由图3可以看出,在相同的条件下,两种极化波的隧穿时间的变化趋势一样,都是上升的,但又是不同的。当n=1.52,λ=600nm,入射角θ=0.78rad=44.69°时,两曲线在a≈210nm处有一交点。当a<210nm时,TM波的隧穿时间大;而当a>210nm时,TE波的隧穿时间大。图4是两种极化波的隧穿时间随入射角θ的变化关系,它们随入射角的增大而增大。当n=1.52,λ=600nm,a=300nm时,两曲线大约在θ=0.86rad=49.27°处相交。当θ<49.27°时,TE波的隧穿时间大;反之,当θ>49.27°时,TM波的隧穿时间大。图3和图4中的两条曲线相交的原因如下。如前所述,TM波和TE波的隧穿时间具有相同的形式[(16)式],唯一的区别是δ的定义不同。根据(16)式,令τTM=τTE,则有方程:k2yk20s